广东省肇庆市2026届高三上学期二模数学试题与解析（word版+pdf版）

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1. 若 z1+i=1−i ,则 z=
A. 0 B. 2 C. 2 D. 22
2. 已知集合 A=x∈Z x2−x−60,b>0 的离心率为 2,则其渐近线方程为
A. y=±33x B. y=±12x
C. y=±32x D. y=±3x
4. 从分别标有数字 −2,−1,0,1,2 的 5 张卡片中随机一次性抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片中数字乘积为非负数的概率为
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
5. 已知直线 l:y=x+m 与圆 O:x2+y2=1 交于 A,B 两点,当 △OAB 的面积最大时,点 O 到直线 l 的距离为
A. 14 B. 24 C. 12 D. 22
6. 已知圆台的上、下底面的面积分别为 9π 和 36π ,侧面积为 45π ,则该圆台的体积为
A. 13π B. 52π C. 84π D. 156π
7. 函数 fx=e2x−1ex⋅csx 在 −π2,π2 上的图象大致为
A.

B.

C.

D.

8. 在三棱锥 P−ABC 中, PA=PB=PC,AB=BC=CA=2 ,平面 PAB 与平面 CAB 夹角的余弦值为 33 ,则三棱锥 P−ABC 外接球的表面积为
A. 6π B. 6π C. 86π D. 24π
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知随机变量 X∼Nμ,σ2 ,则
A. PX≤μ−2+PX≤μ+2=1
B. μ 越大,随机变量 X 的方差越大
C. 随机变量 X 的分布越集中, σ 的值越小
D. X 的取值在 (−∞,μ−3σ] 内是小概率事件
10. 函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0 的焦距为 23 ，点 M2,1 在 C 上.
(1)求 C 的方程.
(2)直线 l 与 C 交于 A,B 两点.
(i) 若线段 AB 的中点为 T−23,13 ,求直线 AB 的方程;
(ii) 在(i) 的条件下, P 是椭圆上任意一点,求 △ABP 面积的最大值.
18. (17 分) 如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PA=PB=5 ,底面 ABCD 是矩形, AB=6,BC=4 .
(1)设平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l ，证明: l//CD .
(2)证明: PC=PD .
(3)当四棱锥 P−ABCD 的体积最大时，四棱锥 P−ABCD 是否存在内切球，若存在，求内切球的半径,若不存在,请说明理由.

19. (17 分) 学校社团准备了编号 1 到 n 的 n 个盲盒,不同的编号对应不同的奖品 (编号越大, 奖品越好). 规则如下: 参与者有放回地抽取盲盒 rr>0 次,一次抽取一个盲盒,抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品,设获得的奖品对应的盲盒编号为 X .
(1)当 n=3,r=2 时，求最终拿到编号 1 的奖品的概率和拿到编号 2 的奖品的概率.
(2)若 n=4,r=m .
① 求最终拿到编号不小于 k1≤k≤4 的奖品的概率；
②用 k 表示出期望 EX .
当 n=r 时，证明:期望 EX≥1+n−12n .
肇庆市 2026 届高中毕业班第一学期末教学质量监测 答案及评分标准 (参考) 数学
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 135
13. 12
14.2e,+∞
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 【详解】( 1 )因为 Sn+22=an,S1=a1
所以令 n=1 ,可得 a1+22=a1 ,
解得 a1=2 . 1 分
当 n≥2 时, Sn−1+22=an−1 , 2 分
则 an2=an−an−1 ,即 an=2an−1 , 3 分
所以 an 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 4 分
所以数列 an 的通项公式为 an=2n . 5 分
(2)因为 an=2n ，
所以 lg2an=lg22n=n ， 6 分
即 bn=n⋅n+1,1bn=1n⋅n+1 , 7 分
所以 Tn=11×2+12×3+⋯+1n⋅n+1 8 分
=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1 10 分 =1−1n+1 . 11 分
因为 n∈N∘ ,所以 1n+1>0 ,即 1−1n+1