广东省肇庆市2026届高三上学期第一次模拟考试数学试卷（Word版附解析）

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本试题共 4 页，考试时间 120 分钟，满分 150 分
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.
2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正
带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知方程 的两个复数根分别为 ， ，则 （ ）
A. 0 B. C. D. 3
3. 已知点 ，向量 ， ，点 P 是线段 AB 靠近点 A 的三等分点，则点 P 的坐
标为（ ）
A. B. C. D.
4. 设 为正项等比数列 的前 n 项和，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，若 成立，则 x 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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7. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 是等差数列 的前 n 项和， ， ，则（ ）
A B.
C. 当 或 时， 取最大值 D. 的最小值为 0
10. 已知函数 ，其中 ，若 最小正周期为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的定义域为
C. 上单调递增
D. 若 ，且 ，则 a 的最大值为
11. 不动点理论是泛函分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存
在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 为该函数的一个不动点，依据
不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A. 只有 1 个不动点
B. 若 （ ）没有不动点，则 没有零点
C. 若 （ ）没有不动点，则方程 无实根
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D. 有 3 个不动点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ， ，且 ，则 __________.
13. 已知曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 ______.
14. 在 中，三个内角 的对边分别为 ， 是钝角， ，则 的最大值
是__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 的两条相邻对称轴之间的距离为 .
（1）求 的值；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，在纵坐标不变的情况下，再将所有点的横坐标缩短
为原来的 ，得到函数 的图象，求 的函数解析式与对称中心.
16. 已知 a， ， ，
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）设 ，若 在 上有极值，求 b 的取值范围并证明此极值小于 b．
17. 已知 a，b，c 分别为 三个内角 A，B，C 的对边，且 .
（1）求 A；
（2）设 D 为边 AB 上一点，且 ，若 ， 的周长为 ，求 的面积.
18. 记 与 分别是数列 与 前 n 项和，已知 ， ， ， ，
.
（1）证明： 是等比数列并求 ；
（2）数列 是等差数列吗？若是，求出 通项公式，若不是，说明理由；
（3）设 ，判断是否存在互不相等的正整数 j，k，m，使得 j，k，m 成等差数列，并且 ， ，
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成等比数列.
19. 已知函数 .
（1）当 ， 时，求证： ；
（2）当 时，
（ⅰ）求 在 上的所有极大值点之和；
（ⅱ）若 在 上有两个实根 ， ，比较 与 的大小关系.