2025-2026学年北京市第十三中学分校九年级上册12月月考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市第十三中学分校九年级上册12月月考数学试卷 [附答案]，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在中，，如果，，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2．将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝（x-2）2+3C．y＝2（x+3）2-2D．y＝2（x﹣2）2+3
3．已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，与位似，点是位似中心，若，，则（ ）
A．9B．12C．16D．36
8．某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果，那么的值是 ．
10．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
11．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC= ．
12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸．
13．如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为 ．
14．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是 （写出一个即可）.
15．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ．

16．已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
18．已知：如图1，P为上一点．
求作：直线，使得与相切．
作法：如图2，
①连接；
②以点P为圆心，长为半径作弧，与的一个交点为A，作射线；
③以点A为圆心，长为半径作圆，交射线于点Q（不与点O重合）；
④作直线．
直线就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
由作法可知，
∴点P在以为直径的上．
∴___________°（___________）（填推理的依据）．
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线（___________）（填推理的依据）．
19．已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值，如下表：
（1）求此抛物线的解析式，并画出其图象；
（2）结合图象，直接写出不等式的解集；
（3）结合图象，直接写出当时，的取值范围．
20．如图，在中，，，，求的长．
21．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．
22．如图，割线与交于点，割线过圆心，且．若，的半径，求弦的长．
23．中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．）
24．如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
25．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作拋物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系：，已知，落点的水平距离是，竖直高度是．
（1）点的坐标是______，点的坐标是______；
（2）求与的函数关系式；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，，．
（1）当时，求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）．
（2）若点，都在抛物线上，则 （填“”“”或“”）；
（3）将抛物线在之间的部分（含）所有点的纵坐标的最大值记为，之间的部分（含）所有点的纵坐标的最大值记为，若都有，求t的取值范围．
27．如图，在正方形中，．
（1）如图1，点分别是线段、上的动点，，连接，探究三条线段、、之间满足的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在（1）的条件下，，在、运动过程中，若，当取最小值______时，______．（直接写出答案）
28．在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段长度的最小值为图形的“雅近值”，记为，特别地，若图形有公共点，规定．
（1）如图1，的半径为2，
①点，，则______；
②已知直线，求直线与的雅近值．
（2）如图2，C为轴正半轴上的一点，的半径为1，直线与轴交于点D，与轴交于点E．
①若，，线段与的“雅近值”，请直接写出圆心C的纵坐标的取值范围；
②若，圆心C的纵坐标，直线与的“雅近值”，直接写出的取值范围．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出答案．
【详解】解：如图，在中，由勾股定理得，
，
故选D．
2．【正确答案】D
【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的点的坐标为（2，3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【详解】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的点的坐标为（2，3），
所以平移后抛物线的解析式为y=2（x﹣2）2+3．
故选D．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：∵的半径为4，点在内，
∴，
∴的长可能是3，
故选A．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设周平均增长率为，则第二周的游客人数为，第三周的游客人数为第二周人数再乘以，即，因此列出方程即可．
【详解】解：设周平均增长率为，则第二周的游客人数为，第三周的游客人数为第二周人数再乘以，即．
根据题意，第三周人数为8470，因此方程为：
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】根据得出，然后直接代入数据求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，故B正确．
故选B．
6．【正确答案】D
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】解：如图：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选D．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的性质可得，得到，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵与位似，
，
，
，
，
，
，
故选D．
8．【正确答案】D
【分析】由已知求得顶点坐标为，再结合，即可确定坐标轴的位置．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
∵，
∴抛物线与的交点为顶点，
∴为y轴，
∵二次函数与y轴的交点为，且，
∴为x轴，
故D．
9．【正确答案】
【分析】本题考查了比例的性质，根据合比性质解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴，
即.
10．【正确答案】相切
【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心与直线的距离为，则圆心与直线的距离等于的半径，所以与相切，于是得到问题的答案．
【详解】解：的直径为，，
的半径为，
圆心与直线的距离为，
圆心与直线的距离等于的半径，
与相切.
11．【正确答案】
【详解】∵AB所在的直角三角形的两直角边分别为：2，4，
∴AB=．
∴sin∠ABC=．
12．【正确答案】450
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x寸，
∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸，
∴，
解得．
答：竹竿长为450寸.
13．【正确答案】/
【分析】本题考查了旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为，
点经过的路径长为.
14．【正确答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而减小可得m的取值范围．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴时，y随x增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴.
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查计算不规则图形的面积，设旋转后与半圆O交于点C，连接，根据求解即可．
【详解】解：设旋转后与半圆O交于点C，连接，过点C作于点D，如图，
，
，
，，
，
，
，
，
.
16．【正确答案】或
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键．
求得函数(是常数，的图象过定点，函数是常数，与轴的交点为，然后分两种情况讨论即可求得的取值．
【详解】解：∵，
∴函数(是常数，)的图象过定点
∵，
∴函数是常数，与轴的交点为，
当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点，
∴满足题意；
当时，
∵无论为何值，函数和的图象总有公共点，
∴时，，即，
解得，
∴满足题意；
∴无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是或．
17．【正确答案】（1）
（2），
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，一元二次方程的解法，熟记特殊角的三角函数值与掌握公式法解一元二次方程是解本题的关键．
（1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可；
（2）先计算，再利用公式法解方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
∴，则方程有两个不相等的实数根，
∴，
，．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）90，直径所对的圆周角是直角；过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用圆周角定理解决问题即可．
【详解】（1）如图，
（2）证明：连接．
由作法可知，
∴点P在以为直径的上．
∴（直径所对的圆周角是直角）．（填推理的依据）
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线（过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
19．【正确答案】（1）抛物线的解析式为，画图见详解
（2）或
（3）
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图象，根据图象求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键．
（1）根据表格点得出抛物线顶点，与轴交点，根据待定系数法即可求解；描点连线即可画图；
（2）观察图象可得不等式的解集；
（3）观察图象得出当时，的取值范围；
【详解】（1）解：根据表格点抛物线顶点，与轴交点，
设抛物线的顶点式为，
∴把)代入抛物线解析式得，，
解得：，
故抛物线解析式为，
描点画图如下：
（2）解：不等式的解集，即为函数图象在函数下方时的取值范围，
观察图象可得函数和的交点为，
故不等式的解集为或；
（3）解：当时，即当时，
观察图象可得．
20．【正确答案】的长为4
【分析】过作于，在Rt和Rt中，根据角度和三角函数值可将用表示出来，再根据，即可求得的长，最后利用三角函数即可求得的长．
【详解】解：如图所示：过作于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴的长为4．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∵，
∴，
∵该方程的两个实数根的差为，
∴，
解得．
22．【正确答案】
【分析】作于点，根据垂径定理可得出，根据含30度角的直角三角形的性质，在中，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，作于点，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
23．【正确答案】中央电视塔的高度为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
在中，中得出，根据，进而求得的长，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴
在中，，
∴，
∴
∵
∴，
由图可知四边形是矩形，则
∴（米），
答：中央电视塔的高度为米．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
（1）连接，证明，可得结论；
（2）过点作于点．求出，得出，，利用得出，再利用三角函数求出即可．
【详解】（1）证明：连接．
平分，
，
，
；
，
为半径，
是的切线．
（2）解：是直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
25．【正确答案】（1），
（2）
（3）
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
（）根据题意即可求解；
（）利用待定系数法解答即可；
（）求出直线的解析式，设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点，求出的关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解；
【详解】（1）解：由题意得，点的坐标是，点的坐标是.
（2）解：把，代入得，
，
解得，
∴；
（3）解：设直线的表达式为， 把，代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的值最大，
即当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，此时的水平距离为．
26．【正确答案】（1）抛物线的对称轴为直线
（2）
（3）或
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象求不等式的解集；
（1）当时，把解析式化为顶点式即可求得；
（2）根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可判断；
（3）根据解析式可得对称轴为直线，则关于对称轴对称，依题意只需，即，建立不等式，根据二次函数的图象解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
抛物线的对称轴为直线．
（2），，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
点，都在抛物线上，
点M到对称轴的距离为，点N到对称轴的距离为，
即点M和点N到对称轴的距离相等，
．
（3）抛物线的对称轴为直线，
∴，之间的部分所有点的最大值一定在两个端点，
由题意得，点在点的左侧，点与点关于对称轴对称，
∵，
∴
∴，
∵
整理得：
解得：或
27．【正确答案】（1），理由见详解
（2），
【分析】（1）将绕点C逆时针旋转得到，根据正方形的性质，证明证明即可；
（2）设，则，，根据二次函数确定最小值，设，再利用勾股定理建立方程计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，将绕点C逆时针旋转得到，则，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知；
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，
设，
，
则，
，
当时，取得最小值32，
故也取得最小值，
四边形是平行四边形，
，
设，则，
，
，
整理得，
解得或（舍去），
故.
28．【正确答案】（1）①3；②
（2）①的取值范围为；②
【分析】（1）①连接，过点作轴于点，运用“雅近值”的定义即可求得答案；②过点作于点，设直线与轴交于，与轴交于，利用面积法求出，即可求得答案；
（2）①过点C作于，如图2，易求出点、的坐标，从而可得到、，然后运用三角函数可求出，然后分三种情况（：点在点E的下边，：点与点E重合，：点在点E的上边）讨论，就可解决问题；②如图3，、与轴交于、，连接，过点作于，于，设，则，由即可解决问题．
【详解】（1）解：①如图，连接，过点作轴于点，
，
，
的半径为2，
.
②如图，过点作于点，
设直线与轴交于，与轴交于，
令，则，
解得：，
，
令，得，
，
在中，，，，
，
，
，
；
（2）解：①如图，过点作于，
直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则，
解得：，
，
令，得，
，
，，
，
，
当点在点E下边时，
，
，
，
，
线段与的“雅近值”，
，
；
当点与点E重合时，，
此时；
当点在点E的上边时，，
线段与的“雅近值”，
可得
；
综上所述：；
②如图，、与轴交于、，连接，过点作于，于，

由题意得，，，
在中，，
直线与的“雅近值”，
直线与有公共点，
当直线与相切时，，
设，则，
∵，
，，
，
，
∴，
，
在中，，
，，
，
，
∴，
解得：，
，
，即点为，
即，
设，则，
∵，
，，
，
，
∴，
，，
，
，
解得：，
，
即，
综上所述，的取值范围为．0
1
2
3
0
3
4
3
0