四川省自贡市2026届高三上学期1月期末检测数学检测试题（有解析）

这是一份四川省自贡市2026届高三上学期1月期末检测数学检测试题（有解析），共23页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 数列的前100项和为， 已知函数的值域是，则， 在正三棱锥中，，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.
1. 若复数，，，则的（ ）
A. 实部B. 虚部为C. 实部为6D. 虚部为
2. 某京剧团推出“云赏国潮”全息投影演出，引起了广泛关注.主办方为了调研不同观演模式体验，现采用分层随机抽样的方法从线下现场观众人、VR全景云包厢观众500人线上直播观众1500人中抽取60人进行回访，则应从线下现场观众中抽取的人数为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 30
3. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（ ）
A. B. C. D. 1
5. 在棱长为2的正方体中，棱，的中点分别为，，且点在侧面内，若平面，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. 2C. D.
6. 若函数有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 数列的前100项和为（ ）
A. 15150B. 10100C. 16000D. 11000
8. 已知函数的值域是，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平行四边形ABCD中，，为线段CD的中点，则（ ）
A.
B 当时，
C. 不可能大于
D. 当且时，的最小值为4
10. 在正三棱锥中，，则（ ）
A. PA的取值范围是
B. 当时，平面平面PAC
C. 当时，二面角的正切值为2
D. 当时，正三棱锥外接球的表面积为
11. 已知曲线：，点，，，，，，为上关于轴对称的两点，则（ ）
A. 由两个离心率相等的椭圆组成
B. 经过点的直线与有4个公共点
C. 存在四个点，使得
D. 当为正三角形时，点到直线MN的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 四川火锅以麻、辣、鲜、香著称，是四川的美食代表.某四川火锅店的一桌食客选择了麻辣汤底，食材需由食客自行挑选，这桌食客要从牛肉、鸭肠、羊肉、毛肚、黄喉、耗儿鱼、虾滑、鸭血、黄腊丁中选6种，从菠菜、娃娃菜、豆芽、土豆、藕片、莴笋、冬瓜、蘑菇、豆腐皮、山药中选8种，则这桌食客的食材选择共有______种.
13. 在中，，，，则BC边上的高为______.
14. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求；
（2）求的最小值；
（3）求图象的对称中心的坐标.
16. 近年来，智能仓储机器人系统广泛应用于物流分拣领域.在某智能仓库中，两个机器人A和B需协同完成货物搬运任务.已知机器人A单独在单位时间内成功搬运货物的概率，机器人B单独在单位时间内成功搬运货物的概率.当这两个机器人同时工作时，系统会赋予一个“协同增益系数”，该系数体现了机器人协同工作的效率提升效果，在单位时间内至少有一个机器人成功搬运的概率.
（1）若机器人A，B各自独立参与货物的搬运，设在单位时间内成功搬运货物的机器人个数为，求的均值；
（2）在（1）的条件下，设，若是的倍，求的近似值（结果精确到整数）.
17. 如图，在四棱锥中，AB，AD，AE两两垂直，，，且.
（1）证明：平面平面ABCD.
（2）设，三棱锥的体积为.
（ⅰ）求的单调区间；
（ⅱ）当取得最大值时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值.
18. 已知抛物线：的准线方程为.
（1）求的方程.
（2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求取值范围；
（ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上.
19. 已知等差数列的首项为1，正项等比数列的首项为2，且，.
（1）求和通项公式；
（2）若，，求的取值范围；
（3）设，证明：.
高三数学检测
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.
1. 若复数，，，则的（ ）
A. 实部为B. 虚部为C. 实部为6D. 虚部为
【答案】D
【解析】
【分析】先计算两个复数和，再根据结果确定它的实部和虚部.
【详解】因为，所以的实部为，虚部为.
故选：
2. 某京剧团推出“云赏国潮”全息投影演出，引起了广泛关注.主办方为了调研不同观演模式的体验，现采用分层随机抽样的方法从线下现场观众人、VR全景云包厢观众500人线上直播观众1500人中抽取60人进行回访，则应从线下现场观众中抽取的人数为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.
【详解】因进行分层抽样，
所以应从线下现场观众中抽取的人数为.
故选：C
3. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解出各个集合，再利用集合并集与补集的混合运算求解即可.
【详解】令，解得，则，
可得，
因为，所以，故B正确.
故选：B
4. 设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义和三角形中位线定理进行求解即可.
【详解】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养.
依题意得.
因为，
所以，故.
故选：C
5. 在棱长为2的正方体中，棱，的中点分别为，，且点在侧面内，若平面，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先取的中点，证明线面平行得出面面平行即可得出平面，再根据轨迹应用勾股定理计算求解.
【详解】取的中点，连接，
因为，所以是平行四边形，
所以平面，不在平面内，所以平面，
同理可得平面，
平面，
所以平面平面，
则当点在线段上时，平面，
所以点的轨迹长度为.
故选：C.
6. 若函数有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分析函数在不同区间上的零点情况，根据函数有2个零点确定的取值范围，进而求出的取值范围.
【详解】设函数，因为函数有2个零点，所以有两解.
有两解，即的图象与的图象有2个公共点.
作出的大致图象，如图所示：
由图可知，当时，直线与的图象有2个公共点.
所以的取值范围是.
故选：D
7. 数列的前100项和为（ ）
A. 15150B. 10100C. 16000D. 11000
【答案】A
【解析】
【分析】运用平方差公式，结合等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】数列的前100项和为
.
故选：A
8. 已知函数的值域是，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式和分式的定义求解出函数的定义域，由解析式的形式联想到斜率公式，
利用圆的性质进行求解即可.
【详解】因为，且，所以.
设，，
则是直线AB的斜率.
是半圆上的动点，
如图，
设点，则.
设切线BQ的方程为，即.
圆心到切线BQ的距离，解得（舍去）或.
由图可知，即的值域为，
则.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平行四边形ABCD中，，为线段CD的中点，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 不可能大于
D. 当且时，的最小值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A，根据向量加法运算判断；对于选项B，根据向量的数量积运算判断；对于选项C，根据三角形中大边对大角判断；对于选项D，先用表示出，再利用基本不等式判断.
【详解】因为为线段CD的中点，所以，A正确；
当时，，B正确；
因为，所以，所以当时，，
根据大边对大角，所以，而，
所以，C错误；
，
当时，，则，
当且仅当时，等号成立，D正确.
故选：ABD
10. 在正三棱锥中，，则（ ）
A. PA的取值范围是
B. 当时，平面平面PAC
C. 当时，二面角的正切值为2
D. 当时，正三棱锥外接球的表面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】应用三棱锥的几何特征计算判断A，应用线面垂直判定定理得出平面PAC，进而得出面面垂直判断B，应用二面角定义得出角结合边长计算判断C，应用外接球表面积公式计算判定D.
【详解】如图，设点在底面的射影为点，则点为正三角形ABC的中心，连接AH，PH，

则，，A错误.
当时，，则，同理可得，
因为平面，所以平面，
又平面PAB，所以平面平面，B正确.
取AB的中点，连接CN，PN，则，，
所以是二面角的平面角，，
当时，，
则，C正确.
设正三棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，
则在直线PH上，当时，，由，
解得，则球的表面积为，D错误.
故选：BC.
11. 已知曲线：，点，，，，，，为上关于轴对称的两点，则（ ）
A. 由两个离心率相等的椭圆组成
B. 经过点的直线与有4个公共点
C. 存在四个点，使得
D. 当为正三角形时，点到直线MN的距离的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据乘法的性质，结合椭圆的定义、离心率公式、一元二次方程根的判别式、数形结合思想逐一判断即可.
【详解】由，得或，
所以由椭圆与椭圆组成，
，是的两个焦点，，是的两个焦点，
由图可知，与有4个交点，所以存在四个点，
使得，且，故C正确；
与的离心率均为，故A正确；
当直线经过点时，即，
代入，得，
因为，所以直线与相切，
且切点不在上，易知直线与相交，
所以经过点的直线与有3个公共点，故B错误.
不妨设在的左边，当为正三角形时，直线DM的倾斜角为，
则直线DM的方程为，由图可知，当在的下半部分时，的周长最大，
将代入，得，解得，
所以点到直线MN距离的最大值为，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 四川火锅以麻、辣、鲜、香著称，是四川的美食代表.某四川火锅店的一桌食客选择了麻辣汤底，食材需由食客自行挑选，这桌食客要从牛肉、鸭肠、羊肉、毛肚、黄喉、耗儿鱼、虾滑、鸭血、黄腊丁中选6种，从菠菜、娃娃菜、豆芽、土豆、藕片、莴笋、冬瓜、蘑菇、豆腐皮、山药中选8种，则这桌食客的食材选择共有______种.
【答案】3780
【解析】
【分析】根据实际问题中的组合计数计算直接求出结果即可.
【详解】依题意，得这桌食客食材选择共有.
故答案为：3780
13. 在中，，，，则BC边上的高为______.
【答案】
【解析】
【分析】先用余弦定理算出边长，再利用等面积法求出边上的高.
【详解】由余弦定理得，
则.
设BC边上的高为，由等面积法可得，
则.
故答案为：
14. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两条曲线的导数，设出公切线与两条曲线的切点，根据导数的几何意义写出切线方程，再根据两条切线方程相同列出等式，最后通过构造函数，利用函数的单调性和极值来确定的取值范围.
【详解】设，，则，.
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则公切线的斜率，消去，得.
因为，所以，即，
将其代入并分离参数，得.
令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则的极小值为，极大值为.
当时，，当时，.
因为曲线与曲线有三条公切线，
所以关于的方程恰有3个不同的实数解，
则，即.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求；
（2）求的最小值；
（3）求图象的对称中心的坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到，代入即可求解；
（2）由（1）中函数的解析式，结合三角函数的最值，即可求解；
（3）由（1）中函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
因为
，
所以.
小问2详解】
.
当时，取得最小值，且最小值为.
【小问3详解】
令，
得，
所以图象的对称中心的坐标为.
16. 近年来，智能仓储机器人系统广泛应用于物流分拣领域.在某智能仓库中，两个机器人A和B需协同完成货物搬运任务.已知机器人A单独在单位时间内成功搬运货物的概率，机器人B单独在单位时间内成功搬运货物的概率.当这两个机器人同时工作时，系统会赋予一个“协同增益系数”，该系数体现了机器人协同工作的效率提升效果，在单位时间内至少有一个机器人成功搬运的概率.
（1）若机器人A，B各自独立参与货物的搬运，设在单位时间内成功搬运货物的机器人个数为，求的均值；
（2）在（1）的条件下，设，若是的倍，求的近似值（结果精确到整数）.
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）运用相互独立事件的概率公式和随机变量的均值公式进行求解即可；
（2）根据题中定义，结合（1）的结论进行求解即可.
【小问1详解】
的所有可能取值为0，1，2，
.
，
，
故.
【小问2详解】
由（1）知.
因为，
所以，
故的近似值为7.
17. 如图，在四棱锥中，AB，AD，AE两两垂直，，，且.
（1）证明：平面平面ABCD.
（2）设，三棱锥的体积为.
（ⅰ）求的单调区间；
（ⅱ）当取得最大值时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直即可；
（2）（ⅰ）利用三棱锥体积公式，结合导数来确定单调区间；
（ⅱ）利用空间向量的运算来求线面角正弦值即可.
【小问1详解】
因为AB，AD，AE两两垂直，且，平面ABCD，
所以平面ABCD，
又因为平面ACE，所以平面平面ABCD.
【小问2详解】
（ⅰ）因为，，所以.
因为，所以，.
由平面ABCD，得，
则，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，此时，，，.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，.
设平面CDE的法向量为.
则，，
令，得.
设直线BD与平面CDE所成的角为，
则.
18. 已知抛物线：的准线方程为.
（1）求的方程.
（2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的取值范围；
（ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线标准方程求解即可；
（2）（ⅰ）直线与抛物线有两个交点，利用判别式求解即可；（ⅱ）表示，利用的取值范围求解即可；（ⅲ）利用设点和韦达定理，可求解的中点坐标的关系，即可证明.
【小问1详解】
根据题意可知准线方程为，即的准线方程为，
所以，即，
所以，
则抛物线的方程为：；
【小问2详解】
（ⅰ）依题意得直线的方程为，
当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，
当时，代入，
得，
则且，解得且，
所以的取值范围是；
（ⅱ）设，，根据（ⅰ），利用韦达定理可得：
，，
所以，
代入可得：；
若，即，则，
所以 ，
即的取值范围是；
（ⅲ）
因为直线OB的方程为，
所以点的坐标为，
设线段AD的中点为，则，，
则
，
所以点在直线上，故线段AD的中点在一条定直线上.
19. 已知等差数列的首项为1，正项等比数列的首项为2，且，.
（1）求和的通项公式；
（2）若，，求的取值范围；
（3）设，证明：.
【答案】（1），；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式得到方程组，解出即可；
（2）设，求导后对分类讨论即可；
（3）设，解不等式，从而得到结论当时，，再根据（2）中结论得，取，最后利用等比数列求和公式即可证明不等式.
【小问1详解】
设的公差为，的公比为，
则，解得或.
因为，所以，所以
故，.
【小问2详解】
设，则.
，等价于.
当时，单调递增，故；
若，则，，
所以单调递增，，符合题意.
若，则在上有唯一零点，
当时，，则单调递减，，不符合题意.
综上，的取值范围是.
【小问3详解】
证明：先证当时，．
设，令，得，
即，即,即.
当时，，所以当时，．
因为，且当时，，
所以．
,
由（2）可知，当时，，即,
取，可得
，
当时,,
所以