2025-2026学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线的点斜式方程是y+2= 3(x+1)，则直线在y轴上的截距为( )
A. −2B. 2C. 3−2D. 2− 3
2.若圆的一般方程为x2+y2−2x+4y−6=0，则圆的圆心和半径分别为( )
A. (1,−2)；r= 11B. (2,−1)；r= 11
C. (1,−2)；r=11D. (2,−1)；r=11
3.已知a=(1,−2,3)，b=(−1,2,−1),c=(3,5,2)，则(a+b)⋅c的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.曲线y=x3+lnx+1在点(1,2)处的切线方程为( )
A. 3x−y−1=0B. 4x−y−2=0C. 4x+y−6=0D. 3x+y−5=0
5.已知F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，点M的坐标为(0,2b)，若△MF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率是( )
A. 2 33B. 32C. 3D. 2 3
6.已知等差数列{an}满足a1=2，a4+a6=12，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2bn−3(n∈N∗)，则ba3的值为( )
A. 12B. 24C. 48D. 96
7.设F是椭圆x29+y25=1的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线x− 3y−18=0上的动点，则|AB|−|AF|的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.已知00)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线Γ：y2=4x的焦点和椭圆的右焦点重合，且椭圆C和抛物线Γ的准线在第二象限交点的纵坐标为32．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，试问△F2PQ1的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex(ex+1)，g(x)=2ex+x．
(1)求证：g(x)≥3x+2；
(2)记函数h(x)=f(x)−g(x)．
(i)若h(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(ii)当a>0时，求证：h(x)>3lna−a2−1a．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由直线的点斜式方程是y+2= 3(x+1)，
化为斜截式得：y= 3x+ 3−2，
则直线在y轴上的截距为 3−2．
故选：C．
化直线的一般式方程为斜截式得答案．
本题考查直线的点斜式方程，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：圆的一般方程为x2+y2−2x+4y−6=0，即(x−1)2+(y+2)2=11，
故圆心坐标为(1,−2)，r= 11．
故选：A．
将圆的方程配方成标准式方程，即可求解．
本题主要考查圆心、半径的求解，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意可知，a+b=(0,0,2)，
又c=(3,5,2)，
则(a+b)⋅c=0+0+4=4．
故选：D．
结合向量的坐标运算法则，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由y=x3+lnx+1，得y′=3x2+1x，
∴曲线在(1,2)处的斜率k=y′|x=1=4，
∴曲线在点(1,2)处的切线方程为y−2=4(x−1)，
即4x−y−2=0．
故选：B．
对曲线y=x3+lnx+1求导，得到在(1,2)处切线的斜率，然后求出切线方程即可．
本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意，点M的坐标为(0,2b)，△MF1F2为直角三角形，
所以F1(−c,0)，F2(c,0)，所以c=2b，
则a= c2−b2= 3b，
所以双曲线C的离心率是ca= 32．
故选：B．
由题意先求出b，c的数量关系，再求解即可．
本题考查双曲线的几何性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1=2，a4+a6=12，所以a1+3d+a1+5d=12，
即4+8d=12，所以d=1，所以an=2+n−1=n+1，
因为数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2bn−3(n∈N∗)，
所以当n=1时，b1=S1=2b1−3，解得b1=3；
当n≥2时，Sn−1=2bn−1−3，
用Sn=2bn−3减去Sn−1=2bn−1−3，得：bn=Sn−Sn−1=(2bn−3)−(2bn−1−3)=2bn−2bn−1，
移项可得：2bn−1=2bn−bn=bn，即bnbn−1=2，
所以数列{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以bn=3×2n−1，
由an=n+1，得a3=3+1=4，
所以ba3=b4=3×24−1=3×8=24．
故选：B．
由等差数列基本量的运算求得an，由通项与前n项和的关系求得bn，再计算即可．
本题考查等差数列的通项公式，通项与前n项和的关系应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题，如图，
右焦点坐标为F(2,0)，左焦点坐标为F′(−2,0)，
根据椭圆的定义可知|AF|+|AF′|=6，所以|AF|=6−|AF′|，
则|AB|−|AF|=|AB|−(6−|AF′|)=|AB|+|AF′|−6，
所以|AB|−|AF|最小，即|AB|+|AF′|最小，
即定点F′(−2,0)到直线x− 3y−18=0上的点的距离最小即可，
根据点到直线的距离公式可得d=|−2−0× 3−18| 12+(− 3)2=10，
所以(|AB|−|AF|)min=10−6=4．
故选：C．
根据椭圆的定义可知|AF|+|AF′|=4，则|AB|−|AF|=|AB|+|AF′|−6，则求|AB|−|AF|的最小值，即求|AB|+|AF′|的最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解．
本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意02lna−a2，
令r(a)=a2−2lna+1，
求导得r′(a)=2a−2a=2(a2−1)a，
令r′(a)=0，解得a=1(a>0)，
当00，
因此r(a)>0，即a2−2lna+1>0，从而1>2lna−a2，原不等式成立
【解析】解：(1)证明：要证g(x)≥3x+2，即证2ex+x≥3x+2，即证2ex−2x−2≥0，
令p(x)=2ex−2x−2，求导得p′(x)=2ex−2，
令p′(x)=0，解得x=0，
当x0，p(x)单调递增，
因此p(x)在x=0处取得最小值p(0)=2e0−0−2=0，
所以p(x)≥0，即g(x)≥3x+2．
(2)(i)函数h(x)=f(x)−g(x)=aex(ex+1)−2ex−x=a(e2x+ex)−2ex−x，
求导得h′(x)=a(2e2x+ex)−2ex−1=(2ex+1)(aex−1)，
当a≤0时，aex−10，可得h′(x)0时，令h′(x)=0，可得aex−1=0，解得x=−lna，
当x∈(−∞,−lna)时，h′(x)0，
所以h(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增，
所以h(x)min=h(−lna)=a⋅e2×(−lna)+(a−2)⋅e−lna+lna=lna−1a+1，
令φ(a)=lna−1a+1(a>0)，要满足题意，只需φ(a)0，所以函数φ(a)在(0,+∞)上单调递增，且φ(1)=0，
所以a∈(0,1)，即a的取值范围是(0,1)；
(ⅱ)证明：由(i)知h(x)的最小值为h(−lna)=1−1a+lna，
要证h(x)>3lna−a2−1a，
只需证1−1a+lna>3lna−a2−1a，
化简得1>2lna−a2，
令r(a)=a2−2lna+1，
求导得r′(a)=2a−2a=2(a2−1)a，
令r′(a)=0，解得a=1(a>0)，
当00，
因此r(a)>0，即a2−2lna+1>0，从而1>2lna−a2，原不等式成立．
(1)分析可知要证g(x)≥3x+2，即证2ex−2x−2≥0，令p(x)=2ex−2x−2，利用导数求出p(x)≥0，即可得证；
(2)(i)根据题意，得到h′(x)=(aex−1)(2ex+1)，当a≤0时，求得h(x)0时，利用导数求得h(x)的单调区间及h(x)min=lna−1a+1，结合函数φ(a)=lna−1a+1的单调性即可求解；
(ⅱ)由(i)知h(x)的最小值为h(−lna)=1−1a+lna，分析可知要证h(x)>3lna−a2−1a，只需证1>2lna−a2，令r(a)=a2−2lna+1，利用导数证明r(a)>0即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于难题．