河南省周口市项城市多校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省周口市项城市多校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：120分 考试时间：110分钟
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
3. 抛物线的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A. ，直线B. ，直线
C. ，直线D. ，直线
4. 已知反比例函数图象经过点，则该函数图象所在的象限是（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
5. 如图，在中，，且，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
6. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 某果园2023年水果产量为100吨，2025年计划达到144吨，设年平均增长率为x，则列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ）．
A ＞B. ＜C. ＝D. 无法确定
9. 对于二次函数，下列说法错误是（ ）
A. 开口向下B. 当时，函数有最大值4
C. 图象与x轴有两个交点D. 图象经过点
10. 已知在矩形中，，点E是的中点，点F在上，且，则与的关系是（ ）
A. 全等B. 相似C. 周长相等D. 面积相等
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是_____．
12. 写出一个图象经过第一、三象限的反比例函数解析式：______（写一个即可）．
13. 二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位，平移后的函数解析式为______．
14. 如图，在中，，于点D，若，，则的长为______．
15. 某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月销量就减少10件，设售价为每件x元，每月利润为y元，则y与x函数关系式为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解一元二次方程
(1)（因式分解法） (2)（公式法）
17. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）求m的值；
（2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
18. 已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点．
（1）求三点的坐标；
（2）求的面积．
19. 某扶贫车间生产一批手工艺品，若单独由甲组生产，需要10天完成；单独由乙组生产，需要15天完成．现两组合作生产，中途甲组因有其他任务停工2天，完成这批手工艺品一共用了多少天？
20. 如图，在和中，，，，，，求的长．
21. 某商场购进一批进价为20元/件的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．
（1）设该商品每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22. 如图，正方形中，点E在边上，点F在边上，且，连接交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
23. 如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求顶点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2025－2026学年度第一学期期末考试试卷
九年级数学（华师版）
满分：120分 考试时间：110分钟
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可．
【详解】解：A：含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，不符合题意；
B、方程中含有，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、只含未知数x，最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意；
D、最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
2. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，
将代入方程，求解k的值．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
解得．
故选：B．
3. 抛物线的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A. ，直线B. ，直线
C. ，直线D. ，直线
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标和对称轴即可．
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，对称轴为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标和对称轴分别是，直线．
故选：A
4. 已知反比例函数的图象经过点，则该函数图象所在的象限是（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．先根据图象经过的点的坐标求出值，再利用反比例函数图象的性质即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
该反比例函数的图象位于第二、四象限．
故选：C．
5. 如图，在中，，且，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．先判定，然后求得相似比，最后根据相似三角形的性质即可解答；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴，即．
故选：D．
6. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键；
根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴ ．
故选：A
7. 某果园2023年水果产量为100吨，2025年计划达到144吨，设年平均增长率为x，则列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到2025年产量的等量关系是解决本题的关键．
2025年的产量年的产量年平均增长率，把相关数值代入即可．
【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得：
．
故选：B
8. 若点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ）．
A. ＞B. ＜C. ＝D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．熟悉反比例函数的图象和性质，根据的取值范围，比较函数值的大小，是解题的关键．
根据反比例函数的图象和性质，由的符号确定函数值符号，比较大小即可．
【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上，
∴，，
∵ ，
∴，，
∴．
故选：．
9. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向下B. 当时，函数有最大值4
C. 图象与x轴有两个交点D. 图象经过点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查抛物线的图象性质，抛物线图象与系数关系，抛物线与x轴交点问题，根据函数的图象和性质逐次求解即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数图象开口向下，故A选项正确，不符合题意；
∵，
∴当时，函数有最大值4，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴图象与x轴有两个交点，故C选项正确，不符合题意；
当时，，
∴图象经过点，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
10. 已知在矩形中，，点E是的中点，点F在上，且，则与的关系是（ ）
A. 全等B. 相似C. 周长相等D. 面积相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的性质以及相似三角形的判定定理．
可得，，则，再由夹角相等即可得到．
【详解】解：如图，
∵矩形，
∴,
∵，
∴，
∵，点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式等于0时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．
根据一元二次方程有两个相等实数根时，判别式等于零，列出方程求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等实数根，其中，，，
∴，
解得．
故答案为：．
12. 写出一个图象经过第一、三象限的反比例函数解析式：______（写一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．熟悉反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当反比例函数，时，图象经过第一、三象限．
【详解】解：反比例函数一般形式为（），其图象是双曲线，
当时，双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，
∴只需令，如，则函数解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位，平移后的函数解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减．根据平移规律即可解答．
【详解】解：二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位，平移后的函数解析式为．
故答案为：．
14. 如图，在中，，于点D，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，等积法求线段的长．解题的关键是掌握勾股定理．
先根据勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可．
【详解】解：，，，
，
，
，即：，
；
故答案为：．
15. 某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月销量就减少10件，设售价为每件x元，每月利润为y元，则y与x的函数关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据利润等于每件利润乘以销量，可得到函数关系式．
【详解】解：根据题意得：．
即y与x的函数关系式为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解一元二次方程
(1)（因式分解法） (2)（公式法）
【答案】(1)，；(2)，．
【解析】
【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）找出a，b，c值，代入求根公式即可求出解.
【详解】(1)，
，
，，
，；
(2) ，
a=2，b=-4，c=-1，
>0，
∴=，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
17. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）求m的值；
（2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）
（2）在该函数图象上，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
（1）将点代入函数解析式，即可求得m的值；
（2）根据（1）中所求得到函数解析式，判断点是否满足该函数解析式即可．
【小问1详解】
解：将点代入，
得，
解得；
【小问2详解】
解：点在该函数图象上，
理由：由（1）得函数解析式为，
当时，，与点的纵坐标一致，
∴点在该函数图象上．
18. 已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点．
（1）求三点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数图象与坐标轴交点坐标，二次函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
（）把和代入函数解析式解答即可求解；
（）根据三角形的面积公式计算即可求解；
【小问1详解】
解：令，则，
解得，
∵在左侧，
∴，，
令，则，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
19. 某扶贫车间生产一批手工艺品，若单独由甲组生产，需要10天完成；单独由乙组生产，需要15天完成．现两组合作生产，中途甲组因有其他任务停工2天，完成这批手工艺品一共用了多少天？
【答案】完成这批手工艺品一共用了天
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设完成这批手工艺品一共用了x天，则甲组生产了天，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，结合两组的工作总量之和为1建立方程求解即可．
【详解】解：设完成这批手工艺品一共用了x天，则甲组生产了天
由题意得，，
解得，
答：完成这批手工艺品一共用了天．
20. 如图，在和中，，，，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和对应边成比例是解题的关键．
根据，，可知，然后根据相似三角形对应边成比例，结合已知条件，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
21. 某商场购进一批进价为20元/件的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．
（1）设该商品每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）销售单价定为35元时，利润最大，最大利润为2250元
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质，
对于（1），根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出关系式，再求出解；
对于（2），根据抛物线的开口方向和对称轴可知有最大值，求出即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：∵，其中，
∴开口向下，利润有最大值，对称轴为，
当时，，
答：销售单价定为35元时，利润最大，最大利润为2250元．
22. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且，连接交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据正方形的性质得出相等的边和角，然后利用证明三角形的全等即可；
（2）根据全等三角形得出相等的角，然后利用直角三角形的性质得出，根据两个角相等的三角形相似即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
23. 如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求顶点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点P坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，顶点坐标，根据等腰三角形的性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据顶点坐标公式进行求解即可；
（3）连接，作线段的垂直平分线交轴于点，假设，根据等边列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：将代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：顶点横坐标，
顶点纵坐标为，
∴顶点D的坐标为；
【小问3详解】
解：存，理由如下：
连接，作线段的垂直平分线交轴于点，
∴,
此时，为等腰三角形，
假设，
根据勾股定理得，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
根据勾股定理得,，
分别以点为圆心，以长为半径画圆，与轴无交点，
∴点P的坐标只有．