2025-2026学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）期末数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）期末数学试卷（含答案+解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2026的相反数是( )
A. −2026B. 2026C. 12026D. −12026
2.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.“大国点名、没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约1411780000人，数“1411780000”用科学记数法表示为( )
A. 14.1178×108B. 1.41178×109C. 1.41178×1010D. 1.41178×1011
4.下列计算正确的是( )
A. (a3)2=a6B. 9+ 4= 13
C. (a−b)2=a2−b2D. (−2a)3=−6a3
5.为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数(单位：人)分别是：42，38，35，43，40，42，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 42，39B. 42，40C. 42，41D. 42，42
6.如图，直线AB//CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1=70∘，则∠2的度数是( )
A. 60∘
B. 55∘
C. 50∘
D. 45∘
7.如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD=8cm，则截面圆中弦AB的长为( )cm.
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
8.如图，一次函数y1=x+3与y2=ax+b的图象相交于点P(1,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是( )
A. x≥4B. x≤4C. x≥1D. x≤1
9.“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为( )
A. 30x=301.5x+1B. 30x=301.5x+1C. 30x=301.5x−1D. 30x=301.5x−1
10.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=30∘，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F.设DE=x，AF=y，则y与x之间的函数解析式为(不考虑自变量x的取值范围)( )
A. y=12xB. y=18xC. y=24xD. y=36x
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若 x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
12.为了解某校1000名学生对长沙“我是接班人网络大课堂”的知晓情况，随机抽取了30名学生进行调查，结果显示有27名学生知晓，由此可估计该校知晓“我是接班人网络大课堂”的学生有 名.
13.二次函数y=4(x−1)2+2的顶点坐标是 .
14.一个多边形的内角和为1440∘，则它的边数为 .
15.如图，在△ABC中，AB=AC.分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若∠A=42∘，则∠CBD的度数为 ∘.
16.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，对角线OB与反比例函数y=2x(x>0)的图象相交于点G，若点G为OB的中点，则矩形OABC的面积为 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(13)−1+|1− 2|−2cs45∘−(π−3.14)0.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(2x+3−1x)÷x2−6x+9x2+3x，其中x= 3+3.
19.(本小题6分)
某校数学综合实践小组开展了测量某大厦楼体LED大屏广告牌的宽度AB的实践活动，该小组制定了测量方案，步骤如下：①该小组使用皮尺，实地测得CD=20m；②选择在点D处安置测倾器，在点D处测得广告牌顶部点A的仰角∠ADC=53∘，在点D处测得广告牌底部点B的仰角∠BDC=45∘.(点A，B，C在同一条直线上)根据以上信息，请你帮助数学综合实践小组求出广告牌的宽度AB的值.(结果精确到0.1m，参考数据：sin53∘≈0.80，cs53∘≈0.60，tan53∘≈1.33)
20.(本小题8分)
为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.五谷画，B.彩陶，C.剪纸，D.排灯.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查(每位学生必选且只能选一门课程)，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图.
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生总人数为______人，并补全条形统计图；
(2)“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为______度；
(3)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一门，用树状图或列表法求两人恰好选到同一门课程的概率.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，D为AC的中点，点E在BC上，过A点作BC的平行线交ED的延长线于点F，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)若AC=2 5，AB=2，且EF⊥AC，求CE的长.
22.(本小题9分)
排球是中考体育的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”.学校现决定购买A、B两种品牌的排球.据了解，购买2个A种品牌的排球和1个B种品牌的排球需210元，购买1个A种品牌的排球和2个B种品牌的排球需180元.
(1)求A、B两种品牌排球的单价分别为多少元？
(2)学校决定购买A，B两种品牌的排球共50个，且购买A种品牌排球的数量不少于购买B种品牌的排球数量的一半，问学校购买A种和B种品牌排球各多少个时花费最少？
23.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E.
(1)求证：直线AC是⊙O的切线；
(2)若点E为AO的中点，AD=6，求阴影部分的面积.
24.(本小题10分)
定义：在平面直角坐标系中，如果点P(x,y)满足x+y=k(k是常数)，我们称点P为“k级和值点”.例如：P(−3,5)满足−3+5=2，则称P(−3,5)为“2级和值点”.
(1)请判断下列说法是否正确(在相应的横线处，正确的打“√”，错误的打“×”)；
①函数y=x的图象上存在“1级和值点”；______
②函数y=x2的图象上存在两个“1级和值点”；______
③函数y=1x的图象上有且只有一个“1级和值点”.______
(2)关于x的二次函数y=mx2−2x+n(m,n是常数)与反比例函数y=−4x的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，且函数y=mx2−2x+n的图象与坐标轴只有2个交点，求m的值；
(3)已知关于x的二次函数y=ax2+(2b−1)x+3c+1(a,b,c是常数且a≠0)的图象上存在两个不同的“1级和值点”M、N，若a−b+c=0，(3a−2b+c)(2a−b+2c)>0，求线段MN的取值范围.
25.(本小题10分)
如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC，BD交于点E.
(1)若∠BDC+∠ABD=90∘，求证：AC⊥BD；
(2)如图2，在(1)的条件下，连接OB、OC，若S△ABES△BOC=95，求sin∠ADB的值；
(3)如图3，在(1)的条件下，已知P为四边形ABCD内一点(点P不与点E重合)，PA⊥PD，PB⊥PC，BD=10，AB= 5DC.当CD长度最小时，求CPBP的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：2026的相反数是−2026.
故选：A.
根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
主视图是从物体前面看所得到的图形，据此判断即可.
【解答】
解：根据主视图的概念，可知该几何体的主视图为：
故选：B.
【点评】
本题考查三视图，掌握三视图的概念是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：原数为1411780000，将其变为1.41178时，小数点向左移动了9位，
因为原数绝对值大于10，所以n=9，
所以1411780000=1.41178×109，
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|0，
∴W随m的增大而增大．
∴要使总花费最少，需取m的最小整数值17，此时购买B种排球数量：50−17=33(个)最少花费：W=30×17+2500=3010(元).
∴购买A种品牌排球17个，B种品牌排球33个时，花费最少．
(1)依据题意，设A种品牌排球的单价为x元，B种品牌排球的单价为y元，则2x+y=210x+2y=180，进而计算可以得解；
(2)依据题意，设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球(50−m)个，则m≥12(50−m)，可得m的最小值为17，且m≤50，又设购买排球的总花费为W元，故W=80m+50(50−m)=30m+2500，进而可以判断得解．
本题主要考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程组是关键．
23.【答案】连接OD，则∠AOD=2∠ABD，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠ABC=2∠ABD，
∴∠AOD=∠ABC，
∴OD//BC，
∴∠ADO=∠C=90∘，
∵OD是⊙O的径，且AC⊥OD，
∴直线AC是⊙O的切线 阴影部分的面积是6 3−2π
【解析】(1)证明：连接OD，则∠AOD=2∠ABD，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠ABC=2∠ABD，
∴∠AOD=∠ABC，
∴OD//BC，
∴∠ADO=∠C=90∘，
∵OD是⊙O的径，且AC⊥OD，
∴直线AC是⊙O的切线．
(2)解：∵∠ADO=90∘，点E为AO的中点，
∴DE=OE=12OA，
∴DE=OE=OD=12OA，
∴△DOE是等边三角形，OA=2OD，
∴∠DOE=60∘，
∵AD= OA2−OD2= (2OD)2−OD2= 3OD=6，
∴OD=2 3，
∴S阴影=S△AOD−S扇形DOE=12×6×2 3−60π×(2 3)2360=6 3−2π，
∴阴影部分的面积是6 3−2π.
(1)连接OD，则∠AOD=2∠ABD，由∠ABC的平分线BD交AC于点D，得∠ABC=2∠ABD，则∠AOD=∠ABC，所以OD//BC，则∠ADO=∠C=90∘，即可证明直线AC是⊙O的切线．
(2)由∠ADO=90∘，点E为AO的中点，得DE=OE=OD=12OA，所以△DOE是等边三角形，OA=2OD，则∠DOE=60∘，由AD= OA2−OD2= 3OD=6，求得OD=2 3，即可由S阴影=S△AOD−S扇形DOE，求得S阴影=6 3−2π.
此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
24.【答案】√; ;× m=2或m=1 6≤MN0，
∴方程组y=x2y=1−x有两个实数解，
∴函数y=x2的图象上存在两个“1级和值点”；√；
③联立y=1xy=1−x，得x2−x+1=0，Δ=b2−4ac=−30，
x1+x2=−2ba，x1x2=3ca，
∴MN= (x1−x2)2+(y1−y2)2
= 2× (x1+x2)2−4x1x2
= 2 (−2ba)2−12ca
= 2 4b2a2−12ca
= 2 4(a+c)2a2−12ca
=2 2 (a+c)2−3aca2
=2 2 a2−ac+c2a2=2 2 1−ca+(ca)2，
令ca=t，则1−ca+(ca)2=1−t+t2=(t−12)2+34，
∵(3a−2b+c)(2a−b+2c)>0，
∴(a−c)(a+c)>0，即a2−c2>0，
∴c2a2