2025-2026学年北京市第五十四中学八年级上册期中数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市第五十四中学八年级上册期中数学试卷 [附答案]，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图片，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(，5)关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．( ，)B．(3，5)C．(3．)D．(5，)
5．如图，，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．
C． D．
8．如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
9．如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）

A．7B．8C．9D．10
10．设，是实数，定义一种新的运算：，则下列结论：①，则且；②；③；④，正确的有（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．计算： ．
12．在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）

13．如图，将长方形沿对角线折叠，使点C恰好落在点的位置，若，则 °．
14．如果，，计算 ．
15．如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为 ．
16．如图，两个全等的含的三角板和三角板，如图所示放置，、、三点在一条直线上，，连接，取的中点，连接、．下列结论：①；②；③；④；其中正确的 ．
三、解答题
17．计算：
（1）
（2）
（3）
18．先化简，再求值： ，其中，．
19．下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
______
点在线段的垂直平分线上（ ）（填推理依据）
同理可证，点也在线段的垂直平分线上
垂直平分（ ）（填推理依据）
是的高．
20．如图，点在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．在平面直角坐标系中，位于如图所示位置．
（1）直接写出图中点坐标___________；
（2）在图中作出关于轴对称的；
（3）的面积为____________；
22．在日历中，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
（1）图①是2023年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字形框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），先将位置，上的数相乘，再将位置，上的数相乘，最后把他们的积相减．
例如：_______，______，发现结果都等于______．
（2）设“Z”字形框架中位置上的数为，请用含的代数式利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
23．如图，中，平分，且平分，于点E，于F．求证：．

24．阅读下列材料，并回答问题．
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式_______________；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤_______开始的．
（3）通过上述材料的学习，证明：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
25．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．

26．已知：如图1，在中，，于点，在上截取一点，使．过点作，交于点E．
（1）设，试求出和的大小（用含的代数式分别表示）；
（2）用等式表示三条线段之间的数量关系，并证明．
27．在平面直角坐标系中，已知点，将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”．
已知顶点坐标为，，．
（1）如图1，若点．
①由材料，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为．请写出点关于的“对应点”：__________；点关于的“对应点”：__________；
②若点和点关于的“对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求的取值范围：
（2）若点关于的“对应点”为点，且以A、、为顶点的三角形恰与全等，请写出所有满足条件的点的坐标：______________．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查幂的运算性质，包括幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法和除法．根据相关运算法则计算即可．
【详解】解：∵根据幂的乘方性质，，
∴ ，选项A正确；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，．
故选A．
3．【正确答案】C
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意；
B．，不能组成三角形，不符合题意；
C．，能组成三角形，符合题意；
D． ，不能组成三角形，不符合题意．
故选C．
4．【正确答案】B
【详解】根据关于y轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，
∴点P关于y轴的对称点的坐标是（3，5），
故选B
5．【正确答案】A
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
故选A．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见详解），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作，
由题意得：，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
7．【正确答案】A
【分析】本题考查了列代数式、长方形的面积，能把阴影部分的面积用不同的代数式表示出来是解题的关键．根据图形列出代数式即可．
【详解】解：A、不能表示图中阴影部分面积，符合题意；
B、阴影部分的面积等于上面两个小长方形组成的大长方形面积加上下面阴影部分的长方形面积，即，故此选项不符合题意；
C、阴影部分的面积等于右边两个小长方形组成的大长方形面积加上左边阴影部分的长方形面积，即，故此选项不符合题意；
D.阴影部分的面积等于大长方形的面积减去空白部分长方形的面积，即，故此选项不符合题意；
故选A．
8．【正确答案】B
【分析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分．
【详解】解：如图所示：过点作，，
两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
，
平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选B．
9．【正确答案】B
【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长．
【详解】解：连接，如图：
在中，，，
，
，
点是的中点，，
是线段的垂直平分线，
，
，
在中，，，
，
，，
，
在中，，，
．
故选B．
10．【正确答案】B
【分析】根据，分别表示出各项的意义，再比较是否相等．
【详解】解：∵，
①若，则，则a，b互为相反数，故错误；
②=，故正确；
③≠，故错误；
④，，故正确；
故选B．
11．【正确答案】1
【分析】该题考查了零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂都等于1．
【详解】解：因为 ，所以 ．
12．【正确答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD）
【分析】证明ABD≌ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．
【详解】解：
要使
则可以添加：∠BAD=∠CAD，
此时利用边角边判定：
或可以添加：
此时利用边边边判定：
13．【正确答案】
【分析】依据长方形的性质可知，，证明，由折叠的性质可知，故此可求得问题的答案．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由折叠可得：，
∴，
14．【正确答案】12
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是灵活运用运算法则，注意法则的逆用．
利用指数运算的性质，将转化为，再代入已知条件计算．
【详解】解：∵，，
根据指数运算性质，．
其中，
所以．
15．【正确答案】15°
【分析】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，利用等边三角形的性质证得∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，PD=BP，根据两点之间线段最短得出当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，根据等边对等角证得∠CBP1=∠CDP1=∠CAD，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，
∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，
∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，
∴CE为线段BD的垂直平分线，
∴PD=BP，
∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，
∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，
连接BP1，则BP1=DP1，
∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，
∴∠CBP1=∠CDP1，
∵AC=BC=CD，
∴∠CDP1=∠CAD，即
延长AC至Q，
∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，
∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，
∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，
∴当的值最小时，=15°.
16．【正确答案】①③④
【分析】利用全等三角形的性质得到：，， ，得到①的结论正确；利用梯形的判定与性质判断②不正确；连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到③的正确；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质得到④的正确．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴①的结论正确；
∵，
∴，
∵，
∴四边形为梯形，
∴，
∵，
∴，
∴②的结论不正确；
连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵的中点为M，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∴③的结论正确；
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①③④．
故①③④．
17．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用单项式乘以单项式进行计算，即可作答．
（2）先运算同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，再合并同类项，即可作答．
（3）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：解：
．
（3）解：
．
18．【正确答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值，先分别利用多项式除以单项式、平方差公式进行展开，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可，熟练掌握整式的运算顺序是解题关键．
【详解】解：
，
当，时，原式．
19．【正确答案】（1）见详解；（2），与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线
【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到BA=BE，CA=CE，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B、点C在线段AE的垂直平分线上，从而得到BC垂直平分AE．
【详解】（1）如图，AD为所作；
（2）证明：连接，．
__BE____
点在线段的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ）（填推理依据）
同理可证，点也在线段的垂直平分线上
垂直平分（两点确定一条直线 ）（填推理依据）
是的高．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用是解题的关键．
（）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明；
（）由全等三角形的性质得，再通过三角形外角性质求出即可；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：由（）得，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
21．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握成轴对称的性质，正确的作图，是解题的关键．
（1）根据的位置，写出坐标即可；
（2）根据成轴对称的性质，画出；
（3）分割法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由图可知：；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：的面积为．
22．【正确答案】（1）15，15，15
（2）见详解
【分析】本题考查平方差公式以及有理数的运算，正确地表示出日历中的五个数，是解题的关键．
（1）根据有理数的运算法则，进行计算即可；
（2）根据月历上的数字规律，用含的式子表示出，再根据整式的乘法法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：；
；
发现结果都等于 15 .
（2）解：设“Z”字形框架中位置上的数为，
则：，
，
，
．
23．【正确答案】证明过程见详解
【分析】由角平分线的性质可得，再由线段垂直平分线的性质可得，再根据全等直角三角形的判定与性质即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接、，
∵平分，，，
∴，
∵且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．

24．【正确答案】（1）
（2）①
（3）见详解
【分析】本题考查了因式分解、平方差公式，熟练掌握配方法是解题关键．
（1）利用完全平方公式进行配方即可得；
（2）步骤①中利用完全平方公式进行配方时出现错误；利用配方法及平方差公式分解因式即可得；
（3）多项式，利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性即可得证．
【详解】（1）解：
.
（2）解：该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤①开始的，完整的、正确的解答过程如下：
.
（3）解：
，
，
，
即取任何实数时，多项式的值总为正数．
25．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法；
（1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解；
（2）由（1）中即可求解；
（3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解．
【详解】（1）解：延长使得，连接，如图2，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：；
由（1）得：，
∴，，
∴；
（3）解：；
延长使得，连接，如图，

由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．
【问题解决】
（1）直接写出图1中的取值范围：
（2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明．
26．【正确答案】（1）；
（2），理由见详解
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
（1）根据直角三角形的两锐角互余求出，根据三角形内角和定理、平行线的性质求出；
（2）延长至M，使，证明，根据全等三角形的性质得到，得到，进而证明结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，
理由如下：如图1，延长至M，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
27．【正确答案】（1）①，；②，，
（2）
【分析】（1）①根据题目的新定义求解即可；
②根据新定义表达出和，再分三种情况讨论即可；
（2）根据全等三角形的性质得出两种情况：和，运用勾股定理列出连之间的距离方程来求出两种情况的的坐标，再根据题目的新定义即可求出M的坐标．
【详解】（1）①将点关于直线对称得到点，
再将点关于直线对称得到点，
则点关于的“对应点”为，
将点关于直线对称得到点，
再将点关于直线对称得到点，
则点关于的“对应点”为.
②解：由上述可得点关于的“对应点”为，
点关于的“对应点”为．
线段与的边没有公共点有三种情况：
第一种情况：如图①，线段在上方，
此时只需，在轴上方，
即，解得；
第二种情况：如图②，线段在内部，此时只需在轴下方，
在点C上方
即，
解得；
第三种情况：如图③，线段在点下方，
此时只需在点下方，
即，解得；
综上所述，的取值范围是，，．
（2）根据题意得，，
∵，
则要使恰与全等，
有两种情况，如下：
当时，
设为，则，，
解得和，
∴为和，
则由新定义可得M为和；
当时，
设为，则，，
解得和，
则由新定义可得M为和；
∴所有满足条件的点M的坐标：．已知：
求作：的边上的高
作法：（1）分别以点和为圆心，，为半径作弧，两弧相交于点；
（2）作直线交边于点．
所以线段就是所求作的高．
解：
步骤①
步骤②
步骤③
步骤④