陕西省榆林市2026届高三上学期检测训练（二模）数学试卷含答案（word版）

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1. 已知复数 z 满足 zi=3+4i ,则 z 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知全集 U={−2,−1,1,2} ,集合 M=xx2−3x+2=0∣ ,则 ∁UM=
A. {−2,−1,1,2} B. {1,2} C. {−2,−1} D. ⌀
3. 已知一组样本数据 x1,x2,x3,⋯,x10 的方差为 2,则数据 3x1−6,3x2−6,3x3−6,⋯,3x10−6 的方差为
A. 0 B. 2 C. 12 D. 18
4. 已知双曲线的虚轴长为 103 ,离心率为 2,则该双曲线的实轴长为
A. 5 B. 10 C. 102 D. 20
5. 已知数列 an 满足 a1=2,an+1=1−1an ,则 a2026=
A. -1B. 12 C. 2 D. 3

(第 6 题图)
6. 如图,已知四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, △PAD 是正三角形, AB =2，平面 PAD⊥ 平面 ABCD . 则异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值为
A. 14 B. 24C. 13 D. 33
7. 已知符号函数 sgnx=1,x>0,0,x=0,a、b、c是平面内三个不同的单位向量. 若sgna⋅b=0,−1,x0,ω>0,φ0 存在两条公切线,则实数 m 的取值可能是
A. 12e2 B. 1e2 C. 1e D. 1
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类. 育德中学 4 名同学在庆元旦活动中，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购 1 种，则不同的选购方法有_____种. (用数字作答)
13. 已知 3sinθ−csθcsθ+sinθ=2 ,则 tanθ+π4=
14. 若 x 表示不大于 x 的最大整数,曲线 y=x3 在点 2n,8nn∈N∗ 处的切线经过点 an,0 ,则 a5= _____，数列 an 的前 2n 项和为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a+b=11,c=7,csA=−17 .
(1)求a的值；
(2)求 sinA−C 的值.
16. (本小题满分 15 分)
已知函数 fx=lnx+ax−aa∈R .
(1)讨论 fx 的单调性；
(2)若 fx≥0 ，求 a 的值.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4 ，点 P 是线段 BC 的中点，点 E ， F 是侧棱 AA1 上的动点, AA1=2FE .
(第 17 题图)
(1)证明: PF// 平面 B1CE ；
(2) 求平面 ABB1A1 与平面 B1CE 夹角余弦值的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F2,0 ,过 F 的直线 l 与 Γ 交于 P,Q 两点,且当 PQ ⊥x 轴时, PQ=6 .
(1)求椭圆 Γ 的方程；
(2)证明: 1FP+1FQ 为定值;
(3)若点 P 在 x 轴上方，直线 PE 与圆 E:x+22+y2=64 交于 A 、 B 两点，点 B 在 x 轴上方，是否存在点 P ,使得 △PBF 与 △QEF 的面积之比为 5:3 ? 若存在,求出点 P 坐标; 若不存在,说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
定义:当三个正数能够成为三角形的三条边长时,我们称其为三角数组,例如3,5,7是三角数组,3,5,9 不是三角数组. 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 a2=3 ,且 Sn=n1+an2 .
(1)求数列 an 的通项公式;
(2)从数列 an 中任意取出不同的三项 al,aj,ak ，证明: al,aj,ak 为三角数组的充要条件是 i,j,k 为三角数组;
(3)从数列 an 的前 n 项 n≥4 中任意取出不同的三项，证明:这三项为三角数组的概率 Pn