2025-2026学年安徽省合肥市第三十八中学上册九年级上册数学第二次月考试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年安徽省合肥市第三十八中学上册九年级上册数学第二次月考试卷 [附答案]，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则的值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
4．已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为6，则的长为（ ）
A．3B．4C．3.5D．4.5
6．已知二次函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知在中，， ，，则的长（ ）
A．7B．8C．8或17D．7或17
8．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，的延长线与边相交于点D，连接．若，，则线段的长为（ ）
A．24B．4.8C．8D．9.6
9．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在锐角中，，两动点，分别在，边上滑动且，，，得矩形，设的长为，矩形的面积为，则关于的函数图象大致是( )
A．B．
C．D．
二、填空题
11．若，则的值为 ．
12．两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是 ．
13．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则 ．
14．如图，在正方形中，点E，M分别为，的中点，P为边上一动点（不与点C重合），连接，过点P作，且，连接，．
（1）的值为 ；
（2）若，则线段长度的最小值为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点均为网格线的交点）和格点．
（1）以点为位似中心将在网格中放大倍得到，请画出；
（2）以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到，请画出．
17．如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求反比例函数的关系式．
（2）结合图象，请直接写出不等式的解集．
18．明代徐光启创作的《农政全书》成书于万历年间，基本囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面．书中插图绘制了古代劳动人民发明的一种采桑工具——桑梯，如图1，其模型如图2所示，已知米，，梯子的踏脚点为D，梯脚为点C，且．请求出踏脚点D距地面的高度．（结果精确到0.1，参考数据：）
19．为方便悬挂电子屏幕，物业公司需要在小区大门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）．
20．如图，在矩形中，交于点E，过点E作于点F，显然点F是线段的二等分点．
（1）连接交于点G，过点G作于点H，求证：点H是线段的三等分点；
（2）请在图中作出线段的一个四等分点（作图工具不限，保留作图痕迹，不写作法）．
21．（1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数．
（2）已知，均为锐角，，，则________；
（3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求的值．
22．如图，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且，E，G分别是与，的交点，F，H分别是与，的交点．

（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若为菱形，且，，求的值．
23．已知抛物线经过点
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求t的取值范围；
（3）点和分别在抛物线和上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值p，求p的值．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可．
【详解】解：∵在中，，
∴．
故选B
3．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选D
4．【正确答案】C
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．
由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答．
【详解】解：∵当时，，即，
∴当时，y随x的增大而增大．
A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
C、函数的图象开口向上，对称轴为，
则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意；
D、函数的图象开口向下，对称轴为，
则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意．
故选C
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据位似图形的性质得到，证明，即可求解．
【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选B．
6．【正确答案】C
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．
【详解】解： 二次函数图象中，开口向上，
．
对称轴，又，
，即．
抛物线与轴交点在负半轴，
．
选项A：，，，
两负一正相乘得正，
，该选项错误．
选项B：对称轴，由图象知对称轴，即，
又，两边乘得，，该选项错误．
选项C：当时，，即；当时，，
，该选项正确．
选项D：当时，，由图象知对应的函数值，
，该选项错误．
故选．
7．【正确答案】D
【分析】①过作交于，可求 ，，从而可求，，即可求解；②过作交的延长线于，由即可求解．
【详解】解：①如图，过作交于，

，
，，
，，
，
，
；
②如图，过作交的延长线于，
，，
；
综上所述：的长为7或17．
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和旋转的性质，利用勾股定理求出的长，通过证明得到，， ，再结合等腰三角形三线合一和面积法求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
在中，，，，
∴，
∵由旋转性质得，，
∴，
∵，
∴
∴，，
∵，，
∴，
∵
∵
∴
∴，
故选B．
9．【正确答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故选B．
10．【正确答案】B
【分析】根据题意首先求出AD，然后进一步证明△AMN～△ABC，据此利用相似三角形性质得出AE=，由此可知MP=，最后列出关于的函数解析式，然后再对其进行分析判断即可.
【详解】如图，作AD⊥BC于点D，交MN于点E，
∵锐角△ABC中，BC=6，其面积为12，
∴，
∴AD=4，
∵两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC，得到矩形MPQN，
∴MP=ED，△AMN～△ABC，
∴，
又∵MN长为，矩形MPQN的面积为，
∴，
∴AE=，
∴ED=AD−AE=，
∴MP=，
∴矩形的面积,
∴关于的函数图象是二次函数，顶点坐标为：(3，6)，
∴只有B选项符合，
故选B.
11．【正确答案】4
【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
12．【正确答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，两个相似三角形的周长比等于相似比，由最长边之比得出相似比，再根据周长之和求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的最长边分别是和，
∴这两个相似三角形的相似比为，
∴这两个相似三角形的周长比为，
∵这两个相似三角形的周长之和为，
∴较小三角形的周长是.
13．【正确答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴于D，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴
14．【正确答案】；
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，，延长交于点，设交于点，证明，，得出，进而可得，即可得出的值，
（2）根据（1）所求可得点在上运动，证明四边形是平行四边形，得出，则当在上时，取得最小值，此时重合，进而解直角三角形，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，，延长交于点，设交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
又∵，，
∴，即，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴.
（2）∵，
∴点在上运动，
∴当时，取得最小值，
∵，，
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴
又∵，即，
∴，
∴当在上，取得最小值时，此时重合，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，即的最小值为.
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算立方根和零指数幂，最后计算加法即可得到答案．
【详解】解：
．
16．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题主要考查了位似图形、图形的旋转．
分别连接、、，并延长到、、，使、、，连接、、，得到即为所求；
分别画出点、绕点顺时针旋转的对应点、，连接点、、得到即为所求．
【详解】（1）解：如下图所示，分别连接、、，并延长到、、，
使、、，
连接、、，得到，
即为所求；
（2）解：如下图所示，分别画出点、绕点顺时针旋转的对应点、，
连接点、、得到，
即为所求．
17．【正确答案】（1）
（2）或
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线与反比例函数的交点坐标，再结合函数图象找到一次函数的图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得，
解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立，解得或，
∴直线与反比例函数交于点和点，
由函数图象可知，不等式的解集为或，
∴不等式的解集为或．
18．【正确答案】踏脚点与地面的高度约为米
【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是构造直角三角形，过点作，垂足为，根据，求出，，再根据，即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为，
米，，
米，
∵，，
∴，
在中，，
（米），
答：踏脚点与地面的高度约为米．
19．【正确答案】（1）
（2）这根材料的长度不够用，计算见详解
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键：
（1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，，
∴，
把代入，得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由题意，可知：，
∴关于轴对称，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴这根材料的长度不够用．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由矩形的性质得到，由三线合一定理得到，则由三角形中位线定理可得，，证明可推出，再证明即可证明结论；
（2）过点E作于P，连接交于Q，过点Q作于M，可证明四边形是矩形，则可证明点M为的中点，而点F为的中点，则点M为的四等分点．
【详解】（1）证明：∵在矩形中，交于点E，
∴，
∵，
∴，
是的中位线，
，，
，
．
，，
，
∴，
，
是的一个三等分点．
（2）解：如图所示，过点E作于P，连接交于Q，过点Q作于M，则点M即为所求．
21．【正确答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，熟知锐角三角函数是解题的关键．
（1）解直角三角形可得，，则可证明，利用勾股定理及其逆定理可证明，，得到，则可证明是等腰直角三角形，则；
（2）根据特殊角三角函数值可得的度数，进而可得答案；
（3）构造解析图中的，可证明；同理可证明，解直角三角形得到，据此可得答案．
【详解】解：（1）如图所示，取格点E、F，连接，
在中，，
在中，，
∴
由网格的特点和勾股定理可得，，
，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）∵，均为锐角，，，
∴，
∴；
（3）如图所示，，
∴，
∴，
∴；
由网格的特点和勾股定理可得，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，平行线分线段成比例，得到，进而推出，证明，得到，即可得证；
（2）证明，推出，证明，推出，根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：由题意知，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
在与中，
∵，，．
∴．
∴．
∵，
∴．
又，，
∴．
又，
∴．
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴，，即，．
∵，
∴．
∴，
∴，
，解得．
同理，．
∴，
同理解得．
故，即的值是．
23．【正确答案】（1）直线
（2）
（3）
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，因式分解的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将代入二次函数的解析式得出，再由二次函数的对称轴公式计算即可得解；
（2）当时，，从而可得抛物线的解析式为，进而得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，再结合抛物线的对称性以及题意可得，，求解即可；
（3）由题意可得，，结合，得出，由（1）可得，从而得出，整理可得，由题意可得，，从而得出，整理可得，再由是一个与无关的定值，得出，求出的值即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴对称轴为直线；
（2）解：当时，，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵对于该抛物线上的两点，，且当，时，均满足，
∴点P到对称轴的距离小于或等于点Q到对称轴的距离，
∴，
解得；
（3）解：∵点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合），
∴，，
∵，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，都不与原点重合，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是一个与无关的定值p，
∴，
∴，
∴．
活动
主题
为小区大门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动
准备
1．去小区物业查阅框架结构的图纸；
2．准备皮尺等测量工具．
采集
数据
图1是小区大门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：
1．大门形状为矩形（矩形）；
2．底部跨度（的长）为；
3．立柱的长为，且，垂足为O，．
设计
方案
考虑实用和美观等因素，在A，D间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，，立柱的另一端点，在抛物线形框架结构上，其中．
确定
思路
小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，点E的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点A或点D的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．