专题01 一次方程（组）及其应用【知识串讲+9大考点】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

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模块二
知识点一遍过
（一）等式的性质
（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .
（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．
（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
（二）方程的概念
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解，方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程。
（2）一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为ax+b=0(a≠0)．其解为x＝．
（3）二元一次方程（组）：
①二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
②二元一次方程组：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
③二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有无数多个解．
④二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（三）解一元一次方程
（1）一般步骤：①去分母：②去括号：③移项：④合并同类项：⑤系数化为1．
（2）理论根据和注意点
①去分母→根据等式性质2→注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；
②去括号→根据去括号法则（分配律）→注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，括号内各项都要变号；
③移项→根据移项法则（等式性质1）→注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；
④合并同类项→根据合并同类项法则→注意点：系数相加，字母及它的指数不变
（四）解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．
（五）一次方程（组）的应用
步骤：设（未知数）→列（方程）→解（方程）→答（作答）
关键点：确认等量关系；常见的等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率。
③配套问题：
实际生产比＝配套比。
④商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
⑤数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
⑥平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）＝总数，
原数×（1－下降率）＝总数。
模块三
考点一遍过
考点1：方程的解
典例1：如果x=−8是方程3x+8=x4−a的解，则a的值为（ ）．
A．−14B．14C．30D．−30
【变式1】已知关于x的方程3x−7=2x+a的解与方程4x+2=7−x的解相同，则a的值为 ．
【变式2】我们规定关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b−a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x=4.5的解为x=4.5−3=1.5，则方程3x=4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程6x=m是“差解方程”，则m= ．
（2）已知关于x的一元一次方程：5x=mn−m和−3x=mn−n都是“差解方程”，则代数式4mn−m−16mn−n2= ．
【变式3】若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b−a；则称该方程为“奇异方程”，例如：2x=4的解为x=4−2，则该方程2x=4是“奇异方程”已知关于x的一元一次方程3x=m+5是奇异方程，则m的值为 ．
【变式4】小丽同学在做作业时，不小心将方程2x−3−■=x+1中的一个常数污染了，在询问老师后、老师告诉她方程的解是x=8，请问这个被污染的常数■是 （ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式5】如果方程−m(x−1)=1−3x的解为x=12，那么关于y的方程m(y+5)=2m−(2y−1)的解为（ ）
A．y=4B．y=3C．y=2D．y=1
考点2：等式的性质
典例2：下列变形错误的是（ ）
A．若a=b，则ac2=bc2B．若ac2=bc2，则a=b
C．若a=b，则1−3a=1−3bD．若ac2=bc2，则a=b
【变式1】有下列变形：①若x=y，则mx=my；②若x=y，则xc=yc；③若ax=ay，则x=y；④若xc= yc，则x=y．其中变形正确的是 ．（请填写序号）
【变式2】下列各变形中：
①由x=y，可得到后xa=ya；
②由x+3=y+3，可得到x=y；
③由xa=ya，可得到x=y；
④由x0.3−2x−10.7=5，可得到10x3−20x−107=50．其中一定正确的有 （填序号）．
【变式3】下列等式变形：①若a=b，则a+x=b+x；②若ac=bc，则a=b；③若4a=3b，则4a−3b=1；④若ab=34，则4a=3b；⑤若2xm=3ym，则2x=3y．其中一定正确的是 （填序号）．
【变式4】下列等式变形正确的是（ ）
A．若3x+2=2x−2，则x=0
B．若x3+x−12=1，则2x+3(x−1)=1
C．若5x−6=2x+8，则5x+2x=8+6
D．若0.04x+−0.5−，则4x+225−5−2x3=0.2
【变式5】下列结论：①若a+b=0，a≠b，则baa+2+abb−3=1；②若a=b，则ac2+1=bc2+1；③若x