2025-2026学年安徽省宣城市第六中学上册九年级数学第三次月考试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年安徽省宣城市第六中学上册九年级数学第三次月考试卷 [附答案]，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列函数表达式中，是的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，此次发射采用了先进的3.5小时快速交会对接方案达到更精确的发射和入轨控制，已知空间轨道周长约为42500000米，这个数字用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．k为任意实数
6．如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ）
A．扩大2倍B．保持不变C．缩小到原来的D．以上都有可能
7．如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数（）的图象如图所示，则正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，若，连接，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形中，，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题
11．分解因式 ．
12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 .
13．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
14．已知二次函数（）．
（1）函数的对称轴为 ．
（2）当时，对于每一个x的值，始终成立，则a的取值范围是 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
（1）请在方格图中画出位似中心；
（2）请在方格图中将补画完整；
（3）求的面积．
17．观察下列关于自然数的等式：
①；
②；
③；…
根据上述规律解决下列问
（1）第4个等式：________；
（2）写出第2025个等式：________；
（3）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象相交于点，点C在x轴上，且，．
（1）求m的值及反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标．
19．如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离是多少？（结果保留到．参考数据：，）
20．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G．
（1）求证：；
（2）当点E为的中点时，求证：．
21．为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从全年级700名学生中随机抽取20名学生进行调查．同时对调查数据进行如下统计分析．
【收集数据】抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：
3 7 5 10 5 9 6 7 4 7 8 7 10 8 7 9 6 9 8 5
【整理数据】结果如表：
【分析数据】数据的平均数是_________，方差是_________．
【解决问题】回答下列问题：
（1）请补全频数分布表和频数直方图；
（2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数．
22．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．
（1）当时，求函数图象顶点坐标；
（2）当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围；
（3）若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围．
23．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，．
（1）求证：．
（2）G为中点，交于点O，，垂足为H．
①求证：；
②求证：．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数．分析各选项，只有A选项明确满足条件．
【详解】解：∵ 二次函数要求最高次项为 ，且系数不为零．
对于A：，其中 ，是二次函数．
对于B：，是一次函数，不是二次函数．
对于C：，不是二次函数．
对于D：， 可能为0，不一定是二次函数．
∴ 只有A是二次函数．
故选A．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查科学记数法．将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数字42500000用科学记数法可以表示为．
故选C．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，，为斜边，定义为的对边与斜边的比值，即．
【详解】解：，
，
故选A．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断．
【详解】解： 五边形五边形，
，，．
已知，，则．
选项A：，错误，该选项不符合题意；
选项B：，错误，该选项不符合题意；
选项C： ，即正确，符合题意；
选项D：，，而不是，选项不符合题意；
故选C．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查函数图象与x轴的交点问题．注意分情况讨论是解题的关键．
函数图象与x轴有交点，即方程有实数根，需考虑时函数为一次函数，恒有交点；时为二次函数，判别式，综合得．
【详解】解：∵函数的图象与x轴有交点，
∴ 方程有实数根。
当时，方程为，
解得，有交点；
当时，函数为二次函数，
∵图象与x轴有交点，
，
解得，
综上，．
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可．
【详解】解：在中，不妨设，
∴，
∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后，
∴锐角A的正切值保持不变，
故选B．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，由矩形矩形可得，，又可证，得到，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵矩形矩形，
∴，，
∵，
∴，
又∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选．
8．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点对应的、、的符号及代数式取值是解题的关键．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，确定、、的符号，再分析各选项代数式的取值．
【详解】解：∵ 图象开口向上，
∴ ，
∵ 对称轴在轴右侧（），，
∴ ，
∵ 图象与轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，故A项错误．
∵二次函数与x轴的一个交点为，另一个交点的横坐标大于且小于0，
∴ 对称轴满足，
∴ ，
∴ ，故B项错误．
∵ 当时，，由图象知时，
∴ ，故D项错误．
∵ 图象过，
∴ ，
∵ ，即
∴ ，
∴ ，故C项正确．
故选C．
9．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过点作的垂线，利用正方形性质及垂直关系，通过两次相似三角形的证明，推导出线段与正方形边长的比例，最后计算的值．
【详解】解：过点作于，设正方形边长为，，．
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，．，
∴，，
∴，
又∵，
∴，即，得．
∵，
∴，又，
∴，且，
∴，
∴，即，
化简得，解得．
在中，．
故选．
10．【正确答案】B
【分析】通过构造正方形，利用正方形和等腰直角三角形的性质证明三角形相似、全等，确定点的运动轨迹（过且与夹角为的直线），再结合垂线段最短求的最小值．
【详解】解：取、的中点、，连接．
∵矩形中，，，点、是、的中点，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，且，
∴四边形是正方形，
∴，，，
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
∴，
∴，即点在过且与夹角为的直线上运动．
当时，最小．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
最终的最小值为．
故选B．
11．【正确答案】
【分析】本题考查因式分解，先提取公因式2，再利用平方差公式法进行分解因式即可．
【详解】解：
12．【正确答案】0
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将点和代入，求得和，再相加即可．
【详解】解：∵函数的图象经过点和，
∴有，
∴.
13．【正确答案】3
【详解】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=，
∴O′E=，
∴tanBO′E=，
∴tan∠BOD=3.
考点：解直角三角形．
14．【正确答案】直线；且
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）直接利用二次函数对称轴公式求解。
（2）构造，得到新二次函数，根据开口方向分和两种情况讨论，利用函数在区间上的单调性及最大值条件求解．
【详解】解：（1）二次函数中，对称轴为直线．
（2）设，
当时，始终成立，等价于恒成立，
当时，．
分两种情况：
当时，二次函数开口向上，
时，，
若在范围内恒成立，则需满足在时，，
即，
解得，
；
当时，二次函数开口向下，对称轴为直线，
当时，z随x的增大而减小，
时，，
在范围内恒成立，
综上可知，a的取值范围是且．
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查特殊三角函数值、负指数幂与零指数幂的运算，掌握“、，以及、”是解题的关键．
【详解】原式．
16．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）6
【分析】本题主要考查了位似图形的性质（对应点连线过位似中心）及三角形面积的计算，熟练掌握位似图形的性质、利用网格计算图形面积是解题的关键．
（1）位似中心是对应点连线的交点，因此连接、，交点即为位似中心；
（2）根据位似性质，确定的对应点，连接、补全三角形；
（3）利用网格，通过割补法或三角形面积公式计算的面积．
【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：，
故选．
17．【正确答案】（1）17
（2）
（3）见详解
【分析】本题主要考查了数字规律探索、完全平方公式的应用及整式的运算，熟练掌握从已知等式中提取规律并进行代数验证是解题的关键．
（1）观察已知等式的计算结果，前三个结果依次是5、9、13，差值为4，按此规律计算第4个等式的结果．
（2）先找出等式中左边底数的规律（第一个底数是奇数，为；第二个底数是自然数），再代入得到等式，最后计算结果．
（3）根据前几题的规律写出第个等式，再通过整式运算验证左右两边相等．
【详解】（1）解.
（2）解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
；
∴故第个等式，．
∴第2025个等式为，即.
（3）解：猜想第n个等式为：
验证：左边
右边，
∵左边=右边
∴猜想成立．
18．【正确答案】（1）；
（2）点的坐标为
【分析】（1）将点代入直线，求得，然后将点代入，求得，即可求解；
（2）过点作轴，根据得到，求出或，根据，得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
，
，
把B点的坐标代入得，，
，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：如图，过点B作轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
，
，
点的坐标为．
19．【正确答案】
【分析】本题考查了利用平行线间距离解决问题，线段垂直平分线的性质，其他问题（解直角三角形的应用）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离．
【详解】解：设平面镜上两个反射点为A、B，
过A作于C，过B作于D．
由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为，
∴．
对于的光线：
∴是等腰直角三角形（）．
在中，，
即，
解得：．
又∵垂直平分，
∴．
对于的光线：
在中，，
即，
解得：．
同理，垂直平分，
∴．
∴．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴；
（2）证明：作交的延长线于，如图，
∵，
∴，
∵点为的中点，
，
，
∴，
∴，
∴，
即．
21．【正确答案】[分析数据]7，
[解决问题]
（1）见详解
（2）
【分析】本题考查平均数和方差的定义、条形图的应用，熟练掌握从图中获得信息是解题的关键．
根据平均数和方差的定义，进行计算求解即可；
（1）一共抽查学生总人数为人，据此进行计算求解即可；
（2）先计算抽查人数中参加公益活动次数超过6次的人数所占百分比，再计算该校八年级全部学生参加公益活动次数超过6次的人数即可．
【详解】解：数据的平均数是：，；
方差是：，
因此数据的平均数是，方差是；
（1）由题意得，“” 的频数为，
频数分布表为：
频数直方图为：
（2）（人），
答：该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为人．
22．【正确答案】（1）顶点坐标为
（2）
（3）
【分析】本题考查二次函数图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，
（1）当时，点代入，求出，再根据顶点坐标公式即可得到答案；
（2）点代入，得，得到对称轴，当时，；当时，，根据对称性，和时，y值相等，即可求解；
（3）由题可得，得到，而时，，则时，，即，解不等式即可．
【详解】（1）解：当时，则，
∴点代入，得，
解得：，
．
∴，，
∴顶点坐标为；
（2）解：由题意得：点代入，得：，
，
∴对称轴为直线，
当时，；
当时，．
根据对称性，和时，y值相等，
．
（3）解：由（2）可知，
，对称轴为直线，
，则，
，
，
，
时，，
时，，即，
解得：．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）①见详解；②见详解
【分析】（1）先根据菱形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）①连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
②延长，交于点，先证出，再证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形可得，最后根据和等量代换即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：①如图，连接，
由（1）已证：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
②如图，延长，交于点，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
由上已证：，
∵，
∴，
∴，即，
由上已证：，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴．次数x分组
画记
频数
T
2
正
5
正 下
8
正
5