2025-2026学年北京市文汇教育集团上册期中考试七年级数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市文汇教育集团上册期中考试七年级数学试卷 [附答案]，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．−2 的相反数是( )
A．2B．−2 C．12 D．−12
2．“五一”假期全市纳入监测的80家A级景区共接待游客约5013400人次，将5013400用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果支出70元记作元，那么收入80元记作（ ）
A．元B．元C．元D．元
4．下列各数化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．用代数式表示“a的平方的3倍与b的倒数的和”正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列式子：，，，，，其中单项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．下列每个选项中的两种量，成反比例关系的是（ ）
A．小刚的体重和他的年龄B．每月收入一定，每月支出的钱数和剩余的钱数
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高D．每包书的册数一定，书的总册数和包数
8．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），…
利用以上规律计算结果是（ ）
A．B．0C．1D．不能确定
二、填空题
9．单项式的次数是 ．
10．若，则 ．
11．多项式是 次 项式．
12．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则的值为 ．
13．某商品原价是每件a元，第一次降价打“九折”，第二次降价每件又减5元，则第二次降价后的售价为每件 元．（用含a的式子表示）
14．如果单项式与的和仍是单项式，则 ．
15．定义一种新的运算“”，规定，则的值为 ．
16．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．在图2中的“竖式”，可计算出的值为 ．
三、解答题
17．计算：
（1）
（2）．
（3）
（4）
18．化简：
（1）
（2）
19．先化简，后求值：，其中
20．若，，且，求的值．
21．在学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题：
甲说：“当时，原式．”
乙说：“当时，原式．”
丙说：“当为任何一个有理数时，原式．”
这三位同学说法是否正确？请利用所学知识说明理由．
22．如果，，且，求．
23．请你把、、0、、这5个数在数轴上表示，并用“”连接．
24．把下列各数填入相应的大括号内：；；；；；；；；．
负分数集{ }；
非负整数集{ }；
正有理数集{ }．
25．某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案：
甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球；
乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款．
已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()．
（1）若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示)
（2）若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？
（3）若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由．
26．某巡警骑摩托车在一条南北方向的大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向北的方向为正，当天行驶记录如下：（单位：千米），，，，，，，．
（1）A在岗亭何方？距岗亭多远？
（2）若摩托车每行驶千米耗油升，那么该摩托车这天共耗油多少升？
27．阅读材料：有一种定义：若，则称与是关于1的平衡数．举个例子说明，因为，我们就说3和是关于1的平衡数．再比如，那么3和1就不是关于1的平衡数．请根据以上材料，回答下列问题：
（1）6与______是关于1的平衡数，与______是关于1的平衡数．（用含的代数式表示）
（2）若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
28．对于数轴上任意一点，把与点相距个单位长度（是正数）的两点所表示的数分别记作和（其中），并把、这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作．例如：原点表示数0，原点关于1的对称数组是．
（1）如果点表示数，那么点关于2的对称数组是______；
（2）如果，那么点表示的数是______，的值是______；
（3）已知，，且在数轴上对应的点为，、、．若点、点从原点同时出发，都沿数轴正方向运动，且点的速度是每秒3个单位长度，点速度是每秒1个单位长度，当，、、四个点中有两个点重合时，求出点表示的数．
答案
1．【正确答案】A
−2 的相反数是2.故选A .
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案．
【详解】解：．
故选B．
3．【正确答案】B
【分析】本题主要考查正负数，相反意义的量的运用，解题的关键是掌握相反意义的量．根据支出为负，则收入为正，由此即可求解．
【详解】解：如果支出70元记作元，那么收入80元记作元，
故选B
4．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了相反数的定义．根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，则，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选D
5．【正确答案】A
【分析】本题考查了列代数式．理解题意正确的列出代数式是解题的关键．
将中文短语分解为数学部分：“a的平方”即 ，“3倍”即乘以3，“b的倒数”即 ，“和”即加法．
【详解】解：∵ “a的平方的3倍”为 ，
“b的倒数”为 ，
∴ 两者的和为 ，
故选A．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查的是单项式的概念，掌握数与字母的积是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式是解题的关键．
根据数与字母的积是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式进行解答即可．
【详解】解：单项式有：，，，共3个．
故选B．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了反比例的判断，掌握两种量成反比例关系的定义是解题关键．根据两种量成反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，逐一判断即可．
【详解】解：A、小刚的体重和他的年龄不成反比例关系，不符合题意；
B、每月收入一定，每月支出的钱数和剩余的钱数不成反比例关系，不符合题意；
C、由可知，当体积一定时，圆柱的底面积和高的乘积是定值，成反比例关系，符合题意；
D、每包书的册数一定，书的总册数和包数成正比例关系，不符合题意；
故选C．
8．【正确答案】A
【分析】考查了数字变化规律，有理数的加减运算，解题关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．由（1）得到，由（2）得到，可得，再进一步计算即可．
【详解】解：∵，，，，…；
，，，，…
∴，，
∴，
∴
．
故选A．
9．【正确答案】3
【分析】此题考查单项式次数的定义，解题关键在于掌握一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
根据单项式次数的定义进行解答即可．
【详解】解：单项式的次数是．
10．【正确答案】1
【分析】本题考查代数式的整体代入求值，观察待求式，发现 可提取公因数2，得到，从而利用已知条件进行代入计算．
【详解】解：∵ ，且已知，
∴ ，
则．
11．【正确答案】三；三
【分析】本题考查了多项式的概念，多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；组成该多项式中的单项式的个数就是多项式的项数．掌握多项式的相关概念是解题的关键．根据多项式的项、次数的相关知识解答即可．
【详解】解：∵多项式中，的次数为，的次数为，常数项的次数为，
∴最高次数为，故为三次多项式，
∵共有项，
∴是三项式，
∴多项式是三次三项式．
故答案为三；三
12．【正确答案】
【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，求代数式的值；根据相反数，倒数，绝对值得出，，，再代入求出即可．
【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，
∴，，，
∴.
13．【正确答案】
【分析】本题考查了列代数式．根据某种商品原价每件元，第一次降价打“九折”，可知第一次降价后的价格为元，第二次降价每件又减5元，可以得到第二次降价后的售价．
【详解】解：某商品原价是每件元，第一次降价打“九折”，
第一次降价后的价格为元，
第二次降价每件又减5元，
第二次降价后的售价是元.
14．【正确答案】
【分析】本题考查合并同类项，根据单项式的和仍然是单项式，得到两个单项式为同类项，进行求解即可．
【详解】解：由题意得：单项式与是同类项，
∴，
∴.
15．【正确答案】
【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解题的关键是掌握新定义运算法则．
根据新定义，以及有理数的乘除运算的运算方法，求出的值是多少即可．
【详解】解.
16．【正确答案】36
【分析】本题考查了数字的规律探究．由可知，，，；由可知，，，；由可知，，，；得到，，推出，，，，即可解答．
【详解】解：由可知，，，；
由可知，，，；
由可知，，，；
∴，，
∴，，，，
∴.
17．【正确答案】（1）
（2）15
（3）20
（4）
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则，如减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，以及乘方运算的规则．
（1）根据分式加减简便运算，把拆成，拆成，再去括号运算即可；
（2）根据乘除运算从左往右计算即可；
（3）先将除法化成乘法，然后利用乘法分配律计算；
（4）先计算乘方，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式
．
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查整式的加减，即合并同类项和去括号的知识点，关键在于熟练掌握运算法则，重点为去括号时前面为负数， 括号里每一项都要变号．
（1）根据合并同类项的步骤计算即可；
（2）先根据去括号的方法化简，再合并同类项.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
19．【正确答案】，
【分析】本题考查整式加减中的化简求值，先根据整式加减运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．【正确答案】或
【分析】本题考查了绝对值及代数式求值，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据绝对值的定义和，即可求得x、y的值，再代入求值即可．
【详解】解：，
，，
与异号
当，时，；
当，时，．
即的值为或．
21．【正确答案】三位同学的说法都正确，理由见详解
【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果为2025，从而得到结果．
【详解】解：三位同学的说法都正确，理由如下：
，
∴当或或为任何一个有理数时，原式，
∴三位同学的说法都正确．
22．【正确答案】
【分析】本题考查了整式的加减．
将变为，再将，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
23．【正确答案】
【分析】本题考查有理数和数轴，有理数大小的比较，解题时注意数轴上的点从左到右依次增大．
先把各点表示在数轴上，再根据数轴上的点从左到右依次增大，用＞连接即可．
【详解】解：，，
上述数据在数轴上表示如下：
从大到小依次是：
．
24．【正确答案】，，；，；，，．
【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据负分数、非负整数、正有理数概念逐一求解即可，准确理解相关概念是解题关键．
【详解】解：负分数集{，，}；
非负整数集{ ，}；
正有理数集{ ，， }；
故，，；，；，，．
25．【正确答案】（1），；
（2）两家网店一样合算；
（3）在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球，理由见详解．
【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算．
（1）根据题目中优惠方案：可得答案；
（2）结合（1），求出当时，两个网店所需付款，再比较即可得出答案；
（3）首先求得当时，两个网店所需付款，再计算在甲网店买20副球拍100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球所需费用，比较即可获得答案．
【详解】（1）解：∵甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球，
∴若在甲网店购买，需付款元，
∵乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款，
∴若在乙网店购买，需付款元.
（2）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式，
在甲网店购买，需付款： (元)，
在乙网店购买，需付款： (元)，
∵，
∴此时两家网店一样合算；
（3）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式，
甲： (元)，
乙： (元)，
若在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球，
此时需付款：元，
∵，
最省钱的购买方案为：在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球．
26．【正确答案】（1）南方，千米
（2）
【分析】本题考查正数、负数、绝对值的意义，理解正数、负数、绝对值的意义是解决问题的前提．
（）计算这几个数的和，根据和的符号、绝对值判断在岗亭的方向和距离，
（）计算行驶的总路程，即各个数的绝对值的和，再求出用油量．
【详解】（1）解：规定向北为正，向南为负，将当天的行驶记录相加：
，
结果为负，说明方向向南，绝对值为，
所以在岗亭南方，距离岗亭千米；
（2）
，
∵摩托车每行千米耗油升，
∴升．
答：该摩托车这天巡逻共耗油升．
27．【正确答案】（1）；
（2）不是，理由见详解
【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，理解新定义是解题的关键；
（1）根据平衡数的定义，若两个数的和为，则它们是关于的平衡数．因此，已知一个数时，另一个数即为减去该数．
（2）先化简和的表达式，再计算它们的和，判断是否等于．若和为，则是平衡数；否则不是．
【详解】（1）解：根据定义，若与是关于的平衡数，则．
已知，则．
因此，与是关于的平衡数．
设另一个数为，则，
解得 ．
因此， 与 是关于的平衡数．
（2）解：，


由于 ，因此与不是关于的平衡数．
28．【正确答案】（1）
（2）
（3）或
【分析】本题考查了数轴，新定义，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据“点P关于a的对称数组”的定义，直接计算点P关于2的对称数组．
（2）根据“点P关于a的对称数组”的定义，列出方程求解点P表示的数和a的值．
（3）先根据“点P关于a的对称数组”的定义，求出x、y、m、n的表达式，再根据点A、点B的运动情况，列出方程求解点A表示的数．
【详解】（1）解.
（2）解：∵，
∴点表示的数是，
的值是.
（3）解：已知，， 根据“点P关于a的对称数组”的定义，可得，
点A从原点出发，速度是每秒3个单位长度，点B从原点出发，速度是每秒1个单位长度，设运动时间为t秒， 则．
当X、Y、M、N四个点中有两个点重合时，分以下几种情况讨论：
①当重合时， 即，
将代入可得：
，
解得 此时 ；
②当重合时， 即，
将代入可得：
，
解得 此时 ；
③当重合时， 即，
将代入可得∶
，
解得(舍去)；
④当重合时，即，
将代入可得∶
，
解得 (舍去) ．
综上，点A表示的数为或
选择的一个值，求