【数学】甘肃省张掖市2025-2026学年高二上学期期末试题（学生版+解析版）

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1. 已知数列的通项公式为，则下列各式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，，，，C错误．
故选：C．
2. 已知双曲线（，）的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线的离心率为3，即，所以，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：A.
3. 已知点，，若直线的倾斜角为，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以．
故选： D．
4. 某兴趣小组有6名男生和3名女生，从中选出4人代表小组参加活动，则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（ ）
A. 21种B. 56种C. 91种D. 35种
【答案】C
【解析】方法一：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中，包括甲、乙2人只有1人被选中和甲、乙2人都被选中两类情况，
根据分类加法计数原理，选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数为.
方法二：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数，就是从9名成员中选出4人的选法种数减去男生甲和女生乙都没有被选中的选法种数，即．
故选：C.
5. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点．若点在第一象限，则点的横坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，抛物线的焦点为,
过点作轴于点，
设点的横坐标为，则，由抛物线的性质得，
因为直线的斜率为1，所以，是等腰直角三角形，
所以，即，解得，
故选：B.
6. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 14C. 56D.
【答案】A
【解析】的展开式的通项为，，
所以在的展开式中，含的项为：
，
所以的系数为.
故选：A．
7. 已知是递增的等差数列，，若，，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由题意得，
因为，，成等比数列，所以，
所以且，即，
化简得，解得或（舍去），则．
故选：D．
8. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在第一象限．若为等腰三角形，则的内心的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在椭圆中，，，
所以，
所以，，，所以，
因为为等腰三角形，且点在第一象限，所以或，
且，
所以，由椭圆定义可得，所以，
设的内切圆与边，，的切点分别为，，，则，
由为等腰三角形知，是边的中点，
由圆的切线性质知，，
所以点的横坐标为，即点的横坐标为，
连接，则，且，
所以的面积，
设的内切圆半径为，又因为，
所以，所以点的纵坐标为，
所以的内心的坐标为，
故选：D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在等差数列中，，，为数列的前项和，则下列结论正确的有（ ）
A. 数列是递增数列B. 数列是等差数列
C. D. 数列的前8项和为50
【答案】ABD
【解析】对于A：设等差数列的公差为，则
即解得所以.
因为，所以数列是递增数列，A正确．
对于B：因为，所以，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列．B正确．
对于C：因为，所以当时，，当时，，
所以，，C错误．
对于D：数列的前8项和为：
，D正确．
故选：ABD．
10. 已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线过定点
B. 圆心到直线距离的最大值是
C. 直线被圆截得的弦长的最小值是2
D. 若点在圆上，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】由题意，直线点斜式方程为，
所以直线是斜率为，且过点的直线，所以直线过定点．故A错误．
圆的圆心为，半径．
因为，所以点在圆内．
设圆心到直线的距离为，则当时，取最大值，且最大值为．
因为直线的斜率为，所以当取得最大值时，，符合题意，
所以圆心到直线距离的最大值是．故B正确．
设直线被圆截得的弦长为，则，当取最大值时，取最小值．
由B选项的分析知，的最大值是，所以的最小值是．故C正确．
设坐标原点为，则．因为，所以点在圆内．
由圆的几何性质得，，
即，所以．故D正确．
故选：BCD．
11. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 若，则
B. 的展开式中，所有项的系数之和是
C. 的展开式中，的系数是
D. 从中任取个数字，从中任取个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数
【答案】ACD
【解析】因为，
所以由，得．解得，故A正确；
令，则的展开式中，所有项的系数之和是，故B错误；
因为的展开式中，含的项的构成是个式子取，
有个式子取常数，所以的系数是，故C正确；
从中任取个数字，有种不同的取法；
从中任取个数字，有种不同的取法．
取出的个数字可以组成个没有重复数字的五位数，
所以一共可以组成个没有重复数字的五位数，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设数列是由正数组成的等比数列，公比，且，那么_____
【答案】
【解析】由题意可得，
所以.
故答案为：.
13. 已知直线与平行，且与间的距离是，则______．
【答案】或23
【解析】直线与平行，所以，解得，
所以直线的方程为，即为．
因为直线与间的距离是，即，
所以，解得或，
所以或．
故答案为：或23.
14. 在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则______．
【答案】14或23
【解析】由题意得，．
在展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，可得，
即，
化简得，解得或．
故答案为：14或23.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的的最小值．
解：（1）设等差数列的公差为．
因为，所以．
因为，所以．所以．
（2）由（1）得，所以，所以．
，即，即，解得或．
所以当时，成立，又因为，所以的最小值为9．
16. 已知数列满足，．
（1）若，求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和．
（1）证明：因为，，所以．
所以，所以，即．
又因为，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）解：由（1）得，，即，所以．
（3）解：由（2）得，
所以．
所以
.
17. 在平面直角坐标系中，曲线上的点均满足到点的距离等于到直线的距离．
（1）请说明曲线是什么曲线，求曲线的标准方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，证明：为钝角三角形．
解：（1）设是曲线上任意一点，点到直线距离为．
由题意，得点不在直线上，且．
由抛物线的定义知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线．
因为，直线，所以曲线是开口向上的抛物线．
设抛物线的标准方程为，则，
所以抛物线的标准方程为．
（2）证明：因为直线与抛物线交于，两点，所以直线的斜率存在，设为．
因为直线过点，所以直线的方程为．
设，．
由消去，整理得，
，则，．
因为，
所以．
因为点，，不共线，所以和的夹角为钝角，
所以为钝角三角形．
18. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前项和．
解：（1）设a1＝a，由题意可得，
解得，或，
当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；
当时，an（2n+79），bn＝9•；
（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，
∴cn，
∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，
∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，
∴Tn＝2（2n﹣1）•3，
∴Tn＝6．
19. 已知双曲线（，）的实轴长为2，离心率，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设，直线，直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证：直线过定点．
（1）解：由题意，得解得
因为，
所以双曲线的标准方程为．
（2）解：由（1）知，双曲线的方程为，所以，
当直线l的斜率为0时，此时交于双曲线左右两支，不合题意，则，
所以设直线的方程为．
因为直线与双曲线的左支有两个交点，所以．
由消去，整理得．
，
设，，因为点，都在双曲线的左支上，所以，．
所以，解得或，
所以的取值范围为．
（3）证明：由题意，得直线的方程为，
代入双曲线的方程，
得．
设，则，
所以，则，
所以．
同理，．
因为，所以，
所以直线的方程为，即，
所以直线过定点．