2025-2026学年河北省张家口市张北县九年级数学上册第三次月考试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年河北省张家口市张北县九年级数学上册第三次月考试卷 [附答案]，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知矩形中，，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，，其中，的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
9．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
10．如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（ ）
A．6B．5C．8D．4
11．如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若使得正六边形的六个顶点分布在反比例函数的图象的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
12．如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，．若 ，，则 的长为 ．
14．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．小雪的镜片焦距为0.2米时，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为0.5米，此时眼镜的度数为 度．
15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 ．
16．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个．
三、解答题
17．已知y与x成反比例，且其函数图象经过点．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当时，求x的值．
18．如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求的取值范围；
（2）若点，，在该反比例函数图象上，请比较函数值，，的大小．
20．如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．
（1）若与的周长比为，求的长．
（2）点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？
21．图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示.
（1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式；
（2）在该过程中，水温不低于的时间有多长?
22．如图，正方形在第一象限，已知点，，，反比例函数的图象与正方形的边有交点．
（1）求的取值范围；
（2）当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，通过计算判断反比例函数的图象是否经过点；
（3）设反比例函数的图象与正方形的边交于点，，若线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为，直接写出的值．
23．如图，，是的两条高，过点作，垂足为，交于点，，的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）若，，，直接写出线段的长．
24．甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形．
要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和；
②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同；
③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）甲同学的方案中，拼成的正方形边长是________；
（2）求出乙同学方案中拼成的正方形的边长；
（3）以上两个同学的方案中，________（填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大；
（4）请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长）
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据反比例函数，解答即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得是反比例函数，其余都不是，
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例性质，是解题的关键．由已知比例关系，可设，代入各选项逐一验证即得．
【详解】解：∵，
∴设．
A：将代入A选项验证：
左边，右边，
左边右边，故A选项结论正确．
B：，，
∴，故B选项结论正确．
C：，
故C选项结论正确．
D：当时，，则，
故D选项结论不正确．
故选D．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可．
验证对应边是否成比例即可判断．
【详解】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，符合题意；
D：，不符合题意；
故选C
4．【正确答案】A
【分析】根据位似图形的性质解答即可．
【详解】∵点，与C关于原点对称，且位似比为，
∴的坐标为
即
故选A．
5．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
选项A中，，，两个对应角相等，，
选项B中，，，两个对应角相等，，
选项C中，，，不是夹这两个角的边，所以不相似．
选项D中，，，两条对应边的比相等，且夹角相等，．
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选B．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选B．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可．
【详解】解：连接，设直线与轴交于点，
∵直线与轴平行，
∴，
∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，
∴，
∴；
故选B．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出时x的取值范围是解答此题的关键．
先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点横坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为，
∵由函数图象可知，当或时函数的图象在的上方，
∴当时，x的取值范围是或．
故选D．
10．【正确答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，由四边形是平行四边形，得，再证明，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵是的中点,
，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
∴，，
∴，
解得：
故选: A．
11．【正确答案】B
【分析】先求得正六边形的边长，再通过正六边形的内角和求得，连接，作于H，通过等腰三角形三线合一和勾股定理，求得，表示出点A的坐标，当过点时，；当过点时，，从而推出，然后得到k的整数值的个数．
【详解】解：∵，，
∴ ，
由条件可知，其内角和为，
∴，
连接，作于H，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
当过点时，；
当过点时，，
∴，
则k可取5，6，7，8，共4个整数值，
故选B．
12．【正确答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图1和图2，得，再证明，故，最后运用配方法解得，即可作答．
【详解】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），
∴，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴
即，
∴，
整理得
∴
解得（舍去），，
故选C
13．【正确答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
14．【正确答案】200
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，根据待定系数法求出反比例函数解析式是解决问题的关键．
根据待定系数法求出反比例函数解析式，令时，求的值即可．
【详解】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
此时眼镜的度数为200度．
15．【正确答案】5
【分析】作CE⊥x轴于E，根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，即可求得CE=OA=2，T通过证得△AOB∽△BEC，求得BE=4，进而得到D点坐标，代入y=，利用待定系数法求出k．
【详解】解：作CE⊥x轴于E，
∵AC∥x轴，OA=2，OB=1，
∴OA=CE=2，
∵∠ABO+∠CBE=90°=∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AOB=∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴，即，
∴BE=4，
∴OE=5，
∵点D是AB的中点，
∴D（，2）．
∵反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k=×2=5．
16．【正确答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论．
【详解】解：则，，．
连接，
，，．
，
．
同理可找到，，，，和相似，共6个．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质：
（1）设y与x的函数关系式为，将代入即可；
（2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
将代入，得：，
解得，
y与x的函数关系式为；
（2）解：由（1）得，
将代入，得：，
解得．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据，，得出，由（1）知，可得，可得的值，进而即可求解．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
又，
，
，
；
（2）解：是等边三角形，，，
，
，
由（1）知，
，
，
，
∴
．
19．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得．解答即可；
（2）根据题意，得，判定函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，解答即可．
本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
解得．
（2）解：根据题意，得，
∴函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，且横坐标、纵坐标异号，
∵点，，在该反比例函数图象上，
∴当时，且随的增大而增大；当时，．
∴，，
∴从小到大排列为：．
20．【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由四边形是矩形，，，则，又与的周长比为，则，然后代入即可求解；
（）先证明，所以，则，解得即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵与的周长比为，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，解得，
即当时，．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题．
（1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度可得加热时间为4分钟，进而得到，点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式；
（2）分类讨论，加热过程中水温不低于的时间+降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用（1）中的函数解析式即可求得．
【详解】（1）解：开始加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为，
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
水温下降过程中，y与x的函数关系式是；
（2）解：在加热过程中，水温为时，所需时间为，
即温度都高于；
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
即内温度都高于，
，
一个加热周期内水温不低于的时间为．
22．【正确答案】（1）；
（2）经过，计算见详解；
（3）或．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正方形的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（）根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可；
（）根据点坐标先求出反比例函数解析式，再把代入解析式即可求解；
（）分为当反比例函数与正方形的边的交点在，上时，当反比例函数与正方形的边的交点在，上时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，四边形是正方形，
∴，
当反比例函数的图象经过点时，，
当反比例函数的图象经过点时，，
∴时，反比例函数的图象与正方形的边有交点；
（2）解：∵是的中点，，，
∴，
∵反比例函数的图象与交于点，
∴，
∴，
当时，，
∴反比例函数的图象经过点；
（3）解：∵线段与正方形的边围成直角三角形，
∴反比例函数与正方形的边的交点在，上或，上，
当反比例函数与正方形的边的交点在，上时，
设反比例函数与的交点为，与的交点为，
∵围成的直角三角形面积为，
∴，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），；
当反比例函数与正方形的边的交点在，上时，
设反比例函数与的交点为，与的交点为，
∵围成的直角三角形面积为，
∴，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
综上所述，的值为或．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）1
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合，是的高，得，又因为，证明；
（2）根据，得，因为是的高，则，再整理得，最后证明，得，即可作答．
（3）先证明，得．整理得，证明，得出，把数值代入，进行计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，是的高，
∴，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴．
∵是的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）解：∵，且，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
且，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得或0（舍去），
∴线段的长为1．
24．【正确答案】（1）
（2）
（3）甲
（4）满足要求的正方形边长为
【分析】（1）由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长；
（2）根据勾股定理，得，证，，得，设，则，，求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为；
（3）根据甲乙两同学所得数据进行比较即可得解．
（4）根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解．
【详解】（1）解：甲同学方案中拼成的正方形边长为.
（2）解：如图，由拼成条件可得，
记直角三角形为，根据勾股定理，得
．
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
解得，，，
∴乙同学方案中拼成的正方形边长为．
（3）解：∵，
∴甲同学方案中拼成的正方形边长较大．
（4）解：其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下：
边长计算如下：
如图，过点B作于点H，
∴，
∴，
根据拼接要求，为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
∴根据勾股定理，得，即满足要求的正方形边长为．甲同学的方案
乙同学的方案