辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求).
1. 已知命题 p:∀x>2,x2−1≥0 ，则 ¬p 是( )
A. ∃x≤2,x2−1>0 B. ∃x≤2,x2−12,x2−10
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断求解即可.
【详解】命题 p:∀x>2,x2−1≥0 ,则 ¬p 是: ∃x>2,x2−10 ,则 fa+fb 的值 ( )
A. 无法判断 B. 等于 0 C. 恒小于 0 D. 恒大于 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的概念及性质求得 fx=x3 ,然后根据函数的单调性及奇函数性质转化求解即可.
【详解】由 m2−m−1=1 ,解得 m=2 或 m=−1 .
当 m=2 时, fx=x3 ; 当 m=−1 时, fx=x−6 .
因为函数 fx 的图象与坐标轴有交点,故 fx=x3 .
又 a+b>0 ,所以 a>−b ,
因为 fx=x3 为在 R 上单调递增的奇函数,
所以 fa>f−b=−fb ,即 fa+fb>0 .
故选: D
7. 某中学高一年级有 600 名男学生, 400 名女学生, 现用分层随机抽样的方法调查了 50 名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为 172 和 9，女生身高的平均数和方差分别为 162 和 14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为( )
A. 168,35 B. 168, 20 C. 169.6, 35 D. 169.6, 20
【答案】A
【解析】
【分析】先得到样本中的男生和女生人数, 进而利用平均数和整体方差的求解公式进行计算.
【详解】男学生和女学生人数比例为 600:400=3:2 ,
故样本中男生人数为 50×33+2=30 人，女生人数为 50×23+2=20 人，
样本的平均数为 3020+30×172+2020+30×162=168 ,
样本的方差为 3050×9+172−1682+2050×14+162−1682=35 .
故选: A.
8. 已知函数 fx 是定义在 R 上的奇函数, ∀x1,x2∈0,+∞ ,且 x1≠x2 ,有 x2fx1−x1fx2x1−x2b>c B. a>c>b C. c>b>a D. b>c>a
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 gx=fxx ,根据单调性定义可知 gx 在 0,+∞ 上单调递减,化简 a,b,c 为 g116,g1,glg34 ,根据单调性可得大小关系.
【详解】不妨令 x2>x1>0 ,则由 x2fx1−x1fx2x1−x20 , ∴fx1x1>fx2x2,
设 gx=fxx,∴gx 在 0,+∞ 上单调递减,
∵c=lg143⋅flg134=flg134lg314=f−lg34−lg34 ,又 fx 为奇函数,
∴c=flg34lg34=glg34,
a=16f0.252=f116116=g116, b=f1=f11=g1,
又 116glg34 ,即 a>b>c .
故选: A.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分).
9. 某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况, 从该市随机抽取了 1000 名高中学生, 对他们每天的平均学习时间进行问卷调查, 根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图, 则 ( )

A. 这 1000 名高中学生每天的平均学习时间为 6∼8 小时的人数有 100 人
B. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为 9 小时
C. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的 60% 分位数为 9.2 小时
D. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为 8.6 小时
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A: 直接利用频率分布直方图的数据进行计算, 即可判断;
对于 B: 根据众数的定义进行判断;
对于 C: 直接利用频率分布直方图的数据进行计算, 即可判断;
对于 D: 直接利用频率分布直方图的数据, 按照平均数的定义进行计算, 即可判断.
【详解】对于 A: 从频率分布直方图,可以得到 0.10×2×1000=200 ,即这 1000 名高中学生每天的平均学习时间为 6∼8 小时的人数有 200 人，故 A 错误；
对于 B: 由频率分布直方图可以得到，抽查的 1000 名高中学生每天的平均学习时间的众数为 9 小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为 9 小时, 故 B 正确;
对于 C: 由频率分布直方图可以得到,设抽查的 1000 名高中学生每天的平均学习时间的 60% 分位数为 k 小时,则有: 0.05×2+0.1×2+0.25×k−8=0.6 ,解得: k=9.2 ,即抽查的 1000 名高中学生每天的平均学习时间的 60% 分位数为 9.2 小时, 由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的 60% 分位数为 9.2 小时, 故 C 正确;
对于 D: 由频率分布直方图可以得到, 抽查的 1000 名高中学生每天的平均学习时间的平均值为
0.05×2×5+0.10×2×7+0.25×2×9+0.10×2×11=8.6 小时,由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为 8.6 小时, 故 D 正确；
故选: BCD
10. 下列说法正确的是( )
A. 函数 fx+1 的定义域是 1,4 ,则 f2−x 的定义域是 −3,1
B. 若函数 fx−1 的图象关于直线 x=1 对称,则 fx 为偶函数
C. 若函数 fx=4x−2x−a≥0 对 x∈−2,2 恒成立,则实数 a 的取值范围为 −∞,−14
D. 若 fx=2x+a2x−1 是奇函数,则 fx 的值域为 −∞,−1∪1,+∞
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项 A:根据抽象函数的定义域求解即可; 选项 B:根据函数图象平移及奇偶性定义判断即可; 选项 C: 将恒成立问题转化为求值域问题求解即可; 选项 D: 根据奇函数的定义求出 a 值,再求值域即可.
【详解】选项 A: 函数 fx+1 的定义域是 1,4 ,则 x∈1,4 ,所以 x+1∈2,5 ,因此 ft 的定义域为 2,5 ,
令 2−x∈2,5 ,则 x∈−3,0 ,所以 f2−x 的定义域为 −3,0 ,故 A 错误;
选项 B: 根据函数图象平移的性质,函数 fx−1 向左平移 1 个单位得到 fx 的图象.
因为函数 fx−1 的图象关于直线 x=1 对称,所以函数 fx 的图象关于 y 轴对称,
根据偶函数的定义可知, fx 为偶函数,故 B 正确;
选项 C: 令 t=2x ,因为 x∈−2,2 ,所以 t∈14,4 (函数 y=2x 在 R 上单调递增) .
函数 fx=4x−2x−a 可化为 gt=t2−t−a .
若 fx≥0 对 x∈−2,2 恒成立,即 gt=t2−t−a≥0 对 t∈14,4 恒成立,也即 a≤t2−t 对 t∈14,4 恒成立
令 ht=t2−t=t−122−14,t∈14,4 .
因为 ht 在 14,12 上单调递减,在 12,4 上单调递增,所以 htmin=−14 .
所以 a≤−14 ,即实数 a 的取值范围为 −∞,−14 ,故 C 正确;
选项 D: 因为 fx=2x+a2x−1 是奇函数,所以 f−x=−fx ,函数定义域为 {x∣x≠0} .
f−x=2−x+a2−x−1=1+a⋅2x1−2x, −fx=−2x+a2x−1=2x+a1−2x, 2x−1≠0
所以 1+a⋅2x1−2x=2x+a1−2x ,则 1+a⋅2x=2x+a ,即 a−12x−1=0 对定义域内的 x 恒成立,所以 a=1 .
此时 fx=2x+12x−1=1+22x−1 .
因为 2x>0 ,所以 2x−1>−1 且 2x−1≠0 .
当 2x−1>0 时, 22x−1>0,fx=1+22x−1>1 ;
当 −1x2 ,则 fx1−fx2=fx1−x2+1 .
由于当 x>1 时, fx>0,x1>x2 ,所以 fx1−fx2=fx1−x2+1>0 ,即 fx1>fx2 ,故 fx 在定义域上单调递增,故选项 B 错误;
对于选项 C: 令 m=1 ,由 fm−n+1+fn=fm 可得 f2−n+fn=f1 ,即
f2−n+fn=0 ,所以 f2−x+fx=0 ,即函数 fx 关于点 1,0 对称. 而 fx+1 的图象可由 fx 图象向左平移 1 个单位得到，所以函数 fx+1 关于点 0,0 对称，则 fx+1 是奇函数，故选项 C 正确;
对于选项 D: 因为 f2=1 ,所以 fx+2=fx+f2+f2=fx+2 ,则不等式
f2x>fx+2 等价于 f2x>fx+2
由 fx 在定义域 −4,6 上单调递增,得 −4≤2x≤6−4≤x+2≤62x>x+2 ,解得 20,b>0 ,且 4a−1b−1=4 ,则 4a+b 的最小值为_____.
【答案】 6
【解析】
【分析】由题意可得 4ab−3=4a+b ,利用基本不等式计算可得 ab≥32 ,即 4a+b≥4ab≥6 ,即可求解.
【详解】由 a>0,b>0,4a−1b−1=4 ,
得 4ab−4a−b+1=4 ,整理得 4ab−3=4a+b≥4ab ,
当且仅当 b=4a=3 时等号成立.
则 4ab−4ab−3≥0 ,故 2ab+12ab−3≥0 ,
解得 ab≥32 或 ab≤−12 (舍去),
所以 4a+b≥4ab≥6 ,当且仅当 b=4a=3 时取等号,
即 4a+b 的最小值为 6 .
故答案为: 6
14. 设函数 fx 的定义域为 D ,若函数 fx 满足条件: 存在 a,b⊆D ,使 fx 在 a,b 上的值域是 a2,b2 ,则称 fx 为“倍缩函数”,若函数 fx=lg22x+2m 为“倍缩函数”,则实数 m 的取值范围是_____.
【答案】 0,18
【解析】
【分析】根据倍缩函数的定义,构造出方程组,得到 a,b 是方程的两个不等实根,结合等量代换化为一元二次方程,利用方程有两个不等实根且均大于 0 求解即可.
【详解】因为 y=2x 在 R 上单调递增,所以 y=2x+2m 单调递增,
又 y=lg2t 在 0,+∞ 上单调递增,所以 fx=lg22x+2m 在定义域内单调递增.
因为函数 fx=lg22x+2m 为“倍缩函数”,
所以 lg22a+2m=a2lg22b+2m=b2 ,即 2a+2m=2a22b+2m=2b2 ,
所以 a,b 是方程 2x−2x2+2m=0 的两个不等实根.
设 t=2x2=2x,t>0 ,则方程 t2−t+2m=0 有两个不等的正实根,
所以 Δ=1−8m>02m>0 ,解得 05
【解析】
【分析】(1) 根据指数函数的单调性求出集合 A ,再利用并集的概念运算;
(2)根据一元二次不等式求解集合 C ，再根据 C 是 B 的真子集求 m 的取值范围.
【小问 1 详解】
A=x 13≤3x−4≤9=x 3−1≤3x−4≤32={x∣−1≤x−4≤2}={x∣3≤x≤6},
B={x∣x>4},
故 A∪B={x∣x≥3} .
【小问 2 详解】
C=x∣x2−2mx+m2−1≤0={x∣m−1≤x≤m+1},
因为 x∈C 是 x∈B 的充分不必要条件,所以 C 是 B 的真子集,
则 m−1>4 ,得 m>5 ,
故实数 m 的取值范围为 {m∣m>5} .
16. 已知定义在 −1,1 上的函数 fx=2x1+x2 .
(1)判断函数 fx 的单调性，并用定义证明；
(2)解不等式 fm−1+f3m