2025-2026学年北京市师达中学上册12月月考九年级数学试卷. [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市师达中学上册12月月考九年级数学试卷. [附答案]，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．以下列三条线段的长为三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．6，8，10D．7，8，9
2．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，用科学记数法可表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
3．下列计算正确的是（ ）
A．4a+3a＝12aB．a2+a3＝a5C．a8÷a2＝a6D．（a3）4＝a7
4．分式有意义，实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
7．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
8．如图，在中，，，，若在边上取一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．若分式的值为零，则x的值为 ．
10．计算： ．
11．计算： ．
12．命题“两直线平行,内错角相等"的逆命题是一个 命题（填“真”或“假”）
13．步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ．
14．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为
15．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为 ．
16．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点的坐标为，若点为轴上的点，，，三点构成等腰三角形，则满足题意的点有 个，其中非整点的点坐标为 ．
三、解答题
17．计算：
（1）
（2）
18．已知，，求代数式的值．
19．计算：．
20．解方程：．
21．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长．
22．秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮同时到达终点，求两人每小时各走多少千米？
23．如图，为某种帐篷支架的立柱，和分别为两侧坡柱．安装时要求A，D，B三点固定在地面上，于点D，且．如果按，，进行设置，请判断此支架是否合格．
24．实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水．
若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）．
推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗．
方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中；
方案B：第一次和第二次都用斤清水．
请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳．
25．在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．
（1）如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；
（2）如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．
26．在平面中，对于点M，N，P，若，且，则称点P是点M和点N的“垂等点”．

在平面直角坐标系中，
（1）已知点，点，则点中是点M和点N的“垂等点”的是___________；
（2）已知点．
①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点”，写出点C的坐标（用含b的式子表示），并说明理由；
②当时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重合）．若点F是点D和点E的“垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是判断三条线段的长度是否满足两短边的平方和等于最长边的平方．
根据勾股定理的逆定理，分别计算各选项中三条线段的平方，判断两短边的平方和是否等于最长边的平方，若等于则能构成直角三角形，否则不能．
【详解】A、，不构成直角三角形，不合题意；
B、，不构成直角三角形，不合题意；
C、，能构成直角三角形，符合题意；
D、，不能构成直角三角形，不合题意．
故选C
2．【正确答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000073=7.3×10-5，
故选B．
3．【正确答案】C
【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂除法、幂的乘方运算法则计算后判断即可．
【详解】A．4a+3a＝7a，原选项计算错误，不符合题意；
B．原选项左边不是同类项不能合并，计算错误，不符合题意；
C. a8÷a2＝a6，原选项计算正确，符合题意；
D. （a3）4＝a12，原选项计算错误，不符合题意；
故选C．
4．【正确答案】A
【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式的值为零⇔分子为零且分母不为零．
【详解】解：由题意得，，解得：，
故选A．
5．【正确答案】D
【分析】将各项的二次根式化简，即可得出答案．
【详解】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为不能化简，是最简二次根式，所以D符合题意．
故选D．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理的运算方法，即斜边的平方等于两直角边的平方和．本题分别计算各线段的长即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴长度为的是线段，
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘，得，
整理得，
原方程无解，
当时，；
当时，或，此时，，
解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；
故选D．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查了轴对称路径最短．熟练掌握含30度角的直角三角形性质，轴对称性质，等边三角形性质判定和性质，作辅助线，是解题关键．
以为对称轴，作点B的对称点，连接，， 过点作于点D，交 边于点N，过点M作于点E，得为等边三角形，由，得有最小值，即得有最小值，
【详解】解：如图，以为对称轴，作点B的对称点，连接，， 过点作于点D，交 边于点N，过点M作于点E，
则，
∵在中，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴当点M与点N重合时，，
此时，有最小值，
∵，
∴有最小值，
故选B.
9．【正确答案】1
【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解．
【详解】解：因为分式的值为零，
所以，
解得：．
10．【正确答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】．
11．【正确答案】
【分析】此题考查了二次根式的化简．利用二次根式的性质，再根据绝对值的定义化简即可．
【详解】解：由二次根式的性质得到，
因为，
所以，
故
故答案为
12．【正确答案】真；
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案．
【详解】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等，
∴其逆命题为：内错角相等，两直线平行，此逆命题是真命题.
13．【正确答案】130
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键．
将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可；
【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形，
∵台阶阶梯每一层高，宽，长，
∴，，
∴在中，．
14．【正确答案】/5厘米
【分析】由折叠知，在中用勾股定理即可求解．
【详解】解：由折叠知，
，
在中，
解得.
15．【正确答案】5或
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5.
16．【正确答案】4；
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和两圆一中垂，分别以点、为圆心的长为半径画圆，分别交轴于点，，，，其中，，与点，能构成等腰三角形，作的垂直平分线交轴于点，与点，能构成等腰三角形，其中，，是整数点，点不是整数点，证明，可求出，得点的坐标．
【详解】解：，
∴；
分别以点、为圆心的长为半径画圆，分别交轴于点，，，，其中，，与点，能构成等腰三角形，如图，
∴，，，均为整数点，
作的垂直平分线交轴于点，与点，能构成等腰三角形，过点作轴于点，如图，
∵，
∴，
∴，
由作图得，
∴，
∴，
∴.
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算和实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，负整数指数幂和零指数幂运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式性质，负整数指数幂和零指数幂运算法则进行化简，然后再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【正确答案】
【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题．
【详解】解：∵，，
∴x＋y＝4，x−y＝，
∴．
19．【正确答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算．先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可．
【详解】解：
20．【正确答案】
【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，同时注意验根．
先将方程右边分母化为与左边分母相关的形式，再去分母转化为整式方程求解，最后检验所得解是否使原分母不为零．
【详解】解：方程两边同乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得．
检验：当时，，故是原方程的解．
答：原方程的解为．
21．【正确答案】10或11
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的定义与周长．先根据二次根式有意义的条件求出，，再分情况求出三角形的周长即可．
【详解】解：∵，根据二次根式有意义的条件得到，
，
若腰长为3，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为，
若腰长为4，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为，
三角形的周长为10或11．
22．【正确答案】小亮每小时走1千米，小明每小时走0.5千米
【分析】此题考查了分式方程的应用，设小亮每小时走千米，小明每小时走千米．结果小明和小亮同时到达终点，即两人的时间相同，据此列方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设小亮每小时走千米，小明每小时走千米．
根据题意，得
．
解得：．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
．
答：小亮每小时走1千米，小明每小时走0.5千米．
23．【正确答案】合格
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理求出，，得到的长，根据勾股定理的逆定理证明，即可解答．
【详解】解：，
，
在中，，
在中，，
．
，，
，
∴是直角三角形，，
此支架合格．
24．【正确答案】数据计算：，；实验结论：二；推广证明：方案更好，计算见详解
【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键．
数据计算：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算即可：
实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断；
推广证明：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算，然后比较即可．
【详解】数据计算：方案一：采用一次漂洗的方式．
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的；
方案二：采用两次漂洗的方式．
若第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的，
故，；
实验结论：，
∴采用方案二漂洗后衣服中存有的污物少，
∴方案二的漂洗效果最好．
故二；
推广证明：方案A结果：
方案B结果：
方案更好
25．【正确答案】（1），
（2）成立，见详解
【分析】（1）由题意知三点重合，则，，含30°的直角三角形中，由，可知，是的中位线，有，，，然后求出比值即可；
（2）如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，，则，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，进而可得的值，根据与的数量关系判断与的位置关系即可．
【详解】（1）解：，．
理由如下：由题意知三点重合
∴，
∵
∴，
∵
∴
∴为线段的中点
∵是中点
∴是的中位线
∴，
∴
∴．
（2）解：，的关系仍成立．
证明：如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，
由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，
∴，，，，，，，，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴
∵
∴
∴．
26．【正确答案】（1），
（2）①点的坐标是；②．
【分析】（1）由“垂等点”的定义，通过三角形全等即可解决问题；
（2）①由可得，，即可求出点的坐标；
②当，分别与，重合时，点是点和点的“垂等点”，可求出点的坐标，即可求出的取值范围．
【详解】（1）由题意得：，，
，
，
，，
，
，
，
点是点和点的“垂等点”，
同理点是点和点的“垂等点”，点不是点和点的“垂等点”.
（2）①点的坐标是，理由如下：
在第二象限内存在点，使得点是点和点的“垂等点，
，，
，
，
，
∴，
，，
点，，，
点的坐标是；

②当时，当，分别与，重合时，点是点和点的“垂等点”，点是线段的垂直平分线上的点，，，显然点的纵坐标是0或4，
当点是线段的垂直平分线上的点，显然点的纵坐标是，2．
的取值范围是．