高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间点、直线、平面之间的位置关系精品导学案

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1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合。点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示。
3．三个基本事实及其推论
(1)三个基本事实及其表示
(2)三个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
(2)基本事实1和2的三个推论
▉考点02 空间点、线、面之间的位置关系
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
(2)平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).

▉考点01 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示（共5小题）
1．如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
【答案】A
【解答】解：B中，直线n是集合，所以n⊂α，所以B不正确；
C中A点是元素，所以A∈m，A∈n，所以C不正确；
D中，错在n∈α，
故选：A．
2．点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是（ ）
A．A∈l，l∈αB．A∈l，l∉αC．A⊂l，l⊂αD．A∈l，l⊂α
【答案】D
【解答】解：点A在直线l上，则A∈l，
因为直线l在平面α内，则l⊂α，
故选：D．
3．“点P在平面α内，直线l与平面α相交于点Q”可以用符号表示为（ ）
A．P⊂α，l∩α＝QB．P∈α，l∪α＝QC．P∈α，l∩α＝QD．P⊂α，l∪α＝Q
【答案】C
【解答】解：∵点P在平面α内，表示为P∈α，
直线l与平面α相交于点Q，表示为l∩α＝Q，
∴“点P在平面α内，直线l与平面α相交于点Q”可以用符号表示为P∈α，l∩α＝Q．
故选：C．
4．“点A在平面α上”用集合符号表示是 ．
【答案】A∈α
【解答】解：“点A在平面α上”用集合符号表示是：A∈α．
故答案为：A∈α．
5．公理一：如果一条直线l上的两点A，B在一个平面α内，那么这条直线l在此平面内．请用数学的符号语言表示为 ．
【答案】A∈l，B∈l，A∈α，B∈α?l?α
【解答】解：一条直线l上的两点A，B在一个平面α内，
转化为数学的符号语言表示为A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，
这条直线l在此平面内，转化为数学的符号语言表示为l⊂α．
故公理一用数学的符号语言表示为：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α．
故答案为：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α．
▉考点02 点和直线确定平面及其数量（共7小题）
6．下列条件一定能确定一个平面的是（ ）
A．空间三个点
B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线
D．两条相互平行的直线
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．
故选：D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．一条直线和一点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．三条平行直线确定一个平面
【答案】B
【解答】解：根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，故A错误；
两条相交直线确定一个平面，故B正确；
四点不一定共面，故C错误；
三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D错误．
故选：B．
8．下列四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间任意三点B．空间两条直线
C．空间两条平行直线D．一条直线和一个点
【答案】C
【解答】解：对于A：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故A错．
对于B：当这两条直线是异面直线时，则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故B错．
对于C：根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故C对；
对于D：此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故D错．
故选：C．
9．已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，则：
（1）若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
（2）空间中，三点确定一个平面；
（3）若l，m⊂β，l∥α，m∥α，则α∥β；
（4）若α∩β＝m，l∥α且l∥β，则l∥m．
以上假命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：（1）若m∥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，相交也不一定垂直，故（1）是假命题；
（2）空间中，不在同一直线上的三点确定一个平面，故（2）是假命题；
（3）若l，m⊂β，l∥α，m∥α，且l与m相交，则α∥β，当l与m平行时，α与β可能相交，故（3）是假命题；
（4）若α∩β＝m，l∥α且l∥β，如图，
设过l的平面γ与α相交于直线n，∵l∥α，则l∥n，
又∵l∥β，∴n∥β，而n⊂α且α∩β＝m，∴n∥m，可得l∥m，故（4）为真命题．
∴假命题的个数为3．
故选：C．
10．由正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的对角线所确定的平面共有 个．
【答案】20．
【解答】解：相对两平行平面中有两组平行对角线，可以确定两个平面，这样有6个平面（对角面）．
又因为每个顶点的相邻三个顶点共面，这样又有8个平面，
而每个面上的两条相交的对角线确定6个平面（表面），共有6+6+8＝20个平面．
故答案为：20．
11．以下说法错误的是 ．
①空间中三点确定一个平面
②一条直线及一个点确定一个平面
③两条直线确定一个平面
④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等．
【答案】①②③④．
【解答】解：①若空间中不共线的三点确定一个平面，故错误；
②经过一条直线及直线外一点确定一个平面，故错误；
③由推论3、4两条相交或平行直线确定一个平面，故错误；
④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故错误．
故答案为：①②③④．
12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D中，E，F分别为AB，CC1的中点．
（1）证明：AC∥平面A1BC1．
（2）证明：EF∥平面A1BC1．
（3）已知AB＝BC＝2，以A1E为直径的球的表面积为8π，设B1，D，F三点确定平面α，在答题卡的图中作出平面α截四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面（写出作法），并求截面的周长．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）证明过程见详解；
（3）223．
【解答】（1）证明：长方体中，可得AC∥A1C1，
而A1C1⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，
所以AC∥平面A1BC1；
（2）证明：取BC的中点N，
因为N，E，F分别是BC，AB，CC1的中点，
所以NF∥BC1，EN∥AC∥A1C1，NF⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，
所以NF∥平面A1BC1，
同理可得EN∥平面A1BC1，EN∩NF＝N，
所以平面EFN∥平面A1BC1，
因为EF⊂平面EFN，
所以EF∥平面A1BC1；
（3）解：取AA1的中点M，连接DM，MB1，∠MAD＝∠FC1B1，
且∠MAD与∠FC1B1的两边分别平行，所以MD∥B1F，
DM，B1F共面，四边形DMB1F为平行四边形，
且四边形DMB1F即为所截的平面α，
AB＝BC＝2，以A1E为直径的球的表面积为8π，设球的半径为R，则A1E＝2R，
所以4π•（A1E2）2＝8π，可得A1E＝22，
而A1E=AA12+(AB2)2=AA12+12=22，所以AA1=7，
因为B1M＝DM=22+(72)2=232，
所以四边形DMB1F的周长4B1M＝223．
▉考点03 平面的交线及其性质（共4小题）
13．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）
A．点AB．点B
C．点C但不过点MD．点C和点M
【答案】D
【解答】解：∵直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，
∴β∩γ＝MC，
∴γ与β的交线必通过点C和点M，
故选：D．
14．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（ ）
A．3102B．92C．32D．210
【答案】B
【解答】解：由题意，作出图形如图所示，
取D1C1的中点F，连结EF，DF，则平面DBEF即为过B、D、E三点的截面，
因为E，F分别为B1C1，D1C1的中点，故EF∥B1D1∥BD，
因为正方体的棱长为2，所以DB=22，BE=5，DF=5，EF=2，
所以四边形DBEF是等腰梯形，
过点F作EB的平行线交DB于点M，作DB的垂线交DB于点N，
所以FM=EF=EB=5，DN=12DM=22，由勾股定理可得FN=DF2-DN2=5-12=322，
所以梯形DBEF的面积为S=12⋅(EF+BD)⋅FN=12×(2+22)×322=92．
故选：B．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．2B．98C．3D．62
【答案】B
【解答】解：取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，
则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，
连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，
所以ME∥AB，且ME＝AB，
所以四边形ABEM是平行四边形，
所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，
所以AM∥平面BDFE，
同理AN∥平面BDFE，
因为AM∩AN＝A，
所以平面AMN∥平面BDFE，
即平面a截该正方体所得截面为平面BDFE
BD=2，EF=12B1D1=22，DF=52，梯形BDFE如图：
过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，
∴FG=DF2-DG2=54-18=324，
故四边形BDFE的面积为22+22×324=98．
故选：B．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为S．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①当CQ=12时，S为等腰梯形；
②当CQ=34时，S与C1D1的交点R满足C1R=13；
③当 34＜CQ＜1时，S为六边形；
④当CQ＝1时，S的面积为 62．
【答案】①②④
【解答】解：如图
对于①，当CQ=12时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP＝QD1=1+14=52，故可得截面APQD1为等腰梯形，所以①正确；
对于②，当CQ=34时，如图，
延长DD1至N，使D1N=12，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R＝C1Q：D1N＝1：2，故可得C1R=13，故②正确；
对于③由②可知当34＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故③错误；
对于④，当CQ＝1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1＝AF，
可知截面为APC1F为菱形，故其面积为12AC1•PF=12•3•2=62，故④正确．
故答案为：①②④．
▉考点04 平面分割空间（共6小题）
17．平面α，β，γ不能将空间分成（ ）
A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分
【答案】A
【解答】解：三个平面平行时，将空间分成4个部分；
三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分；
当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分；
当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分；
当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，将空间分成8个部分．
所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分．
故选：A．
18．三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【解答】解：若三个平面两两平行时，把空间分成4部分，
若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7或8部分，
若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成6部分，
若三个平面两两相交于同一条直线，则把空间分成6部分，
则n的最大值为8，最小值为4，则n的最小值与最大值之和为12．
故选：B．
19．三个平面不可能将空间分成（ ）个部分．
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解答】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分；
若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分；
故三个平面不可能将空间分成5部分．
故选：A．
20．下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个圆
B．两个相交平面把空间分成四个区域
C．三条直线两两相交，则确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
【答案】B
【解答】解：如果三点共线，则不可能确定圆，所以A不正确；
两个相交平面把空间分成四个区域，正确；
三条直线两两相交，则确定一个平面，或3个平面，所以C正确；
四边形是平面图形，也可能是空间图形，所以D不正确．
故选：B．
21．如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是 .（填序号）
①三个平面两两平行；
②三个平面两两相交，且交于同一条直线；
③三个平面两两相交，且有三条交线；
④两个平面平行，且都与第三个平面相交．
【答案】②④．
【解答】解：①三个平面两两平行，可把空间分成4个部分；
②三个平面两两相交，且交于同一条直线，可把空间分成6个部分；
③三个平面两两相交，且有三条交线，可把空间分成7个部分或8个部分；
④两个平面平行，且都与第三个平面相交，可把空间分成6个部分．
故答案为：②④．
22．三个不同平面把空间分成n部分，则n的取值集合为 ．
【答案】{4，6，7，8}
【解答】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分；
若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分；
故n的取值集合为{4，6，7，8}．
故答案为：{4，6，7，8}．
▉考点05 空间图形的公理（共1小题）
23．若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角（ ）
A．相等B．互补
C．相等或互补D．无法确定
【答案】C
【解答】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，
∴∠3＝∠4，∠4＝∠1，∠4+∠2＝180°；
∴∠3＝∠1，∠3+∠2＝180°．
∴这两个角相等或互补．
故选：C．
▉考点06 空间中直线与直线之间的位置关系（共12小题）
24．如图，在下列正方体中，M，N，P，Q分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：显然MP和QN为异面直线，则P、Q、N、M四点不共面，故A错误；
对于B：如图：
MN∥BA，即A、B、M、N四点共面，即Q、M、N三点共面，且三点不共线，
又P∉平面ABMN，所以P、Q、N、M四点不共面，故B错误；
对于C：显然P、M、N在正方体的下底面，且三点不共线，Q不在正方体的下底面，
所以P、Q、N、M四点不共面，故C错误；
对于D：
如图，连接AC，则PQ∥AC，又AC∥MN，所以PQ∥MN，
所以P、Q、N、M四点共面，故D正确．
故选：D．
25．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
【答案】D
【解答】解：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，所以A选项错误；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，所以B选项错误；
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，所以C选项错误；
若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n，所以D选项正确．
故选：D．
26．已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥b，a∥α，则b∥α
C．若直线a与b异面，则过空间任意一点与a和b都平行的平面有且仅有一个
D．若α∥β，a⊂α，b⊂α，则a∥β且b∥β
【答案】D
【解答】解：若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b异面或相交，所以A选项错误；
若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，所以B选项错误；
若直线a与b异面，当P∈a或P∈b时，不能满足，所以C选项错误；
若α∥β，a⊂α，b⊂α，则a∥β且b∥β，所以D选项正确．
故选：D．
27．已知α，β为两个不同的平面，m，n，l为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若α∥β，且m⊂α，则m∥β
D．若l∥m，l∥n，且m，n⊂α，则l∥α
【答案】C
【解答】解：若m∥α，n∥α，则m与n可以成任意角，所以A选项错误；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，所以B选项错误；
若α∥β，且m⊂α，则m∥β，所以C选项正确；
若l∥m，l∥n，且m，n⊂α，则l∥α或l⊂α，所以D选项错误．
故选：C．
28．α，β是两个平面，m，n是两条直线，则（ ）
A．如果m∥α，n∥α，那么m∥n
B．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β
D．如果m∥α，n与α相交，那么m，n是异面直线
【答案】C
【解答】解：如果m∥α，n∥α，那么m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；
如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交或n∥α，故B错误；
如果α∥β，m⊂α，由平面与平面平行的定义可得m∥β，故C正确；
如果m∥α，n与α相交，那么m与n相交或异面，故D错误．
故选：C．
29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设CP＝λCF，则λ＝（ ）
A．3B．2C．13D．12
【答案】A
【解答】解：已知在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，
延长DC，AB交于G，连接GP，连接GE交PC于点F，
则由BC∥AD，AD＝2BC，
得C是DG中点，
因为E是PD中点，
所以F是△PDG的重心，
则CF=13CP，
即λ＝3．
故选：A．
30．设α，β为两个不同的平面，a，b为两条不同的直线，且α∩β＝a．下述说法正确的是（ ）
A．若a∥b，则b∥α
B．若b∥α且b∥β，则a∥b
C．若a⊥b，则b⊥α或b⊥β
D．若b与α，β所成的角相等，则a⊥b
【答案】B
【解答】解：对于A，因α∩β＝a，由a∥b，则有b∥α或b⊂α，
故A错误；
对于B，如图所示，因b∥β，经过直线b和平面β内一点A可做一个平面γ，
使γ∩β＝c，则b∥c，又因b∥α，同理可做平面θ，使θ∩α＝d，则b∥d，
故c∥d，
又因c⊄α，d⊂α，
则得c∥α，
因c⊂β，α∩β＝a，
故得c∥a，
故a∥b，
即B正确；
对于C，如图，在长方体中，α∩β＝a，显然有a∥b，但b与平面α，β都不垂直，
故C错误；
对于D，如图在长方体ABCD﹣EFGH中，若FG＝BF，取直线DF为直线b，
平面ABCD为平面α，平面DCGH为平面β，
则直线DC即直线a，
因BF⊥α，FG⊥β，
故∠FDB和∠FDG即b与平面α，β所成的角，
显然∠FDB＝∠FDG，但直线b与a不垂直，
故D错误．
故选：B．
31．若a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥α，则“b∥α”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥α，
“b∥α”，由线面垂直的性质得“a⊥b”，即充分性成立；
“a⊥b”，则b∥α或b⊂α，即必要性不成立，
∴“b∥α”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选：A．
（多选）32．已知α，β是平面，m，n是直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
【答案】ABC
【解答】解：因为知α，β是平面，m，n是直线，
所以逐一分析各个选项如下：
A选项，若m∥n，m⊥α，由线面垂直的定义可知n⊥α，A正确；
B选项，若m⊥α，m⊥β，由面面平行和线面垂直的相关结论可知α∥β，B正确；
C选项，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊂β，则α⊥β，C正确；
D选项，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m，n异面，D错误．
故选：ABC．
（多选）33．已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，下列命题正确的有（ ）
A．若a∥b，a∥c，则b∥cB．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．若α∥β，α∥γ，则β∥γD．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
【答案】AC
【解答】解：因为α，β，γ是三个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，
所以若a∥b，a∥c，则b∥c，所以A选项正确；
若a⊥b，a⊥c，则b与c可成[0，π2]的任意角，所以B选项错误；
若α∥β，α∥γ，则β∥γ，所以C选项正确；
若α⊥β，α⊥γ，则可能β⊥γ也可能β∥γ，所以D选项错误．
故选：AC．
34．若a∥b，b∩c＝A，则a、c的位置关系是 ．
【答案】相交或异面．
【解答】解：a∥b，b∩c＝A，如图，
当AB＝a，CD＝b，BC＝c时，a与c相交，
当AB＝a，CD＝b，PC＝c时，a与c面．
综上，a∥b，b∩c＝A，则a、c的位置关系是相交或异面．
故答案为：相交或异面．
35．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．
又因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，
所以AC2+BC2＝AB2，
所以AC⊥BC．
又C1C∩BC＝C，
所以AC⊥平面CC1B1B，
所以AC⊥BC1．
（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，
由已知可得E为C1B的中点，
又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．
∴AC1∥DE
又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1
∴AC1∥平面CDB1．
▉考点07 空间中直线与平面之间的位置关系（共12小题）
36．若空间中三条不同的直线a，b，c满足a⊥c，b⊥c，则a∥b是a，b，c共面的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：如图所示：满足a⊥c，b⊥c，且a∥b，
但是a⊂α，b⊂α，c⊂β，
所以可知a∥b是a，b，c共面的不充分条件；
当a，b，c共面时，若a⊥c，b⊥c，则必然有a∥b，
即a∥b是a，b，c共面的必要条件，
综上可知：a∥b是a，b，c共面的必要不充分条件．
故选：B．
37．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
B．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若α⊥β，m⊥β，n⊥m，则n⊥α
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
【答案】D
【解答】解：对于A，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n平行或异面，故A错误；
对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故B错误；
对于C，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，又n⊥m，则n与α可能平行也可能相交，故C错误；
对于D，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，故D正确．
故选：D．
38．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
D．若m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
【答案】D
【解答】解：若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，所以A选项错误；
若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，所以B选项错误；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，所以B选项错误；
若m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，所以D选项正确．
故选：D．
39．已知直线l的方向向量是a→=(-2，2，2)，平面α的一个法向量是n→=(1，-1，-1)，则l与α的位置关系是（ ）
A．l⊥αB．l∥α
C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α
【答案】A
【解答】解：因为直线l的方向向量是a→=(-2，2，2)，平面α的一个法向量是n→=(1，-1，-1)，
所以a→=-2n→，
所以l与α的位置关系是l⊥α，
故选：A．
40．α，β为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列判断正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥m，则n∥α
【答案】C
【解答】解：若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、异面或平行，所以A选项错误；
若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以B选项错误；
若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以C选项正确；
若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α，所以D选项错误．
故选：C．
41．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）
A．α内所有的直线都与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内所有的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
【答案】D
【解答】解：因为直线a与平面α不平行，所以直线a在平面内，或者直线a于α相交，所以直线a与平面α至少有一个交点；
故选：D．
42．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1的动点（含端点），且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中不正确的是（ ）
A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段
B．平面DMN⊥平面BCC1B1
C．三棱锥A1﹣DMN的体积为定值
D．△DMN可能为直角三角形
【答案】D
【解答】解：如图，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，
由直线与平面平行的定义得在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段，故A正确
若满足BM＝C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，
∴平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正确；
当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，
∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，故C正确；
若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，
而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，故D错误．
故选：D．
（多选）43．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，且α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，则m∥l
B．若α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n
C．若α⊥γ，β⊥γ，则n⊥l
D．若α，β，γ两两相互垂直，则m，n，l两两垂直
【答案】ABD
【解答】解：因为α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，
且α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，
对于A，若m∥n，因为m⊄γ，n⊂γ，
所以m∥γ，又l⊂γ，则m，l没有交点，
又m，l⊂β，所以m∥l，A正确，
对于BC，如图所示，α∩β＝m，α∩γ＝n，
在平面γ取一点A，过点A分别作AB⊥l，AC⊥n，
因为β⊥γ，AB⊂γ，β∩γ＝l且AB⊥l，所以AB⊥β，同理可证AC⊥α，
又因为α∩β＝m，即m⊂β，m⊂α，所以AB⊥m，AC⊥m，
因为AB∩AC＝A且AB，AC⊂平面γ，所以m⊥γ，
又n，l⊂γ，所以m⊥n，m⊥l，
而n，l无法判断是否垂直，例如将平面β绕直线m逆时针旋转π4弧度，此时n，l不垂直，故B正确，C错误；
对于D，若α，β，γ两两相互垂直，
由C可知：当α⊥γ，β⊥γ，可得m⊥γ，进而得到m⊥n，m⊥l，
同理α⊥γ，β⊥α，可得l⊥α，又n⊂α，所以l⊥n，
即若α，β，γ两两相互垂直，则m，n，l两两垂直．D正确．
故选：ABD．
（多选）44．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下面四个结论中正确的是（ ）
A．若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β
B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
D．若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m与n的夹角可能为60°
【答案】AD
【解答】解：对于A，α∩β＝m，则m⊂α，
∵m∥n，且n⊄α，则n∥α成立，同理n∥β成立，故A正确；
对于B，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n与α相交，但不一定垂直，故B错误；
对于C，若α⊥β，m∥α，则m与β相交、平行或m⊂β，但不一定垂直，故C错误；
对于D，如图，在正方体AC1中，设A1B为m，B1C为n，平面ABCD为α，
则m，n在平面α内的射影分别为AB与BC，
且AB⊥BC，m与n异面，且夹角为60°，故D正确．
故选：AD．
45．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到l⊥α的是 .（填入条件的序号即可）
①l∥m；②α∥β；③m⊥α；④l⊥β．
【答案】①③（或②④）．
【解答】解：选①②⇒l⊥α，
若l∥m，α∥β，则可能l⊂α，不正确；
选①③⇒l⊥α，
若l∥m，m⊥α，则l⊥α，正确；
选①④⇒l⊥α，
若l∥m，l⊥β，则可能l⊂α，不正确；
选②③⇒l⊥α，
若α∥β，m⊥α，则可能l⊂α，不正确；
选②④⇒l⊥α，
若α∥β，l⊥β，则l⊥α，正确；
选③④⇒l⊥α，
若m⊥α，l⊥β，则可能l⊂α，不正确．
故答案为：①③（或②④）．
46．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：
①m∥n，m⊥α，n⊥β⇒α∥β；
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③m⊥n，m∥α⇒n∥α；
④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，
其中正确的序号是 ．
【答案】①④．
【解答】解：对①，∵m∥n，m⊥α，∴n⊥α，又n⊥β，∴α∥β，∴①正确；
对②，∵α∥β，m⊂α，n⊂β，∴m∥n或m与n异面，∴②错误；
对③，∵m⊥n，m∥α，∴n与α可以成任意角，∴③错误；
对④，∵α∥β，m∥n，m⊥α，∴n⊥β，∴④正确．
故答案为：①④．
47．如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥CC1，平面AA1C1C⊥菱形ABCD．证明：
（1）B，B1，D1，D四点共面；
（2）BD⊥DD1．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）根据题意，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
由于AA1∥CC1，而CC1⊂平面BB1C1C，AA1⊄平面BB1C1C，
则AA1∥平面BB1C1C，
又由AA1⊂平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，
则有AA1∥BB1，
同理：AA1∥DD1，
则有AA1∥DD1，故B，B1，D1，D四点共面；
（2）根据题意，连接BD，
底面ABCD为菱形，则BD⊥AC，
而平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，
故BD⊥平面AA1C1C，
则有BD⊥AA1，
又由AA1∥BB1，
故BD⊥DD1．
▉考点08 平面与平面之间的位置关系（共13小题）
48．已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n⊂β，则m∥n是α⊥β的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：因为两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n⊂β，
所以若m∥n，m⊥α时，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，即充分性成立；
若α⊥β，m⊥α，n⊂β，则m∥β或m⊂β，则m∥n或m与n相交或异面，即必要性不成立，
所以“m∥n“是“α⊥β“的充分非必要条件．
故选：B．
49．已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若a∥b，b⊂α，则a∥α
B．若a⊥α，b⊂β，α∥β，则a⊥b
C．若a∥α，a∥β，则α∥β
D．若α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β
【答案】B
【解答】解：若a∥b，b⊂α，则a∥α、或a⊂α，故A错误；
若a⊥α，α∥β，推得a⊥β，又b⊂β，则a⊥b，故B正确；
若a∥α，a∥β，则α∥β或α、β相交，故C错误；
若α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，不能判定α和β是否垂直，故D错误．
故选：B．
50．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；
④若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．其中真命题是（ ）
A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④
【答案】D
【解答】解：在①中，由线面角的定义可知答案①中的直线m⊥α，m⊥β，则平面α∥β是正确的，故①正确；
在②中，两个平面α，β也可能相交，故②不正确；
在③中，两个平面m⊂α，n⊂β可以推出两个平面α，β相交，故③不正确；
在④中，可将直线n平移到平面α内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知α∥β，故④正确．
故选：D．
51．已知m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
【答案】D
【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，知：
在A中，m⊂α，n⊂β，m∥n，一组线线平行，不能推出面面平行，故α与β相交或平行，故A错误；
在B中．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若m⊥α，m⊥β，由垂直于同一直线的两平面相互平行，得α∥β，故D正确．
故选：D．
52．下列命题中正确的是（ ）
A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
【答案】B
【解答】解：对于A，一个平面内三条直线都平行于另一平面，当这三条直线平行时，那么这两个平面不一定平行，故A错误；
对于B，如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，这两个平面无公共点，由面面平行的定义知这两个平面平行，故B正确；
对于C，平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，故C错误；
对于D，如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，当这几条直线相互平行时，这两个平面不一定平行，故D错误．
故选：B．
53．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a、b、c不可能满足的是（ ）
A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面
【答案】B
【解答】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，
所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，
所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．
与已知条件整理出的结论不符．
故选：B．
54．已知α、β为两个平面，l为直线．若α⊥β，α∩β＝l，则（ ）
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
【答案】D
【解答】解：由α⊥β，α∩β＝l，知：
垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A不正确；
垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；
垂直于平面β的平面一定平行于直线l或垂直于直线l，故C不正确；
由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．
故选：D．
（多选）55．用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ）
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形，如图：
，
A正确；
对于B，截面有可能是四边形，并且有可能是正方形，如图：
B正确；
对于C，截面有可能是五边形，如图：
但截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形，C错误；
对于D，截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形，
如图：
D正确．
故选：ABD．
（多选）56．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误是（ ）
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
C．若n⊥β，α⊥β，则n∥α
D．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β
【答案】ACD
【解答】解：对于A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m与n异面，故A错误；
对于B，若m∥β，过m作平面γ∩β＝l，则l∥m，又m⊥α，则l⊥α，可得α⊥β，故B正确；
对于C，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，故C错误；
对于D，若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β相交，可能垂直，也可能不垂直，故D错误．
故选：ACD．
（多选）57．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，点P为空间中一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a⊥α，a⊥β则α∥β
C．若α∩β＝a，P∉α，P∉β，则过点P只能作一条同时与α，β都平行的直线
D．若直线a与平面α所成的角为30°，则过点P恰好能作两条与直线a和平面α所成角都是45°的直线
【答案】BCD
【解答】解：对于选项A，若a∥α，b∥α，则a与b平行、相交或异面，选项A错误；
对于选项B，若a⊥α，a⊥β，由线面垂直的性质可知，α∥β，选项B正确；
对于选项C，若过点P所作的直线同时与α，β都平行，
则这条直线必与a平行，故只有一条，选项C正确；
对于选项D，过点P分别作与直线a和平面α所成角是45°的射线，
所有射线形成两个圆锥，因为直线a与平面α所成的角为30°，
所以两圆锥的侧面相交，交线有两条，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）58．已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α∥β，γ∥β，则γ∥α
D．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
【答案】ABD
【解答】解：对于A，若α⊥γ，β⊥γ，则α、β平行或相交，故A错误；
对于B，若m⊂α，n⊂α，且m，n相交，m∥β，n∥β，则α∥β，故B错误；
对于C，若α∥β，γ∥β，则γ∥α，故C正确；
对于D，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故D错误．
故选：ABD．
59．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交；
④若α∩β＝m．n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β
其中正确命题的序号是 （把正确命题的序号都填上）
【答案】①④
【解答】解：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，由面面垂直的判定理知正确．
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；两条相交直线才行，不正确．
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交；也可能平行，不正确．
④若α∩β＝m．n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β由线面平行的判定定理知正确．
故答案为：①④
60．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：平面PCG∥平面AEF；
（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（ 1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，
∴EF ∥¯ 12PC，
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点，
∴AE∥CG，
∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，
∴AE∥平面PCG，
又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG，
∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF，
∴平面AEF∥平面PEG．
（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，
易知F，N分别是BP，BM中点，
∴FN ∥¯ 12PM，
∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC，
∴FN∥平面PGC，
即N点为所找的H点．
基本事实
自然语言
图形语言
符号语言
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α.
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l.
推论
自然语言
图形语言
符号语言
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
点A∉aa与A共面于平面α，且平面唯一.
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面.
a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一.
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面.
直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一.
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线在平面内
有无数个公共点
直线与平面相交
有且只有一个公共点
直线与平面平行
没有公共点
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两个平面平行
没有公共点
两个平面相交
有一条公共直线