2025-2026学年北京市第十四中学九年级上册12月月考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市第十四中学九年级上册12月月考数学试卷 [附答案]，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，是正方形的外接圆，若的半径为2，则正方形的边长为（ ）
A．1B．2C．D．4
5．如图，在菱形中，点E在上，与对角线交于点F．若，，则为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，是直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．
C．D．连接及，则
8．已知二次函数的图象过，，，四点，以下推断：①若，则；②若，则；③当时，若，则；所有正确推断的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
9．若是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
10．把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
11．的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
12．随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，若设每件成本的平均降低率是x，则可列方程为： ．
13．如图，点在上，若，则
14．如图，，，分别与相切于点，，三点．若，则的周长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C逆时针旋转某个角度后得到△A′B′C，当点A的对应点A′落在AB边上时，阴影部分的面积为 ．
16．对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：
根据二次函数图象的相关性质可知： ， ．
三、解答题
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值．
19．不透明袋子中共4个小球，其中有1个黑球，1个白球，2个红球，除颜色外无其它差别．
（1）若一次从中取出一个小球，标记颜色放回，充分摇匀，再取出第二个小球，用列表法或树状图求两次取出的小球都是红球的概率．
（2）若一次从中同时取出两个小球，则取出两个小球中至少有1个黑球的概率_____．
20．已知二次函数的图象过点，，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）补全表格，画出二次函数的图象；
（3）关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为；
②当时，y随x增大而减小；
③当时，y的取值范围为；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
21．已知：，是直线上的两点．
求作：，使得点在直线上方，且．
作法：
①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点；
②以点为圆心，长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点（不与，重合），连接，．就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧上任取一点（不与，重合），连接，，，．
，
是等边三角形．
．
，，在上，
（ ）（填推理的依据）．
．
四边形内接于．
（ ）（填推理的依据）．
．
22．如图，的直径垂直弦于点，，，求的长．

23．如图，在中，平分，是上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
24．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．

25．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究．
经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系．
（1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）
（2）点，在抛物线上，其中，，
若的最小值是，求的最大值；
若对于，都有，求出的取值范围．
27．如图，等边，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．

（1）依题意补全图形，并求的度数．
（2）取的中点，连接并延长，交的延长线于点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点满足且，则称四边形是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．
（1）已知点，
①在，，中，是的覆盖特征点的为 ；
②若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点为圆心，半径为1作圆，在抛物线上存在的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围 ．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键．
根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线方程为顶点形式，顶点坐标为解答即可．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴顶点坐标为．
故选B．
3．【正确答案】A
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【详解】解：
移项得，
配方得，即．
故选A．
4．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，先确定，再结合正方形的性质根据勾股定理求出解即可．
【详解】连接，
根据正方形和圆的对称性可知过圆心，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
根据勾股定理，得，
解得．
故选C．
5．【正确答案】D
【分析】由菱形的性质证明，可得，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵菱形，，
∴，，
∴，而，
∴．
故选D．
6．【正确答案】C
【分析】本题主要考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，掌握圆心角、弧、弦的关系成为解题的关键．根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得，从而求得的度数，再利用圆周角定理和角的和差即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
7．【正确答案】C
【分析】由旋转的性质得出，，根据平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，继而求出，则可求出，可判断选项A；设，根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可得，可判断选项B；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项C；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项D．
【详解】解：∵将绕着点顺时针方向旋转得到，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴选项A说法正确，故此选项不符合题意；
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴选项B说法正确，故此选项不符合题意；
∵，，
∴，
∴选项C说法错误，故此选项符合题意；
如图，
∵，，，
∴，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴选项D说法正确，故此选项不符合题意．
故选C．
8．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
利用二次函数的对称性和点的坐标关系进行判断．
【详解】推断①：若，则点和点关于对称轴对称，
且对称轴，
又点和点的中点为，
点和点也关于对称轴对称，
，故①正确，符合题意．
推断②：，，，，
又，
，
，即，
，
，故②正确，符合题意．
推断③：当时，对称轴为，
，，
，
，
若，则，即，
，，
；
若，则，即，
，，
；故③正确，符合题意．
综上，推断正确的有①②③，正确推断的个数是3个，
故选D．
9．【正确答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解成为解题的关键．
将代入一元二次方程得到关于k的方程求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，解得：．
10．【正确答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
直接运用二次函数图象的平移规律解答即可．
【详解】解：由平移规律可得：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为：．
11．【正确答案】相交
【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵的直径为，，
∴的半径为，
∵圆心O与直线l的距离为，
∴圆心O与直线l的距离小于的半径，
∴l与相交.
12．【正确答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，灵活运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键．
设每件成本的平均降低率是x，经过第一次下降的成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，再结合现在的成本是每件192元即可列出方程．
【详解】解：设每件成本的平均降低率是x，
根据题意可得：．
13．【正确答案】
【分析】取点，连接、，利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求解即可．本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：如图，取点，连接、，
∵，
∴，
∴ .
14．【正确答案】5
【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．根据的周长为：，结合，，，代换计算即可．
【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，，
，，，
的周长为.
15．【正确答案】π-
【分析】连接CA′，证明三角形AA′C是等边三角形即可得到旋转角α的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及△CDB′的两直角边长，进而得出图形面积即可．
【详解】如图，
∵AC=A′C，且∠A=60°，
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′=60°，
∴∠A′CB=90°-60°=30°，
∵∠CA′D=∠A=60°，
∴∠CDA′=90°，
∵∠B′CB=∠A′CB′-∠A′CB=90°-30°=60°，
∴∠CB′D=30°，
∴CD=CB′=CB=×2=1，
∴B′D=，
∴S△CDB′=×CD×DB′=×1×=，
S扇形B′CB=，
则阴影部分的面积为：π-，
故答案为π-．
16．【正确答案】1；3
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得m和的值．
【详解】解：由表格可知，和时的函数值相等，
∵表格中的两个函数对称轴都是直线，
∴，
∴.
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
或，
．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）或
【分析】先根据题意求出的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系即可得出结论；
利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于的方程，解方程即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，
，．
方程两个根的绝对值相等，
．
或．
19．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次取出的小球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中取出两个小球中至少有1个黑球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两次取出的小球都是红球的结果有4种，
∴两次取出的小球都是红球的概率为；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出两个小球中至少有1个黑球的结果有6种，
∴取出两个小球中至少有1个黑球的概率为.
20．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）①④
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数表达式；
（2）取点描点连线绘制函数图象即可；
（3）根据函数图象和性质逐次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：取点补全表格为：
如图，
（3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；
③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意.
21．【正确答案】（1）见详解
（2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补
【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理可得，最后再根据圆的内接四边形的性质即可证得．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）证明：如图，在优弧上任取一点（不与，重合），连接，，，，如图所示：
，
是等边三角形．
．
，，在上，
（同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）．
．
四边形内接于，
（圆的内接四边形对角互补）．
．
22．【正确答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，根据圆周角定理得到，由垂径定理得到，解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
直径垂直弦于，
∴，
，
．
23．【正确答案】（1）见详解；
（2）的长为．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角，角平分线定义，等角的补角相等，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（）根据角平分线的定义可得，根据，由等边对等角可得，根据邻补角可得，即可证明；
（）根据相似三角形的性质得到，又，则，代入求得，所以通过线段的和与差即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
24．【正确答案】（1）相切，见详解；（2）6.
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E=，推出，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，

∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan∠E=，
∴，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC=．
25．【正确答案】（1）0.88
（2）
（3）
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握生活问题数学化，建立抛物线模型解答，是解题的关键．
（1）根据表格中时y的取值即可求解高度；
（2）由待定系数法求解即可；
（3）先令，求解x的值，即可得在距点水平距离的地点，由此可求．
【详解】（1）由表格可知，当时，，
∵拱桥距离水面的高度为米，
∴桥墩露出水面的高度米.
（2）解：由（1）知，当时，，
设与之间的函数关系式为，
由表格可知，当时，；当时，；
∴，解得，
∴，
与之间的函数关系式为；
（3）解：令，即，
整理可得，
解得（舍），，
∴处距桥墩距离至少为米.
26．【正确答案】（1）；
（2），或．
【分析】（）通过配方配成顶点式即可求解；
（）由抛物线对称轴为，，当时，的最小值为，求出，然后代入即可求解；
当时，取最大值，最大值为，当时，，根据有，则，再解出的范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向上
∵，
∴当时，的最小值为，
∵的最小值是，
∴，
∴，，
当时，；
∵，，
∴当时，取最大值，最大值为，
当时，，
对于，均有，
∴，
∴，
∴或，
解得或．
27．【正确答案】（1）补见详解，
（2），见详解
【分析】（1）由题意补图即可，由旋转可知，，，则，，，根据，计算求解即可；
（2）如图2，作于，即，则，，，由，，可得，则，进而可得．
【详解】（1）解：由题意补图如图1：
∵等边，
∴，
由旋转可知，，，则，
∴，，
∴，
∴的度数为．
（2）解：，理由如下：
如图2，作于，即，
∵，为的中点，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴．
28．【正确答案】（1）①，；②且．
（2）或．
【分析】（1）①根据覆盖的定义线段坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断；
②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图象即可求出范围；
（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则为覆盖的特征点，当时，代入抛物线得，，结合图象得，，在直线的右侧y随x的增大而增大，总存在的点，即存在覆盖特征点综合即可．
【详解】（1）解：①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即：且，所以， 是覆盖的特征点.
②设点为的覆盖的特征点．依题意得：，
当时，结合函数图象可知，在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，故符合题意．
当时，如图，点为的覆盖的特征点．

又∵点在一次函数的图象上，
当直线过点时，即：
解得：．
∴结合函数图象可知．
综上所述：且．
（2）解：圆中点的横坐标最大值为3，纵坐标的最大值为5，则为覆盖的特征点，
当时，代入抛物线得
，
解得：，
结合图象得，即存在覆盖特征点，
当时，此时是一条直线，不存在符合条件点，
当时，在直线的右侧y随x的增大而增大，总存在的点，即存在覆盖特征点，
综合得的范围是或.x
…
…
y
…
…
x/米
0
0.6
1
1.8
2
2.4
3
3.6
4
y/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.88
2.80
2.38
1.6
0.88
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…