中考数学一轮复习 分式 （复习讲义）

这是一份中考数学一轮复习 分式 （复习讲义），共36页。学案主要包含了分式的基础，分式的性质，分式的运算，分式的比较大小-等内容，欢迎下载使用。
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01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻 PAGEREF _Tc214359310 \h 1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建 PAGEREF _Tc214359311 \h 3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关 PAGEREF _Tc214359312 \h 4
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测 PAGEREF _Tc214359313 \h 8
05·重难突破·思维进阶 \l "_Tc214359314" 24
考点一 分式的基础
1．（2025·广西·中考真题）写出一个使分式1x+3有意义的x的值，可以是 ．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母的值不等于0，求出x的取值范围，进而写出符合条件的一个x的值即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：要使分式1x+3有意义，则x+3≠0，
∴x≠−3，
∴x的值可以是2，
故答案为：2．
2．（2025·四川凉山·中考真题）若式子m−1m+2在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ．
【答案】m≥1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到m−1≥0m+2≠0，再求解即可．
【详解】解：∵式子m−1m+2在实数范围内有意义，
∴m−1≥0m+2≠0，
解得：m≥1，
∴m的取值范围是m≥1，
故答案为：m≥1．
3．（2025·贵州·中考真题）若分式x−2x+3的值为0，则实数x的值为（ ）
A．2B．0C．−2D．-3
【答案】A
【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：x−2=0且x+3≠0，
解得：x=2；
故选A．
考点二 分式的性质
1．（2025·湖南·中考真题）约分：x3yxy= ；
【答案】x2
【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键．
直接约去分子与分母的公因式即可．
【详解】解：x3yxy=x2，
故答案为：x2．
2．（2025·吉林长春·一模）分式12ab和3a2的最简公分母为 ．
【答案】2a2b/2ba2
【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可．
【详解】∵12ab和3a2中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1，
∴分式12ab与3a2的最简公分母为2a2b．
故答案为：2a2b．
3．（2025·安徽宣城·一模）下列化简运算不正确的是（ ）
A．m−1m2−1=1m+1B．−1+nm=−1+nm
C．0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3bD．x2−y2x2+2xy+y2=x−yx+y
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案．
【详解】解：m−1m2−1=m−1m−1m+1=1m+1，故A项计算正确，不符合题意；
−1+nm=−1−nm≠−1+nm，故B项计算错误，符合题意；
0.5a+b0.2a−0.3b=0.5a+b×100.2a−0.3b×10=5a+10b2a−3b,故C项计算正确，不符合题意；
x2−y2x2+2xy+y2=x−yx+yx+y2=x−yx+y，故D项计算正确，不符合题意；
故选：B
考点三 分式的运算
1．（2025·山东潍坊·中考真题）计算1x−1+x1−x的结果是（ ）
A．1B．−1C．0D．x+1x−1
【答案】B
【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可．
【详解】解：1x−1+x1−x=1x−1−xx−1=1−xx−1=−1；
故选B．
2．（2025·河北·中考真题）若a=−3，则a2+12a+36a2+6a=（ ）
A．−3B．−1C．3D．6
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解．
【详解】解：a2+12a+36a2+6a= a+62aa+6=a+6a
当a=−3时，原式=−3+6−3=−1
故选：B．
3．（2025·四川·中考真题）化简：1−3x÷x2−9x．
【答案】1x+3
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】解：1−3x÷x2−9x
=x−3x÷x2−9x
=x−3x÷x+3x−3x
=x−3x⋅xx+3x−3
=1x+3．
命题点一 分式的基础
►题型01 分式有意义、无意义及分式值为0的条件
【典例1】（2025·山东淄博·中考真题）若分式1x+1÷x−3x−2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠−1且x≠2B．x≠−1且x≠3
C．x≠2且x≠3D．x≠−1且x≠2且x≠3
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可．
【详解】解：∵分式1x+1÷x−3x−2有意义，
∴x+1≠0x−3≠0x−2≠0，
解得x≠−1且x≠2且x≠3，
故选：D．
【变式1-1】（2025·甘肃甘南·中考真题）若分式x−2x+1x−2的值为0，则x的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解．
【详解】解：∵分式x−2x+1x−2的值为0，
∴ x−2=0x+1x−2≠0，
解得：x=−2，
故答案为：−2．
【变式1-2】（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（ ）
A．x−1x+2B．x+2x+1C．x+2x−1D．x−2x+1
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0，
根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出分母即可.
【详解】解：当x=−2时，y=0，可知分式的分子中含有因式x+2；
当x=−1时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式x+1，
所以y代表的分式可能是x+2x+1.
故选：B.
►题型02 分式的值
【典例2】（2025·山东滨州·中考真题）已知A=x+y，B=x2−y2，C=x−yx÷x−2xy−y2x．
(1)若AB=15，求C的值；
(2)当y=1，且3C为整数时，求x的整数值．
【答案】(1)C=15
(2)x=±2或4
【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键：
（1）化简AB，得到AB=1x−y，根据混合运算法则求出C=1x−y，即可得出结果；
（2）根据C=1x−y，结合y=1，得到C=1x−1，进而得到3C=3x−1，根据3C为整数得到x−1=±3,±1，且x≠0,x≠1，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵A=x+y，B=x2−y2，
∴AB=x+yx2−y2=x+y(x+y)(x−y)=1x−y．
C=x−yx÷x2−2xy+y2x=x−yx⋅xx2−2xy+y2=x−yx⋅x(x−y)2=1x−y．
∴C=AB．
∵AB=15，
∴C=15．
（2）由（1），得：C=1x−y，
∴3C=3x−y，
当y=1时，3C=3x−1．
∵3C与x均为整数，
∴x−1=±1或x−1=±3．
∴x=0,2,4,−2，
又∵x≠0且x−1≠0，
∴x≠0且x≠1．
∴x=±2或4．
【变式2-1】（2025·四川达州·二模）不等式1+x1−x≥0的解为（ ）
A．−1b，正方形ABCD的面积为26，
∴a2+b2=26，
∵四个直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF−AE=a−b，
∵正方形EFGH的面积为16，
∴a−b2=16，
∴a2+b2−2ab=16，
∴26−2ab=16，
∴ab=5，
∴a+b2=a−b2+4ab=16+4×5=36，
∴a+b=6（舍负），
∴2a⊗b⊗2a=2a⊗2a⊗b=a⊗b=aba+b=56，
故答案为：56．
【变式2-1】（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=M⋅N，则称分式N是分式M的“和美分式”．
(1)判断分式12x+4是否为分式12x+3的“和美分式”，并说明理由；
(2)小颖在求分式1x2+y2的“和美分式”时，用了以下方法：设1x2+y2的“和美分式”为A，
则1x2+y2−A=1x2+y2⋅A，
所以，整理得1x2+y2+1⋅A=1x2+y2，
所以，A=1x2+y2+1．
请你仿照小颖的方法，求分式x−y2x+3y的“和美分式”．
【答案】(1)分式12x+4是分式12x+3的“和美分式”，见解析
(2)x−y3x+2y
【分析】本题考查分式的计算，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）求出两个分式的差和积，根据新定义，进行判断即可；
（2）仿照题干方法，进行求解即可．
【详解】（1）解：分式12x+4是分式12x+3的“和美分式”，理由如下：
∵12x+3−12x+4
=2x+4−2x−32x+32x+4
=12x+32x+4
=12x+3⋅12x+4，
∴12x+3−12x+4=12x+3⋅12x+4，
∴分式12x+4是分式12x+3的“和美分式”；
（2）设x−y2x+3y的“和美分式”为A，
则x−y2x+3y−A=x−y2x+3y⋅A，
整理得x−y2x+3y+1⋅A=x−y2x+3y，
∴A=x−y2x+3y÷x−y2x+3y+1
=x−y2x+3y÷x−y+2x+3y2x+3y
=x−y2x+3y⋅2x+3y3x+2y
=x−y3x+2y，
∴x−y2x+3y的“和美分式”为x−y3x+2y．
【变式2-2】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．
【理解】分式：①x+33，②y2+1y2中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）；
（2）【应用】先化简4x+7x+1−x−1x÷x2−1x2+2x，并求x取何整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）②；（2）3+2x+1，当x=−3时，该式的值为整数
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
（1）根据“和谐分式”的定义判断即可；
（2）原式化简为3x+5x+1，继而得出原式=3+2x+1，结合分式有意义的条件可得答案．
【详解】解：（1）x+33=x3+1为整式，y2+1y2=1+1y2，
∴②是“和谐分式”，
故答案为：②；
（2）原式=4x+7x+1−x−1x⋅xx+2x−1x+1
=4x+7x+1−x+2x+1
=4x+7−x+2x+1
=3x+5x+1
=3x+3+2x+1
=3+2x+1，
∵x−1x+1≠0且xx+2≠0，
∴x≠±1且x≠0且x≠−2，
∴若该分式的值为整数，则x=−3，此时分式的值=3+2−3+1=3−1=2．
突破三 整体思想的运用
【典例3】（2025无锡市模拟）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等．
例如：ab=1，求证：11+a+11+b=1．
证明：左边=11+a+11+b=abab+a+11+b=b1+b+11+b=1．
请根据阅读材料解答下列问题：
(1)已知a+b=−1，ab=3，求3a+3b的值；
(2)若ab=1，求11−a2−1b2−1的值．
【答案】(1)−1
(2)1
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）先根据分式的加法法则把原式进行化简，再把a+b=−1，ab=3代入进行计算即可；
（2）把ab=1代入进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ a+b=−1，ab=3，
∴ 3a+3b
=3（a+b）ab
=3×（−1）3
=−1．
（2）解：∵ ab=1，
∴ 11−a2−1b2−1
=abab−a2−abb2−ab
=aba（b−a）−abb（b−a）
=ab2ab（b−a）−a2bab（b−a）
=ab（b−a）ab（b−a）
=1．
【变式3-1】（2025湖北省模拟）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等．
例如：ab=1，求证：11+a+11+b=1
证明：左边=11+a+11+b=abab+a+11+b=b1+b+11+b=1
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式a+b2≥aba>0,b>0，当且仅当a=b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．
请根据阅读材料解答下列问题：
(1)已知ab=1，求11+a2+11+b2的值；
(2)若abc=1，求5aab+a+1+5bbc+b+1+5cca+c+1的值；
(3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值；
(4)若正数a、b满足a+b=1，求M=1a+14b的最小值．
【答案】(1)1；
(2)5；
(3)12；
(4)94．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键．
（1）将ab=1，代入式中可求值；
（2）将abc=1代入可求解；
（3）设此长方形的边长为a，b，则ab=9，由∴a+b2≥ab解答即可．
（4）由M=1a+14b=a+ba+a+b4b=54+ba+a4b≥54+1=94，可得当a2=4b2取最小值时，M的值最小．
【详解】（1）解：11+a2+11+b2 =11+1b2+11+b2=b21+b2+11+b2=1，
（2）解：∵5aab+a+1+5bbc+b+1+5cca+c+1，且abc=1，
∴5aab+a+abc+5bbc+b+1+5cca+c+abc=5+5bbc+b+1+5a+1+ab
=a5+5babc+b+1+5abc+b+1=5a+ba+1abc+b+1=5，
（3）解：设此长方形的边长为a，b，则ab=9，
∵a>0，b>0，
∴a+b2≥ab，
得a+b≥2ab=6，当且仅当a=b时等号成立时，所以周长的最小值为12，
（4）解：∵正数a，b满足a+b=1
∴M=1a+14b=a+ba+a+b4b=54+ba+a4b≥54+1=94
∴当a+2a=22时，M有最小值，当且仅当a2=4b2时等号成立时，
则M最小值为94．
【变式3-2】（2025安阳市模拟）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知xy=1，求11+x+11+y的值．
解：原式=xyxy+x+11+y=y1+y+11+y=y+1y+1=1
问题解决：
(1)已知xy=1．
①代数式11+x2+11+y2的值为 ．
②求证11+x2021+11+y2021=1．
(2)已知，xy+z+yz+x+zx+y=1，且x+y+z≠0，求x2y+z+y2z+x+z2x+y的值．
【答案】(1)①1；②见解析
(2)0
【分析】本题考查分式的化简求值，分式的混合运算．
（1）①把xy=1代入11+x2+11+y2，分母提取公因式，约分，再根据分式加法法则计算即可得答案；②由xy=1可得x2021y2021=1，同①的方法计算即可得结论；
（2）将已知等式变形，分别得到含有x2y+z,y2z+x,z2x+y的等式，再整体代入化简求值即可．
【详解】（1）解：①∵xy=1，
∴11+x2+11+y2
=xyxy+x2+xyxy+y2
=xyx(y+x)+xyy(x+y)
=x+yx+y
=1；
故答案为：1
②证明：∵xy=1，
∴x2021y2021=1，
∴11+x2021+11+y2021
=x2021y2021x2021y2021+x2021+11+y2021
=x2021y2021x2021(y2021+1)+11+y2021
=y20211+y2021+11+y2021
=y2021+11+y2021
=1；
（2）解：∵ xy+z+yz+x+zx+y=1，且x+y+z≠0，
∴ xy+z=1−yz+x−zx+y，
∴ x2y+z=x−xyz+x−xzx+y，
同理可得：y2z+x=y−xyy+z−yzx+y，z2x+y=z−xzy+z−yzz+x，
∴ x2y+z+y2z+x+z2x+y
=x−xyz+x−xzx+y+y−xyy+z−yzx+y+z−xzy+z−yzz+x
=x+y+z−xyz+x+xzx+y+xyy+z+yzx+y+xzy+z+yzz+x
=x+y+z−xz+yzx+y+xy+xzy+z+xy+yzz+x
=x+y+z−x+yzx+y+y+zxy+z+x+zyz+x
=x+y+z−x+y+z
=0．
突破四 分式的比较大小-
【典例4】（2025·云南·中考真题）已知a是常数，函数y=x+4x−a2+a−3+1，记T=a24+4a2+1．
(1)若x=−4，a=1，求y的值；
(2)若x=3a+2，y=1，比较T与3的大小．
【答案】(1)y的值为1；
(2)当a=−2时，T3．
【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）把x=−4，a=1代入函数y=x+4x−a2+a−3+1即可求解；
（2）将x=3a+2，y=1代入函数整理得−3a+2a2−4a+1=0，然后分①当a+2=0时，即a=−2和当a2−4a+1=0时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：把x=−4，a=1代入函数y=x+4x−a2+a−3+1得，
y=−4+4−4−12+1−3+1=1，
∴y的值为1；
（2）解：将x=3a+2，y=1代入函数得，
3a+2+43a+2−a2+a−3+1=1，
整理得：−3a+2a2−4a+1=0，
①当a+2=0时，即a=−2，
∴T=−224+4−22+1=953，
综上可知：当a=−2时，T3．
【变式4-1】（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小．
小华：∵x2+1−2x−1=x2+1−2x+1=x−12+1>0，
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“N
(2)b>0，
∴3a−bbb+3>0，
∴M>N；
（2）解：∵2368−2265=14954420−14964420=−14420