2025-2026学年湖南省长沙市雨花区九年级（上）期末数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市雨花区九年级（上）期末数学试卷（含答案+解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知(a,−2)和(3,b)关于原点对称，则(a+b)2026的值为( )
A. 1B. −1C. −52026D. 52026
2.由二次函数y=2(x−3)2+1可知( )
A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为x=−3
C. 其最大值为1D. 当xx2>0>x3，则下列各式正确的是( )
A. y3>y1>y2B. y3>y2>y1C. y1>y2>y3D. y1>y3>y2
8.如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与对角线BD交于点F.若AB=5，BE=3，则AFEF为( )
A. 35
B. 54
C. 43
D. 53
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象和反比例函数y=a−b+cx的图象在同一坐标系中大致为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF//AB交BC于点F.若AB=4，则EF的长为( )
A. 12B. 1C. 43D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次函数y=−2(x+1)2+3的顶点坐标为 .
12.已知a是方程x2+2x−2=0的一个根，则代数式(a+1)2的值为 .
13.在△ABC中，∠C=90∘，若tanA=12，则sinB=______.
14.从3、5、6、9中随机取一个数作为十位数字，再从余下的数中随机取一个数作为个位数字组成两位数，这个两位数是奇数的概率是 .
15.如图，小东用长2米的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O.此时，OD=3米，DB=9米，则旗杆AB的高为 米．
16.“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型.图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n∘，则n= .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(sin30∘)2+tan60∘−(sin45∘)2+(cs30∘)2.
18.(本小题6分)
解方程：(x2+x)2−5(x2+x)+4=0.
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=3，AB=3，求AC的长.
20.(本小题8分)
某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了促销，商场决定适当降价，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件.
(1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
21.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)与一次函数y=−x+3的图象交于A(1,a)和B两点，与x轴交于点C.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标.
22.(本小题9分)
如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，过D作射线DE交AC于点E，且满足∠ADE=∠B.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)设BD=x，CE=y，写出y关于x的函数表达式，当x取何值时y值最大，最大值是多少？
23.(本小题9分)
无人机在实际生活中应用广泛.如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45∘，测得楼AB楼顶A处的俯角为60∘.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30∘(点A，B，C，D，P在同一平面内).
(1)填空：∠APD=______，∠ADC=______；
(2)求楼CD的高度；(精确到0.1米)
(3)求此时无人机距离地面BC的高度.(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
24.(本小题10分)
已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC//OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)设OP=32AC，求∠CPO的正弦值；
(3)设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围.
25.(本小题10分)
如图①，已知y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,3)、B(1,0)，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC//x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P在直线OE下方，连接PE、PO，当m为何值时四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
(3)如图②，以P为旋转中心，将PO顺时针旋转90∘得到PF，点F恰好落在直线l上，求出符合条件的点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵(a,−2)和(3,b)关于原点对称，
∴a=−3，b=2，
∴(a+b)2026=(−3+2)2026=(−1)2026=1.
故选：A.
首先根据关于原点对称的两个点的坐标特点求出a和b的值，然后代入(a+b)2026求解即可．
此题考查了关于原点对称的两个点的坐标特点和代数式的求值问题．
2.【答案】D
【解析】解：∵y=2(x−3)2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,1)，
∴函数有最小值1，当xx2>0>x3，
∴反比例函数图象位于第二、四象限，(x1,y1)，(x2,y2)分别在第四象限，(x3,y3)在第二象限，且在每个象限y随x的增大而增大，
则y3>y1>y2，
故选：A.
利用反比例函数的增减性判断即可．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的增减性是解本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5，BE=3，
∴AD//BC，DA=AB=5，
∵AD//EB，
∴△DAF∽△BEF，
∴AFEF=DABE=53.
故选：D.
由菱形的性质得AD//EB，DA=AB=5，则△DAF∽△BEF，所以AFEF=DABE=53，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由AD//EB证明△DAF∽△BEF是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a0，
∴反比例函数y=a−b+cx的图象必在一、三象限，
故B、C、D错误，A正确；
故选：A.
先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b0，由当x=−1时，y>0，可知a−b+c>0，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=12AC，
∵点E为OC的中点，
∴CE=12OC=14AC，
∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CEAC，即EF4=14，
∴EF=1，
故选：B.
利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE=14AC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
11.【答案】(−1,3)
【解析】解：根据二次函数y=a(x−h)2+k的性质，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h可知：
二次函数y=−2(x+1)2+3的顶点坐标为(−1,3).
故答案为：(−1,3).
根据二次函数y=a(x−h)2+k的性质，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h.据此求解即可．
此题考查了二次函数y=a(x−h)2+k的性质，熟练掌握该知识点是关键．
12.【答案】3
【解析】解：由条件可知：a2+2a−2=0，即a2+2a=2，
∴(a+1)2=a2+2a+1=3；
故答案为：3.
由题意易得a2+2a=2，然后代值求解即可．
本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
13.【答案】2 55
【解析】【分析】
此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示各边长是解题关键．
直接根据题意用x表示出AC、BC，再利用勾股定理算出AB，进而利用锐角三角函数的定义得出答案．
【解答】
解：如图所示：
∵∠C=90∘，tanA=12，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB= BC2+AC2= 5x，
∴sinB=ACAB=2x 5x=2 55，
故答案为：2 55.
14.【答案】34
【解析】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中组成两位数是奇数的结果数为9，
这个两位数是奇数的概率=912=34.
故答案为：34.
先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出组成两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
15.【答案】8
【解析】解：∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，
∴CD//AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴CDAB=ODOB，即2AB=33+9，
∴AB=8m；
故答案为：8.
由平行线证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解题即可．
本题考查的是相似形三角形的应用，关键是利用相似三角形对应边成比例解题．
16.【答案】108
【解析】解：∵⊙M的周长为2πcm，
∴⊙M顺时针转动3周时，点P移动的弧长为6πcm，
∴6π=nπ×10180，
解得n=108，
故答案为：108.
利用弧长公式根据点P移动的弧长=3个⊙M周长，列出关于n的方程，解方程即可．
本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
17.【答案】12+ 3.
【解析】解：原式=(12)2+ 3−( 22)2+( 32)2
=14+ 3−12+34
=12+ 3.
将特殊锐角三角函数值代入计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值以及实数的运算方法是正确解答的关键．
18.【答案】x1=−1+ 52，x2=−1− 52，x3=−1+ 172，x4=−1− 172.
【解析】解：设y=x2+x，则y2−5y+4=0，
(y−1)(y−4)=0，
解得y1=1，y2=4，
当x2+x=1即x2+x−1=0时，解得x=−1± 52，
当x2+x=4即x2+x−4=0时，解得x=−1± 172，
∴原方程有四个根：x1=−1+ 52，x2=−1− 52，x3=−1+ 172，x4=−1− 172.
设y=x2+x，则原方程可变形为y2−5y+4=0，求出y的值，代入y=x2+x求出x的值即可．
本题考查的是因式分解法及换元法解一元二次方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
19.【答案】 103.
【解析】解：作AD⊥BC于点D，如图所示，
∵tanC=3=ADDC，sinB=13=ADAB，
∴AD=3DC，AB=3AD，
∵AB=3，
∴AD=1，DC=13，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90∘，
∴AC= AD2+DC2= 12+(13)2= 103.
根据锐角三角函数和题目中的数据，可以计算出AD和DC的长，再根据勾股定理即可计算出AC的长．
本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出AD和DC的长．
20.【答案】1800元 每件商品应降价30元
【解析】解：(1)根据题意可知，(270−210)×30=1800(元)，
答：降价前商场每天销售该商品的利润是1800元；
(2)设每件商品应降价x元，
根据题意得：(270−x−210)(30+3x)=1800×2，
整理得：x2−50x+600=0，
解得：x1=30，x2=20(不符合题意，舍去)，
答：每件商品应降价30元．
(1)根据题意列式计算即可；
(2)设每件商品应降价x元，根据要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】反比例函数的解析式为y=2x P的坐标为(−2,0)或(8,0)
【解析】解：(1)把点A(1,a)代入y=−x+3，得a=2，
∴A点坐标为(1,2)，
把A(1,2)代入y=kx，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
(2)∵一次函数y=−x+3的图象与x轴交于点C，
∴C点坐标为(3,0)，
设P点坐标为(x,0)，
∴PC=|3−x|，
∴S△APC=12×|3−x|×2=5，
∴x=−2或x=8，
∴P的坐标为(−2,0)或(8,0).
(1)利用点A在y=−x+3上求a，进而代入反比例函数y=kx(k≠0,x>0)求k即可；
(2)设P(x,0)，求得C点的坐标，则PC=|3−x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
22.【答案】证明过程见解析 y=−18(x−3)2+98，当x=3时，y值最大，最大值是98
【解析】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠ADB=180∘−∠ADE−∠CDE，∠DEC=180∘−∠C−∠CDE，
∴∠ADB=∠DEC，
∴△ABD∽△DCE；
(2)解：∵BD=x，CE=y，
∴CD=6−x，
由(1)可得，△ABD∽△DCE，
∴ABDC=BDCE，即86−x=xy，
∴y=34x−18x2=−18(x−3)2+98，
∵y=−18(x−3)2+98≤98，
∴当x=3时，y值最大，最大值是98.
(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再根据三角形内角和定理得出∠ADB=∠DEC，即可得出结论；
(2)由(1)△ABD∽△DCE可得ABDC=BDCE，即86−x=xy，从而可得y=−18(x−3)2+98，再根据二次函数的性质求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】75∘;60∘ 楼CD的高度约为67.7米 此时无人机距离地面BC的高度为110米
【解析】解：(1)∵∠MPA=60∘，∠NPD=45∘，
∴∠APD=180∘−∠MPA−∠NPD=75∘.
过点A作AE⊥CD于点E.则∠DAE=30∘，
∴∠ADC=180∘−90∘−30∘=60∘.
故答案为：75∘，60∘；
(2)过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BC=100，EC=AB=10.
在Rt△AED中，
∵∠DAE=30∘，AE=100，
∴DE=AE⋅tan∠DAE=100 33，
∴CD=DE+EC=100 33+10≈67.7，
即楼CD的高度约为67.7米；
(3)过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，则∠PFA=∠AED=90∘，FG=AB=10米，
∵MN//AE，
∴∠PAF=∠MPA=60∘，
∵∠ADE=60∘，
∴∠PAF=∠ADE，
∵∠DAE=∠30∘，
∴∠PAD=30∘，
∵∠APD=75∘，
∴∠ADP=75∘，
∴∠ADP=∠APD，
则AP=AD，
∴△APF≌△DAE(AAS)，
∴PF=AE=100米，
∴PG=PF+FG=100+10=110(米).
∴此时无人机距离地面BC的高度为110米．
(1)由平角的性质可得∠APD；过点A作AE⊥CD于点E.则∠DAE=30∘，根据三角形内角和定理可得∠ADC.
(2)由题意可得AE=BC=100米，EC=AB=10米，在Rt△AED中，tan30∘=DEAE=DE100= 33，解得DE=100 33，结合CD=DE+EC可得出答案．
(3)过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE，可得PF=AE=100米，再根据PG=PF+FG可得出答案．
本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
24.【答案】(1)连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵AC//OP，
∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，
∴∠COP=∠BOP，
∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠OBP=90∘，
在△POC与△POB中，OC=OB∠COP=∠BOPOP=OP，
∴△COP≌△BOP，
∴∠OCP=∠OBP=90∘，
∴PC是⊙O的切线；
(2)过O作OD⊥AC于D，
∴∠ODC=∠OCP=90∘，CD=12AC，
∵∠DCO=∠COP，
∴△ODC∽△PCO，
∴CDOC=OCPO，
∴CD⋅OP=OC2，
∵OP=32AC，
∴AC=23OP，
∴CD=13OP，
∴13OP⋅OP=OC2
∴OCOP= 33，
∴sin∠CPO=OCOP= 33；
(3)连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵AC=9，AB=15，
∴BC= AB2−AC2=12，
当CM⊥AB时，
d=AM，f=BM，
∴d+f=AM+BM=15，
当M与B重合时，
d=9，f=0，
∴d+f=9，
∴d+f的取值范围是：9≤d+f≤15.
【解析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA，由平行线的性质得到∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，等量代换得到∠COP=∠BOP，由切线的性质得到∠OBP=90∘，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)过O作OD⊥AC于D，根据相似三角形的性质得到CD⋅OP=OC2，根据已知条件得到OCOP= 33，由三角函数的定义即可得到结论；
(3)连接BC，根据勾股定理得到BC= AB2−AC2=12，当M与A重合时，得到d+f=12，当M与B重合时，得到d+f=9，于是得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】y=x2−4x+3 当m=52时，S有最大值是758 P的坐标是(5− 52,1− 52)或(5+ 52,1+ 52)
【解析】解：(1)∵对称轴为直线x=2，B(1,0)，
∴D(3,0)，
设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−3)，
把A(0,3)代入y=a(x−1)(x−3)，
∴3=3a，
解得a=1，
∴抛物线的解析式y=x2−4x+3；
(2)∵△AOE的面积是定值，当△OEP面积最大时，四边形AOPE面积最大，
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90∘，
∴∠AOE=45∘
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E(3,3)，
∴OE的解析式为y=x，
过P作PG//y轴，交OE于点G，
设P(m,m2−4m+3)，则G(m,m)，
∴PG=m−(m2−4m+3)=−m2+5m−3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE=12×3×3+12PG⋅AE=92+12×3×(−m2+5m−3)=−32m2+15m2=−32(m−52)2+758，
∴当m=52时，S有最大值是758；
(3)当m2时，可得P的坐标是(5+ 52,1+ 52)；
∴满足条件的P的坐标是(5− 52,1− 52)或(5+ 52,1+ 52).
(1)根据对称性可知D(3,0)，设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−3)，把A(0,3)代入求出a的值即可求抛物线的解析式；
(2)当△OEP面积最大时，四边形AOPE面积最大，求出OE的解析式为y=x，过P作PG//y轴，交OE于点G，设P(m,m2−4m+3)，则G(m,m)，求出PG=m−(m2−4m+3)=−m2+5m−3，再由四边形AOPE的面积=△AOE的面积+△OPE的面积，求解即可；
(3)当m2时，同理可求另一个P点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．