2025-2026学年安徽省六安市第九中学九年级上册第三次月考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年安徽省六安市第九中学九年级上册第三次月考数学试卷 [附答案]，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．直角梯形B．平行四边形C．矩形D．正五边形
2．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知反比例函数的图象经过点，则该函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第三、四象限D．第二、三象限
4．若与相似，且对应中线的比为，则与的面积比是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
7．如图所示，抛物线的顶点为，若方程有两个相等实数根，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
9．如图，延长的斜边交点，使，连接，若，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如果点、点都在函数的图象上，且，那么的取值范围是 ．
12．如图，直线与交于点O，，若，，，则的值为 ．
13．如图，已知点，在反比例函数（）的图象上，轴于点，轴于点，与交于点，且为的中点，若的面积为，则 ．
14．如图，在正方形中，对角线、相交于点，为边的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点，连接交于点，连接．
（1）与的数量关系是 ；
（2）若，则的长是 ；
三、解答题
15．计算：
（1）
（2）．
16．如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：．
17．已知线段，，满足，且．
（1）求，，的值；
（2）若线段是线段，的比例中项，求．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式：
（2）直接写出不等式的解集．
19．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上．

（1）求小明从点A走到点D的距离；
（2）大树的高度约为多少米？
（参考数据：，，）
20．如图，在平面直角坐标系中，的边，若，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．
（1）求，的长．
（2）若轴上的有一个点满足，求证：．
21．综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时与的长．
22．如图，在矩形的边上取一点，使得，点是上一点，以为直角边作等腰，，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
（3）连接，若，，则的最小值为_____．
23．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当，时，函数的最大值记为s，函数的最小值记为t，当时，直接写出m的值______；
（3）若对于时，总有，求a的取值范围．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合矩形、平行四边形、直角梯形、正五边形的性质求解即可．
【详解】解：A．直角梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
D．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；
故选D．
2．【正确答案】A
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为：．
故选A．
3．【正确答案】B
【分析】首先将点P的坐标代入确定函数的表达式，再根据k＞0时，函数图象位于第一、三象限；k＜0时函数图象位于第二、四象限解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点P（-2，8），
∴k=-16＜0，
∴函数图象位于第二，四象限．
故选B．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【详解】解：∵与相似，且对应中线的比为，
∴相似比为，
∴与的面积比是，
故选D．
5．【正确答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定选项B、C；根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定选项A、D．
【详解】解：A、由，，不能判定，因为相等的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意；
B、因为，，所以，故本选项不符合题意；
C、因为，，所以，故本选项不符合题意；
D、由，可得，又因为，所以，故本选项不符合题意．
故选A．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
根据正切函数的定义，可得答案．
【详解】解：如图：
在中，，，，
，
故选D．
7．【正确答案】B
【分析】方程有两个相等实数根，即与只有一个交点，即经过顶点，代入即可求解．
【详解】解：∵方程有两个相等实数根，
∴与只有一个交点，
∴
解得：，
故选B．
8．【正确答案】B
【分析】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心；掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵绕某点旋转一定的角度，得到，
∴连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．
故选B．
9．【正确答案】D
【分析】若想利用的值，应把放在直角三角形中，为此，过作交于，得到的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
【详解】解：如图，过作交于．
∵，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°，
∴．
∵，
∴．
又∵，
设，则，，
∴．
故选D．
10．【正确答案】C
【分析】延长交于点，作于，于，则四边形是矩形，由角平分线的性质定理得出，，从而得出四边形是正方形，证明，得出，同理可得：，推出，设，则，，求出，得到，，再由相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点，作于，于，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵平分，平分，
∴，，
∴四边形是正方形，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选C．
11．【正确答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象和性质，根据题意可得在每个象限内随增大而增大，据此可得，则．
【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且，
∴在每个象限内随增大而增大，
∴，
∴.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键．
由平行线分线段成比例可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴．
13．【正确答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、反比例函数中的几何意义，根据的面积为，可得，根据反比例函数的性质可知，从而可知，再根据反比例函数图象所在的象限确定的值．
【详解】解：的面积为，
，
，
点为的中点，
，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
则有，，
，
，
，
，
，
，
，
反比例函数在第二象限，
．
14．【正确答案】；
【分析】（1）连接，先根据正方形的性质，结合为边的中点，利用可证得，得到，从而可知为的中位线，进而根据三角形中位线的性质，可推出，，根据相似三角形的性质即可解答；
（2）先根据正方形的性质、勾股定理以及，求得，，然后由可知，得到，结合（1）中结论可推出，从而根据两边对应成比例且其夹角相等，得到，最后由相似三角形的性质即可求得的长．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴,
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴.
（2）∵正方形中，，
∴，，，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
15．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数的混合运算 ；
（1）根据特殊角的三角函数的混合运算法则计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
16．【正确答案】见详解
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
17．【正确答案】（1）6；4；12
（2）12
【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值；
（2）由线段x是线段、b的比例中项，可得，计算即可．
【详解】（1）解：设，则，，
∵，
所以，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段x是线段、b的比例中项，
∴，
∴（负值舍去）．
18．【正确答案】（1）
（2）或
【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数的图象和性质；
（1）采用待定系数法求解析式即可；
（2）把代入，求出B点坐标，结合图象得出解集即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，解得，
．
把代入，
得，
反比例函数解析式为．
（2）解：把代入，得，
解得，
∴
∵两个函数的交点坐标为，，
根据图象，的解集为或．
19．【正确答案】（1）米
（2）14米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是解题的关键．
（1）作于，在中，，则．由勾股定理得，即可求出答案；
（2）延长交于点G，设．在中，根据求出，在中，，则米在中，，则米，即可求得答案．
【详解】（1）解∶ 作于，如图所示，
在中，
，，
，
，
，
答：小明从点A到点的距离为米；
（2）解： 如图，延长交于点G，

设，
由题意，得，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为14米．
20．【正确答案】（1），
（2）见详解
【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程，求出，的长；
（2）求出，的值，根据两组对应边成比例并且夹角相等的两个三角形相似证明论证．
【详解】（1），
，
，，
则，；
（2）证明： ，
，即，
，
，，
，
又，
．
21．【正确答案】（1）见详解，
（2）的长为4米，的长为2米
【分析】本题考查二次函数的实际应用：
（1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可；
（2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可．
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）
【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
()由题意可知和都是等腰直角三角形，则有，然后可得；
()由（）可得，进而可得，则问题可求解；
()由()可知，然后可得，进而可知当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：由题意可知：，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴
∴，即，，
∴，
（2）由（）可知：，
∴，如图
又∵，
∴，
则；
（3）由（1）可知，
∴，
由点是上一点，当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
23．【正确答案】（1）
（2）或
（3）
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由，可得抛物线的顶点坐标；
（2）由题意得抛物线解析式为，由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，分，，三种情况讨论，利用二次函数的性质结合，即可解答；
（3）将代入，得，则，过A，B两点的直线解析式为，联立，则，求出，根据时，总有，进而可得的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：由题意得抛物线解析式为，
由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的图象开口向上，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
当时，即，
则，即，
∵，即，
∴；
当时，即，
则，即，
∵，即，
∴；
当时，即，
则或，即或，
∵，即或，
∴或；
∵，
∴此时，没有符合题意得值；
综上，m的值为或.
（3）解：将代入，得，
∴，
将代入，解得，
∴，
联立，
则，
∴，
∵是抛物线上的任意一点，且不与点重合，
∴，
∴，
∵时，总有，
∴时，总有，
∴，总有，
∴，
解得，
∴的取值范围为．