2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市部分学校上册八年级期中数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市部分学校上册八年级期中数学试卷 [附答案]，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列各式，，，，中，分式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若代数式的值是0，则实数x的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
4．多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ）
A．abcB．4ab2C．ab2D．4ab2c
5．如图，图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
7．弟弟把嘉琪的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式等于( )

A．B．
C．D．
8．计算：（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的理由是，而这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B．C．D．
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．两个全等的三角形一定关于某条直线对称；
B．平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，且只有一条对称轴；
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
D．关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分．
二、填空题
11．使分式有意义的x的取值范围是 ．
12．分解因式： ．
13．命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）
14．若和均是的因式，则p的值为 ．
15．如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为 ．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
17．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出a=2，b=4，则解密后明文的值：mn= ．
18．如图，，，，，…，当，时， ．
19．如图，把放置在平面直角坐标系中，已知，，，，点在第四象限，则点的坐标是 ．
20．如图，在中，是边上的高，过点B作于点M，交于点E，连接，过点D作，交于点N，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题
21．计算下列各式：
（1）
（2）
22．先化简再求值：，其中，．
23．如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
（1）画出关于轴对称的，
（2）连接、，直接写出四边形的面积．
24．如图，四边形中，，，E为的中点，与相交于点F．

（1）求证：；
（2）判断线段与的位置关系，并说明理由．
25．通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．
（1）．
（2）．
26．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：
（1）由图2， 可得等式： ；
（2）利用（1） 中所得到的结论， 解决下面的问题： 已知， ， 求的值：
（3）如图3，一个小长方形的长为，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（如图4）．求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a、b的式子来表示） ．
27．在中，，
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，点D为中点，连接，过A作于E，交于点F，求证：；
（3）如图3，若，点K为线段中点，H为线段上一点，使，连接、交于点I，若，求的长．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解决本题的关键．
根据分式的定义（分母中含有字母的式子）逐一判断各式即可．
【详解】解：由题意得，：分母为1，无字母，不是分式；
：分母含字母，是分式；
：分母含字母和，是分式；
：分母为常数，无字母，不是分式；
：分母5为常数，无字母，不是分式．
∴分式有2个．
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
3．【正确答案】B
【分析】由即可求解．
【详解】解：由分母不为零得：
∵代数式的值是0
∴
综上：
故选B
4．【正确答案】B
【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案．
【详解】解：多项式8a3b2+12ab3c的公因式是：4ab2．
故选B．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解决本题的关键．
根据全等三角形的性质结合三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，
∴的对边为b，
∴，
故选B．
6．【正确答案】B
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【详解】解：A、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，本选项不符合题意；
B、是把一个多项式化为几个整式的积的形式，本选项符合题意；
C、从左到右的变形不是分解因式，本选项不符合题意；
D、从左到右的变形不是分解因式，本选项不符合题意；
故选B．
7．【正确答案】B
【分析】根据被除式=除式×商，利用单项式乘以多项式的运算法则即可得答案.
【详解】∵除式=5x，商=x2-3x+6，
∴被除式=5x(x2-3x+6)=5x3-15x2+30x.
故选B.
8．【正确答案】C
【分析】本题考查了积的乘方运算．直接根据积的乘方运算法则求解即可．
【详解】解：，
故选C．
9．【正确答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，尺规作图—作一个角等于已知角，由作法可得，，，再由三角形全等的判定定理分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由作法可得：，，，
∴，
故这两个三角形全等的依据是，
故选A．
10．【正确答案】D
【分析】此题考查了轴对称、等腰三角形的相关知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质是关键．
根据轴对称的性质和等腰三角形的性质，逐一判断各选项说法的正确性．
【详解】解：A. 两个全等的三角形不一定关于某条直线对称，故选项错误，不符合题意；
B. 平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，有两条对称轴，故选项错误，不符合题意；
C. 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故选项错误，不符合题意；
D. 关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故选项正确，符合题意．
故选D．
11．【正确答案】
【分析】根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可．
【详解】由题意得：，
解得.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式 .
13．【正确答案】真
【分析】本题考查了逆命题的定义的理解及运用，解题的关键是分清原命题的题设和结论，原命题条件与结论互换就是逆命题．
【详解】解：逆命题：如果，那么，
是真命题.
14．【正确答案】
【分析】本题考查因式分解、整式的乘法，理解整式和因式分解是互逆运算是解答的关键．
根据题意可得，即可求解．
【详解】解：∵和均是的因式，
∴，
∴，
∴．
15．【正确答案】
【分析】根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口．
【详解】解：根据题意，得，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴.
16．【正确答案】或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质，等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的两个底角相等，根据性质解题即可.
【详解】解：情况①，如下图：
∵，，
∴，
∴
情况②，如下图：
∵，，
∴，
∴
17．【正确答案】120
【分析】先化简n=（4a2b-2a3）÷（-2a）2，再将a=2，b=4，代入计算求出m、n的值，即可得到答案．
【详解】解：n=（4a2b-2a3）÷（-2a）2
=（4a2b-2a3）÷（4a2）
=b-a，
将a=2，b=4代入：
n=b-a
=4-×2
=3，
m=a2+ab2+b2=22+2×42+×42
=4+32+4
=40，
∴mn=40×3=120.
18．【正确答案】
【分析】本题考查角度的规律问题，由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得到角度的规律是关键．
根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律得出的度数．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，是的外角，
∴；
同理可得，
，，
∴．
19．【正确答案】
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB=∠DBC，结合∠AOB=∠BDC、AB=BC，即可证出△OAB≌△DBC（AAS），根据全等三角形的性质即可得出BD=AO、DC=OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标．
【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠DBC=90°，
∴∠OAB=∠DBC．
在△OAB和△DBC中，
，
∴△OAB≌△DBC（AAS），
∴BD=AO，DC=OB．
∵A（3，0），B（0，-1），
∴BD=AO=3，DC=OB=1，OD=OB+BD=4，
∴点C的坐标为（1，-4）．
20．【正确答案】①②④
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识．先证明是等腰直角三角形，从而得到，判断①正确；由，，可得，从而得出，判断①正确；先证明，再证明，得出，判断④正确与否．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵是等腰直角三角形，∴，不能证明，故③不正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由②知，，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有①②④.
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握运算法则是解决问题的关键．
（1）将除法转化为乘法后约分即可；
（2）先将除法转化为乘法，再将分母因式分解后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．【正确答案】，
【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，时，原式．
23．【正确答案】（1）见详解；
（2）35
【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求面积．
（1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形；
（2）利用割补法求面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作图形；
（2）解：连接、，
四边形的面积为：．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）；理由见详解
【分析】（1）根据，得到，根据，E是的中点，得到，故，得证，即可证明结论；
（2）根据得到，结合得到，继而得到，结合得到，问题得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：线段的位置关系是．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查分组分解法因式分解
（1）根据题干所提供的方法，结合分组分解法的分组原则进行解答即可；
（2）根据分组分解法的分组原则进行解答即可；
【详解】（1）解：
（2）解：
26．【正确答案】（1）
（2）113
（3）
【分析】此题考查了多项式乘以多项式与几何图形的面积，代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可；
（3）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解．
【详解】（1）解：；
故；
（2），，



；
（3）由图可知，大长方形的面积为
，
故阴影部分的面积为
．
27．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】本题考查了等腰三角形，含角的直角三角形，三角形内角和，平行线的性质，外角的性质和全等三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识并正确作出辅助线是解答本题的关键；
（1）根据等腰三角形和三角形内角和的知识进行作答，即可求解；
（2）根据等腰直角三角形的知识可求得，再通过同角的余角相等，可得，然后证明，得到， ，再证得，然后证明，得到，然后等量变换即可求解；
（3）根据等腰三角形知识和题干条件可得，，作，，作，交延长线于点，连接，截，连接，得到，，，然后依次证明，，，，然后根据等腰三角形，直角三角形和外角的知识证明得到，，，然后即可求解；
【详解】（1）解：已知在中，，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，且，
设，则，可得：
，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为中点，
∴，
过点作 ，交的延长线于，如图：
，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴（直角三角形两锐角互余），
∵，
∴，
∴（同角的余角相等），
在和中：
，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∵，，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
设，由，得，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
作，，作，交延长线于点，连接，在上截，连接，如图：
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴设，
即，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点K为线段中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
甲：
（先分成两组）
．
乙：
（先分成两组）
．