黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2026届高三上学期期末数学试题（I卷）（含解析）

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时间：120分钟满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（）
A. 2B. 3C. 4D. 6
2. 已知复数，则下列结论正确的是（）
A. z在复平面对应的点位于第三象限B.
C. z的虚部是D.
3. 一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，则该组数据的第60百分位数为（）
A. 9B. 10C. 13D. 16
4. 中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（）
A. 30种B. 60种C. 72种D. 114种
5. 如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（）

A. 9B. 10C. 11D. 12
6. 已知函数同时满足：
①定义域内任意实数x，都有；
②对于定义域内任意，，当时，恒有；
若恒成立，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的离心率为，AB是过右焦点F且垂直于x轴的弦，若点A，B到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为，则双曲线的方程为（）
A. B. C. D.
8. 已知且满足，则下列结论正确的有（）
A. 的最大值为B. 的最小值为2e
C. 的最大值为D. 的最小值为2e
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（）
A. 函数（且）图像恒过定点
B. 若函数满足，则函数的图象关于点对称
C. 当时，函数的最小值为
D. 函数的单调增区间为
10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线的准线于点C，设抛物线在点A处的切线为l，且l与x轴的交点为D，则（）
A.
B.
C. 四边形为梯形
D. 面积是的面积的2倍
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（）
A. 三棱锥外接球的表面积为9π
B. 若，则点P的轨迹长度为
C. 的最小值为
D. 若直线与平面所成的角为，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列前项和，设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.
13. 已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为________．
14. 已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在上单调．
（1）求的单调递增区间；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，求△ABC周长的最大值．
16. 已知四棱锥，平面，，，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 苏州某网红奶茶品牌公司计划在周边城市开设加盟分店，为了确定在城市开设分店的个数，该公司对苏州市相城区的5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在相城区的5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.
（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程：
（2）如果该公司最终决定在城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异?
参考公式：，，，
18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线的斜率分别为，且直线过定点．
①设和的面积分别为，求的最大值；
②证明为定值，并求出该定值．
19. 已知函数．
（1）若，求曲线在处切线方程；
（2）若对任意恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：．
（个）
2
3
4
5
6
（十万元）
25
3
4
4.5
6
不下单
下单
合计
分店一
分店二
合计