高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示优质学案

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【知识点1 平面向量基本定理】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【知识点2 平面向量的坐标表示】
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
，即.同理得.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由，可得，则，即.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
.又，，，所以.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么，
.
4．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果
用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是.
②三点共线的坐标表示
若，，三点共线，则有，从而，即，
或由得到，
或由得到.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.
(3)垂直的坐标表示
设，，则.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
5．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
一．平面向量的基底（共10小题）
1．已知向量e1→，e2→是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．{e1→，e1→-e2→}
B．{e1→+e2→，e1→-3e2→}
C．{e1→-2e2→，-3e1→+6e2→}
D．{2e1→+3e2→，2e1→-3e2→}
2．设e→1、e→2是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．e→1和e→1+2e→2
B．e→1+2e→2与3e→1-e→2
C．e→1+2e→2与-2e→1-4e→2
D．3e→1-e→2与4e→2-e→1
3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．e1→=(0，0)，e2→=(1，-2)
B．e1→=(-1，2)，e2→=(5，7)
C．e1→=(3，5)，e2→=(6，10)
D．e1→=(2，-3)，e2→=(12，-34)
4．设平面向量a→=(sinθ，1)，b→=(csθ，2)，若{a→，b→}不是表示平面内所有向量的一个基底，则tanθ＝（ ）
A．33B．22C．32D．12
5．若{e1→，e2→}是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．{e1→-2e2→，-e1→+2e2→}
B．{2e1→+e2→，e1→+12e2→}
C．{3e1→+2e2→，6e1→+4e2→}
D．{e1→-2e2→，e1→+3e2→}
（多选）6．下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．e1→=(0，0)，e2→=(1，2)
B．e1→=(-1，2)，e2→=(5，7)
C．e1→=(3，5)，e2→=(6，10)
D．e1→=(2，-3)，e2→=(12，-34)
（多选）7．在下列各组向量中，e1→，e2→不能作为基底的是（ ）
A．e1→=(-1，0)，e2→=(0，-1)
B．|e1→|=1，e2→=-2e1→
C．e1→=(2，-1)，e2→=(5，4)
D．e1→⋅e2→≠0，e1→⋅e2→=|e1→⋅e2→|
（多选）8．以下各组向量中，可以作为平面向量的一组基底的是（ ）
A．a→=(csπ6，sinπ6)，b→=(cs7π6，sin7π6)
B．a→=(csπ6，sinπ6)，b→=(sinπ6，csπ6)
C．a→=(csπ12，sinπ12)，b→=(cs7π12，sin7π12)
D．a→=(cs20°，1)，b→=(cs50°，2cs70°)
（多选）9．下列说法中正确的为（ ）
A．已知a→=(1，2)，b→=(1，1)且a→与a→+λb→的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(-53，+∞)
B．向量e→1=(2，-3)，e→2=(12，-34)不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量a→，b→，满足|a→|＞|b→|且a→与b→同向，则a→＞b→
D．非零向量a→和b→，满足|a→|=|b→|=|a→-b→|，则a→与a→+b→的夹角为30°
10．已知向量a→=(m，1)，b→=(2，m+1)，m∈R．
（1）若向量a→，b→能构成一组基底，求实数m的范围；
（2）若c→=(1，3)，且c→⊥(a→-b→)，求向量a→与b→的夹角大小．
二．用平面向量的基底表示平面向量（共10小题）
11．在△ABC中，D为BC边上一点，且BC＝3BD，设AB→=a→，AC→=b→，则AD→=（ ）
A．23a→+13b→B．13a→+23b→C．23a→-13b→D．13a→-23b→
12．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且AB→=2AM→，AC→=4AN→，D在边BC上（不包含端点）．若AD→=xAM→+yAN→，则1x+2y的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且AE→=2ED→，若AB→=a→，AC→=b→，则BE→用a→，b→表示为（ ）
A．-12a→-13b→B．13a→-12b→C．-13a→+16b→D．-23a→+13b→
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E满足BE→=13EC→，点F为CD的中点，则DE→+AF→=（ ）
A．32AB→+13AD→B．32AB→+14AD→C．32AB→+54AD→D．12AB→+54AD→
15．如图，AD为ΔABC的边BC上的中线，且AD→=a→，AC→=b→，那么AB→为（ ）
A．2a→-b→B．a→-2b→C．2a→+b→D．a→+2b→
16．已知在平行四边形ABCD中，AP→=2PD→，CQ→=2QB→，记AD→=m→，AB→=n→，则PQ→=（ ）
A．-14m→+n→B．m→-13n→C．m→-14n→D．-13m→+n→
17．在△ABC中，AN→=12NC→，P是直线BN上的一点，若AP→=mAB→+27AC→，则实数m的值为（ ）
A．37B．-37C．17D．-17
18．在△ABC中，AD为BC边上的中线，M是AD的中点，2AN→=NB→，则MN→=（ ）
A．112AB→+14AC→B．112AB→-14AC→
C．14AB→+112AC→D．14AB→-112AC→
19．在△ABC中，AE→=12EC→，AD→=12AB→，线段CD交BE于点G，且AG→=λAE→+μAD→，则λ+μ的值为 ．
20．如图，在△ABC中，P为线段BC上靠近点B的三等分点，O是线段AP上一点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设AE→=λAB→， AF→=μAC→．
（1）以{AB→， AC→}为基底表示AP→．
（2）若λ=13， μ=12，求AOAP的值．
（3）若点O为线段AP的中点，求λ+μ的最小值．
三．平面向量的正交分解及坐标表示（共7小题）
21．已知MN→=（2，3），则点N位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．不确定
22．设点A（1，2）、B（3，5），将向量AB→按向量a→=（﹣1，﹣1）平移后得到A'B'→为（ ）
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，7）
23．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量BD→的坐标是（ ）
A．（2，2）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（4，2）
24．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小都为6牛顿，则F3的大小为 牛顿．
25．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，O点是内心，且AO→=λ1AB→+λ2BC→，则λ1+λ2＝ ．
26．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为2π3，如图所示．
（1）求F3的大小；
（2）求F2与F3的夹角．
27．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若AP→=AB→+λAC→（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？
四．平面向量加减法的坐标运算（共11小题）
28．已知向量a→，b→满足a→=(0，1)，|b→|=1，|a→-b→|=3，则〈a→，b→〉=（ ）
A．π6B．π3C．π2D．2π3
29．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则|AB→+BC→|=（ ）
A．5B．25C．5D．35
30．已知向量a→=（﹣2，1），b→=（1，1），则3a→-2b→=（ ）
A．（﹣8，1）B．（﹣4，5）C．（﹣4，1）D．（﹣8，5）
31．已知a→=(4，6)，a→+b→=(6，2)，则b→=（ ）
A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．(2，-12)D．(-2，12)
32．已知a→=(5，2)，b→=(-4，-3)，c→=(x，y)，a→-2b→-3c→=0→，则c→=（ ）
A．(1，83)B．(133，83)
C．(133，43)D．(-133，-43)
33．已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若BC→=(12，16)，D（﹣2，﹣3），则点E的坐标为（ ）
A．（4，5）B．（1，1）C．（﹣5，﹣7）D．（﹣8，﹣11）
34．已知向量a→=(1，2)，b→=(2，-1)，则|a→+b→|的值为 ．
35．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 ．
36．已知e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，AB→=2e1→+e2→，BE→=-e1→+λe2→，EC→=-2e1→+e2→，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若e1→=(2，1)，e2→=(2，-2)，求|BC→|；
（3）已知点D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
37．已知向量a→=(1，0)，b→=(3，2)．
（1）求向量a→+3b→，4a→-2b→的坐标；
（2）求a→+b→向量的模．
38．已知向量a→=(1，2)，b→=(-3，1)．
（1）求a→+3b→；
（2）设a→，b→的夹角为θ，求csθ的值；
（3）若向量a→+kb→与a→-kb→互相垂直，求k的值．
五．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共12小题）
39．已知向量AB→=（5，1），BC→=（m，9），CD→=（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（ ）
A．54B．﹣11C．11D．-54
40．如图，已知|OA→|=|OB→|=1，|OC→|=3，OC→⊥OB→，∠AOC=30°，则（ ）
A．OC→=2OA→+OB→B．OC→=2OA→-OB→C．OC→=OA→+OB→D．OC→=OA→+2OB→
41．已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且|AP→|=3|PB→|，则点P的坐标是（ ）
A．(-34，114)B．(-14，114)C．(114，14)D．(114，34)
42．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且BD→=13BC→，E为AD的中点，则|BE→|=（ ）
A．34B．136C．32D．3
43．已知点A（3，﹣2），B（2，﹣1），且AP→=5PB→，则点P的横坐标与纵坐标之和为（ ）
A．0B．1C．﹣2D．﹣1
44．已知A（﹣2，1），B（4，﹣5），点P满足AP→=12AB→，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，3）B．（﹣8，7）C．（1，﹣2）D．（10，﹣11）
45．已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（ ）
A．(13，6)B．(53，6)C．(13，5)D．(53，5)
46．已知a→=(-3，4)，b→=(5，2)，则2a→-3b→=（ ）
A．（21，2）B．（﹣21，2）C．（2，21）D．（﹣2，21）
47．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣1），若点D满足AD→=2BD→，则点D的坐标为（ ）
A．（5，﹣2）B．（6，﹣2）C．（4，﹣3）D．（5，﹣3）
48．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若AB→=(2 ， 4)，AC→=(1 ， 3)，则DB→=（ ）
A．（3，5）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣3，﹣5）D．（2，4）
49．已知a→=(2，1)，b→=(-5，4)，则a→-b→的坐标为 ．
50．设向量a→，b→，c→满足a→=（2，1），|b→|＝25，c→=（1，0）．
（1）若向量a→，b→同向，求向量b→的坐标；
（2）若t∈[0，1]，求|ta→-c→|的取值范围．
六．平面向量数量积的坐标运算（共10小题）
51．已知向量a→=(1，-2)，b→=(k，-1)，若a→⊥(a→-b→)，则|a→+b→|=（ ）
A．3B．5C．26D．33
52．已知a→=(x，1)，b→=(2，3)，若a→⊥(a→-2b→)，则|a→-b→|=（ ）
A．3B．11C．13D．15
53．设x∈R，向量a→=(3，x)，b→=(1，-1)且a→⊥b→，则cs〈a→+b→，a→〉=（ ）
A．1010B．31010C．91010D．10
54．已知a→=(1，2)，b→=(2，-1)，则a→⋅(a→-b→)的值为（ ）
A．3B．5C．4D．6
55．已知平面向量a→=（λ，2），b→=（1，λ+1），若a→⊥b→，则λ＝（ ）
A．1B．﹣2C．-23D．23
56．已知平面向量x→，y→，z→满足x→=(2，0)，z→=(0，1)，x→⋅y→=2，则|x→+y→-z→|的最小值为（ ）
A．12B．1C．2D．3
57．已知向量a→=(2m+1，1)，b→=(1，5-4m)，且a→⊥b→，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
58．已知向量a→=(-1，3)，向量b→在向量a→上的投影向量为13a→，则a→⋅b→=（ ）
A．-43B．-13C．43D．13
59．已知a→=（2，﹣1），b→=(1，-1)，则(a→+2b→)⋅(a→-3b→)等于（ ）
A．10B．﹣10C．3D．﹣3
60．已知向量a→=(1，sinθ)，b→=(csθ，-2)，若a→⊥b→，则sin2θ﹣sinθcsθ﹣2cs2θ＝（ ）
A．45B．54C．-95D．﹣1区 别
表示形
式不同
向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同
点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系
向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.