2025-2026学年北京市第五十五中学上册九年级数学12月月考试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市第五十五中学上册九年级数学12月月考试卷 [附答案]，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，点都在上，若，则的度数（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．π cmB．2π cmC．3π cmD．4π cm
6．已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
（2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
（3）作直线PQ，连接BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．AP＝BQB．PQ∥AB
C．∠ABP＝∠PBQD．∠APQ+∠ABQ＝180°
7．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下所示：
抛掷次数 m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598
“正面向上”的频率 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520
下面有 3 个推断：
①当抛掷次数是 1000 时， “正面向上”的频率是 0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加， “正面向上”的频率总在 0.520 附近摆动， 显示出一定的稳定性， 可以估计“正面 向上”的概率是 0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为 3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是 1558 次．
其中所有合理推断的序号是（ ）
A．②B．①③C．②③D．①②③
8．已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点，以为直径作圆，记作，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②点在上；
③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形；
正确的结论是（ ）
A．①③B．①②C．②③D．①②③
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
10．一元二次方程的解是 ．
11．已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是 ．
12．如图，在中，，，，则的长为 ．

13．如图，是的一条弦：点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，，若，，则的面积 ．
14．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ．
15．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，交通示意图中的A，B，C是产地（用■表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），D，E，F是销地（用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），产地与销地之间的线段旁小括号内的数字表示运货单价（单位：百元/吨）．在不考虑其他因素的前提下，将产地B的8吨货物全部运往销地，最少的运费为 元；将A，B，C三个产地的产品全部运往销地，且每个销地的货物量恰好为该销地的销量，则调运的最小运费为 元．
三、解答题
17．解方程：
18．如图，在中，D为上一点，．求的长．

19．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：的切线．
作法： ①作射线；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线．
则直线即为所求作的的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接，．
由作图可知，
， ．
∴ ．
∵ 点A在上，
∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．
20．已知二次函数．
（1）此函数图象的对称轴______和顶点坐标______；
（2）画出此函数的图象；
（3）当时，的取值范围是______；
（4）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围．
21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
22．某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数．
23．“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从：“梦圆天路”、：“飞天英雄”、：“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习．
（1）小明同学选择：“探秘太空”模块的概率是_________；
（2）用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．
24．如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（2）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
26．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）________，________（用含的代数式表示）；
（2）直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，．
①当，时，则的长度为________；
②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围．
27．如图，为等边三角形，点M为边上一点（不与点A，B重合），连接，过点A作于点D，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
（1）依题意补全图形，直接写出的大小，并证明；
（2）连接并延长交于点F，用等式表示与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中的点和图形，给出如下的定义：若在图形存在一点，使得、两点间的距离小于或等于，则称为图形的关联点．
（1）当的半径为时，
①在点 ，，中，的关联点是_______________．
②点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围．
（2）的圆心在轴上，半径为，直线与轴、轴交于点、．若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B：不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；
C：既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
D：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意．
故选B．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，
，
由圆周角定理可知，，
又四边形是圆的内接四边形，
，
．
故选C．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：在等腰中，，
∴，
∵绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上，
∴，，，
∴，
∴，
故选B．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，
分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
故选B
6．【正确答案】C
【分析】根据作图过程即可判断．
【详解】解：∵
∴AP＝BQ，
∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA，
∴∠APQ+∠PAB＝180°．
∴∠APQ+∠ABQ＝180°．
所以A、B、D选项正确，C选项错误．
故选C．
7．【正确答案】C
【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．
【详解】①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本小题推断不合理；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理；
故选C．
8．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
把抛物线的解析式化成顶点式即可判定①；利用勾股定理的逆定理可判定为直角三角形，可得为的直径，即可判定②；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定③．
【详解】解：①,
∴该抛物线的对称轴是直线，
故结论①正确；
②连接，如图1所示：
∵该抛物线的最大值为，
，
解得：，
∴该抛物线的表达式为：，
当时，，
当时，，
解得：，
∴，
，
，
∴为直角三角形，即，
为的直径，
∴点C在上，
故结论②正确；
③连接，过点D作交抛物线于点E，点E在x轴的上方，连接，如图2所示：
∵为的直径，，
∴点D的坐标为，
设直线的表达式为：,
将代入,
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设直线的表达式为：，
∵，
∴，
将，点代入,
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
解方程组：，
解得：，，
∴点E的坐标为，
∵点，
∴与x轴不平行，
即与不平行，
∴四边形不是平行四边形，
故结论③不正确．
故选B．
9．【正确答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是.
10．【正确答案】,
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，
根据因式分解求解即可．
【详解】解：
，
，
或，
解得 ：, ．
11．【正确答案】0
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，利用中心对称性质是解题的关键．
根据正比例函数与反比例函数均是中心对称图形即可得到．
【详解】解：∵点是反比例函数与正比例函数的两个交点，且正比例函数与反比例函数均是中心对称图形，
∴.
12．【正确答案】
【分析】此题考查相似三角形的判定与性质，先证明，得到，再进一步得到，即可求出长，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
.
13．【正确答案】2.5
【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解．
【详解】解：设的半径是r，
点C是的中点，过圆心O，
，
，
，
，
，
，
，
．
14．【正确答案】32
【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解．
【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，，
∴，，，
∴
．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了扇形的面积计算，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，根据菱形的性质得到是等边三角形，进而证明，得出四边形的面积等于的面积，计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
四边形是菱形，，
,
,
是是等边三角形，
,
,
的高为，
,
扇形的半径为，圆心角为,
,
,
,
在和中,
,
,
,
.
16．【正确答案】2400；6000
【分析】本题考查了地点统筹优化问题，同时考虑到运费和销售地的销量是解题的关键．
将产地B的8吨货物全部运往销地D，或一部分运往销地D，一部分运往销地F，运费都是一样，则可求最少运费；
A地的5吨必然运往D，B地要运吨到D，剩下的吨运往E地，C地的运5吨到F，运吨到E，这样每个销地的货物量恰好为该销地的销量，可使运费最少，求解即可．
【详解】解：将产地B的8吨货物全部运往销地最少的运费为：
（元）.
A地的5吨必然运往D，B地要运吨到D，剩下的吨运往E地，C地的运5吨到F，运吨到E，这样每个销地的货物量恰好为该销地的销量，可使运费最少，则最少运费为：
（元）.
17．【正确答案】
【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程．
根据公式法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
18．【正确答案】的长为9．
【分析】根据已知条件证明，得到求出即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴．
故的长为9．
19．【正确答案】（1）见详解；
（2）；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；
（2）结合作图，完成证明过程即可．
【详解】（1）补全图形如图所示，
（2）证明：连接，．
由作图可知，
，．
∴，
∵ 点A在上，
∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
故；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
20．【正确答案】（1）直线，
（2）见详解
（3）
（4）或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
（1）将解析式化为顶点式即可；
（2）列表，描点，连线即可；
（3）由图可以得出的取值范围；
（4）由题意可得，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：，
∴对称轴为直线，顶点；
（2）解：列表：
函数图象如图：
；
（3）解：由图可知：当时，的取值范围是；
（4）解：∵点和都在此函数的图象上，且，对称轴为直线，
∴，
∴或．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解方程的方法，是解题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式，结合题意即可求解；
（2）根据m的范围确定m的取值，代入方程，因式分解即可求得方程的根．
【详解】（1）解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，
解得；
（2）解：由（1）得，
所以符合条件的最大整数为2，
即，
此时方程为，
分解因式得，
解得．
22．【正确答案】64个
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为．进一步得到出列后剩余机器人数为．结合长方形方阵的列数和行数的变化列出等式求解，根据长方形的边长排除不合理根即可．
【详解】解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为．
出列4个机器人后，剩余机器人数为．
长方形方阵的列数为，行数为．
根据题意，有，
化简得，，解得或，
∵时，行数（不合理），
∴．
总机器人数为．
答：此次参加表演的机器人的总个数为64．
23．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了概率的计算、画树状图或列表法求概率，
（1）根据题意所有模块数是个，选择的概率，则根据概率的计算公式进行计算即可；
（2）根据题意画树状图或列表的方法得出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可；
熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵从、、三个模块中随机选择一个，
∴小明同学选择：“探秘太空”模块的概率．
（2）解：画树状图如下：

共有种可能性结果，其中小明和小亮选择相同模块的结果有种，
∴小明和小亮选择相同模块的概率．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，圆的切线的判定定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线也是解题的关键．
（1）连接，角平分线的定义和圆周角定理得到，再利用平行线的判定和圆的切线的性质定理解答即可；
（2）利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理求得圆的直径，在中利用直角三角形的边角关系定理和特殊角的三角函数值解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
，
，
是的切线，
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∵为的直径，
∴，
在中，
，
，
在中，
，
．
25．【正确答案】（1）
（2）能达到优秀
【分析】（1）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可；
（2）当时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解．
【详解】（1）解：依题意，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，
设该抛物线的表达式为，
由抛物线过点，有，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：令，得，
解得，（C在x正半轴，故舍去），
∴ 点的坐标为，
∴ ，
由，可得，
∴ 小明此次试投的成绩达到优秀．
26．【正确答案】（1）2；
（2）①；②或
【分析】本题考查二次函数综合，涉及到求抛物线解析式，二次函数与线段综合；
（1）把和代入抛物线解析式计算即可；
（2）①当，时，，，计算即可；
②由题意可得，，，，则，，，
再根据和分情况讨论，根据的值始终随的增大而增大，求的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，，
∴，
解得.
（2）解：①∵，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，，
∴，，
∴.
②由题意可得，，，，
∴，，，
∵点从点沿着直线运动到点，
∴点在上，即在上，
∴，
解得，
当时，此时，
函数图象大致如下：
∴，，，
∴，，
∴，
∵，且的值始终随的增大而增大，
∴，即恒成立，
∴，
解得；
当时，此时，
函数图象大致如下：
则，点P从点A沿直线向左上方运动，
此时抛物线，开口向下，
∵对称轴为，
∴在y轴的左侧，y随x的增大而增大，
对于直线、，y随x的增大而减小，
∴、的值始终随的增大而增大，
∴时始终满足条件，
综上所述，的值始终随的增大而增大，的取值范围为或．
27．【正确答案】（1），补全图形以及理由见详解，
（2），理由见详解
【分析】本题主要考查了旋转变换．熟练掌握旋转性质，旋转作图，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的和性质，是解决问题的关键．
（1）根据题意即可补全图形，然后利用旋转的性质得是等边三角形，证明，得，即可解决问题；
（2）过点C作，交的延长线于点G，得，根据等边三角形性质得到，，根据全等三角形性质得到，可得，可得，得到，即得．
【详解】（1）如图所示，即为补全的图形，
证明：
∵为等边三角形，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），理由如下：
如图，过点C作，交的延长线于点G，
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1）①、，②或
（2）或
【分析】（1）①由题意得，只需在以为圆心，半径为和两圆之间即可，由 、的值可知、为的关联点；②满足条件的只需在以为圆心，半径为和两圆之间即可，所以横坐标范围是：或，
（2）分四种情况讨论即可，当圆过点，时，当圆与直线相切时，当圆过点，时；当圆过点时，即可得出.结果，
【详解】（1），，，
点与的最小距离为，点与的最小距离为，点与的最小距离为.
②根据定义分析，可得当直线上的点到原点的距离在到之间时符合题意；
设点的坐标为，
当时，由距离公式可得，，解得: ，
当时，由距离公式可得，，解得，
故点的横坐标的取值范围为：或，
（2）与轴、轴的交点分别为、两点，
∴ 令得：，解得：，
令得得，，
∴，，
如图，当圆过点时， ，
点坐标为，，
如图，当圆与小圆相切时，切点为，
，
又直线所在的函数解析式为，
直线与轴形成的夹角是，
中，，
点坐标为，
点的横坐标的取值范围为：，
如图，当圆过点时，，
点坐标为，
如图，当圆过点时，连接，此时，
中，由勾股定理得，点坐标为，
点的横坐标的取值范围为：，
故点的横坐标的取值范围为或．x
⋯
0
⋯
⋯
3
0
0
3
⋯