天津市滨海新区2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份天津市滨海新区2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了 “且”是“”， 函数的零点所在的区间为等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时100分钟.
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共12小题，每小题5分，共60分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. “且”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度
5. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
8. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，的终边过点，把角的终边绕原点O逆时针方向旋转90°，这时终边对应的角是，则（ ）
A B. C. D.
9. 已知函数部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，则下列结论正确的是（ ）
A. 小球在开始振动（即）时在平衡位置下方1 cm处
B. 小球的最高点和最低点相距2 cm
C. 小球往复运动一次所需时间为s
D. 每秒钟小球往复振动的次数为
11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 当时，函数的值域为
B. 若函数的定义域为，则
C. 若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是
D. 对任意的，函数都不存在最小值
12. 已知函数在上单调递减，且为一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断：
①.
②函数为偶函数.
③函数在区间上只有一个零点.
④函数在区间上的最大值为.
其中，判断正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共12小题，共90分.
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
13. 函数 的定义域为_____
14. 如果，，那么________（用不等号“>”或“”或“
【解析】
【分析】根据不等式的性质比较大小即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，，
所以，
故答案为：
15. 已知，，且，则xy的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值.
【详解】由，，且，得，
当且仅当取等号，所以xy的最大值为1.
故答案为：1
16. 已知幂函数的图象经过点，则______________．
【答案】
【解析】
【分析】设幂函数，由函数过点，求出参数，即可求出函数解析式，再代入计算可得；
【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得，
所以，所以.
故答案为：
17. 已知集合，.
（ⅰ）________；（ⅱ）________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据集合的补集运算求，解不等式求出集合，根据交集运算求即可.
【详解】（ⅰ）因为，所以.
（ⅱ）因为，
所以.
故答案为：；
18. 已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的圆心角所对的弧长是________，扇形的面积是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
先求出圆心角的弧度数，再利用弧长公式和面积公式求解即可.
【详解】解：由已知圆心角为60°，其弧度为，
第一空：该扇形的中心角所对的弧长，
第二空：扇形的面积.
故答案为：；
【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式，是基础题.
19. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，，k是正的常数，且过滤前后废气的体积不变，已知在前6 h消除了80%的污染物.（ⅰ）常数k的值为________；（ⅱ）要消除90%的污染物，所需时间约为________h（精确到0.1 h）.（参考数据：lg2≈0.301，无理数e=2.71828…）
【答案】 ①. ②. 8.6
【解析】
【分析】由题意根据，即得的值，令，根据对数运算性质求出的值即可.
【详解】由题意，当时，，即，
，
设要消除90%的污染物需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得.
（），
故答案为：；
20. 已知函数其中且.
（ⅰ）当时，函数的值域为________；
（ⅱ）若存在三个互不相等实数，，，使得，且，则实数a的取值范围是________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（i）分别求出每一段的值域，再取并集即可；
（ii）存在三个互不相等实数，，，使得，转化为与有3个不同交点，讨论与的关系，分析图象，由，讨论的范围，进而得出的范围即可.
【详解】（i）当时，，
当时，单调递增，，
当时，，
开口向下，对称轴，，
此时，
综上函数的值域为.
（ii）存在三个互不相等实数，，，使得，
即与有3个不同交点，不妨设，
当时，则当时，单调递减，，
令，解得或，
画出的图像如图，由图像可得，，，符合题意，
当时，则当时，单调递增，，
当时，如图，不会有3个交点，当时同理不符合题意，
当时，，，
若要，则，则，
当时，，
令，得或，
则，，
综上.
故答案为：（i）,（ii）
三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
21. 已知，.
（1）求sinx，tanx的值；
（2）求，的值.
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解；
（2）由两角差的正弦公式，二倍角的余弦公式求解.
小问1详解】
，，
∴，
∴ .
【小问2详解】
.
.
22. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴右侧的图象，如图所示.
（1）画出函数在y轴左侧的图象，根据图象写出函数在R上的单调递减区间；
（2）用定义法证明函数在上单调递增；
（3）根据图象求不等式的解集.
【答案】（1）图象见解析，单调递减区间为，
（2）证明见解析 （3）或.
【解析】
【分析】（1）求出解析式，画出二次函数图象，再结合图象得出递减区间；
（2）利用定义证明单调性；
（3）根据图象解不等式.
【小问1详解】
当时，，则，
因为函数是定义在R上的偶函数，所以，
则，
因为，
则画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，
结合函数的图象，可得函数在R上的单调递减区间为，
【小问2详解】
任取且，
则
∵，∴，，即，
∴，
∴.
∴函数在上单调递增.
【小问3详解】
结合图象可得，当时，，或，
故不等式的解集为或.
23. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的单调递增区间；
（3）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）逆用两角和的正弦公式化简，由正弦型三角函数的周期公式求解；
（2）根据正弦型函数的单调性结合函数定义域求单调区间即可；
（3）令，可得，转化为方程在上仅有一个实根，由二次函数性质求解即可.
小问1详解】
由题意，得
∴，∴的最小正周期为.
【小问2详解】
由（1）知，设.
∵，∴，
∵，的单调递增区间是，
且由，得，
∴函数在上的单调递增区间是.
【小问3详解】
∵，∴，
由（2）知在上单调递增，在上单调递减，
，，
令，则.
如图所示，

关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，
只需方程在上仅有一个实根，且此根在区间上.
令，因为，
则，或
解得或.
所以实数m的取值范围是或.
24. 已知函数.
（1）证明函数是奇函数，并判断函数的单调性（说明理由，不需要证明）；
（2）若，使得成立，求实数a的取值范围；
（3）是否存在正数使函数在上的最小值为k，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析，增函数
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断；根据是增函数，是减函数判断；
（2）根据（1）的结论，将问题转化为求解；
（3）令，结合函数是增函数，得到，转化为在上的最小值为k，即在上有最值为1，由二次函数的性质，分，，求解.
【小问1详解】
证明：函数的定义域为R.
∵，都有，
且，
∴函数是奇函数.
∵3>1，所以是增函数；
，，所以是减函数，是增函数；
∴函数是增函数.
【小问2详解】
由（1）知函数是奇函数，所以由得：
，
又由（1）知函数是增函数，所以.
整理得.
又，且，即，
∴，故实数a的取值范围为.
【小问3详解】
假设存在满足条件的正数.
令，由（1）知函数是增函数，
∴当时，，
，
∴，，
即在上的最小值为k，
也即在上有最值为1.
因为二次函数在上的最值只可能在端点或者对称轴处取得，所以只可能是以下三种情况：
①若时，有最值1，即，解得，此时对称轴为，则为最小值，而时，是增函数，则的最小值为，符合题意.
②若时，有最值1，即，解得，此时对称轴为，为最大值，而，是增函数，的最大值为，不合题意，舍去.
③若时，有最值1，即，解得（舍），或，此时对称轴为，，所以的最值不可能是，不合题意，舍去.
综上所述，.