数学选择性必修 第三册数列中的递推第2课时教案及反思

这是一份数学选择性必修 第三册数列中的递推第2课时教案及反思，共8页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
教学设计
教学目标：
1. 理解数列的前n项和的含义.
2. 通过数列的前n项和与通项公式的转化，进一步理解项与和的关系.
教学重难点
教学重点：理解数列的前n项和与通项公式的关系.
教学难点：掌握已知Sn求an的方法.
教学过程：
课堂导入
1.已知某电子书今年上半年每个月的销售量构成数列
220，530，950，1 360，1 820，2 350.
假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列，除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？
【设计意图】以真实的销售情境切入，让学生感受数学源于生活，通过“总销量”的需求自然抽象出前n项和的概念，降低概念的抽象性，激发学习动机。
新知探究
1. 数列的前n项和
已知某电子书今年上半年每个月的销售量构成数列
220，530，950，1 360，1 820，2 350.
教师：作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即
220+530+950+1 360+1 820+2 350=7 230
形成概念：一般地，给定数列an，称Sn=a1+a2+a3+…+an,
为数列an的前n项和.
例如，对于上述问题中的数列来说，
S1=a1=200，
S2=a1+a2=220+530=750，
S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+950=1 700，
等等.
教师：谈谈你对数列概念和的理解.
预设：前?项和是数列从第1项到第?项的累加结果，而非任意几项的和.
Sn随?的变化而变化，是关于?的函数.
例如：数列an为1，3，5，7，9，其前3项和S3=1+3+5=9，前5项和S5=1+3+5+7+9=25， Sn随n的变化而变化，是关于n的函数（可记为Sn），如：已知数列an的通项为an=2n，则前4项和S4=2+4+6+8=20。
教师进一步归纳：如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
【设计意图】通过具体实例让学生直观感知概念，避免将“前n项和”与“任意项的和”混淆。
2.数列的前n项和与通项公式的关系
教师：已知数列an的前n项和为Sn= 2n+1.你能写出 a1，a2，a3吗？你能总结出一般规律吗？
预设：因为S1=2×1+1=3，又因为S1=a1，所以a1=3.
因为S2=2×2+1=5，又因为S2=a1+a2，所以a2=S2-a1=5-3=2.
因为S3=2×3+1=7，又因为S3=a1+a2 +a3=S2+a3，所以a3=S3-S2=7-5=2.
教师：你发现了什么？
学生：从前n项和的意义看，前n项和比前(n-1)项和多数列的第n项an.
教师：怎样用数学语言准确、严谨地描述这一规律？
预设：一般地，如果数列an的前n项和为Sn，那么当n≥2，有
Sn-1=a1+a2 +a3+…+ an－1，
Sn=a1+a2 +a3+…+ an－1+ an，
所以Sn= Sn-1+an，
因此an=S1 ，n=1， Sn-Sn-1，n≥2.
提问：为什么要写成分段数列的形式？
an=Sn-Sn-1
要有意义n-1≥1，所以这里n≥2.
教师：为了更好的理解这一关系，举个简单的例子来说明。
【设计意图】从具体数列的计算入手，经历“特殊→一般”的归纳过程，逐步推导Sn与an的关系，理解公式的来龙去脉，培养逻辑推理能力。
典例分析
例 已知数列an的前n项和为Sn=n2，求数列an的通项公式.
解：由题意可知 a1=S1=1.
当n≥2时，有an= Sn-Sn-1= n2-n-12=2n-1.
又因为2×1+1=1，所以n=1时an=2n-1也成立，因此an=2n-1.
问题：若Sn=n2+1，数列an的通项公式是什么？
解：由题意可知 a1=S1=2.
当n≥2时，有an= Sn-Sn-1= n2-n-12=2n-1.
又因为2×1-1=1，所以n=1时an=2n-1不成立，
因此an=2，n=1， 2n-1，n≥2.
师生共同归纳：在这个例子的两个小题中Sn表达式不一样，那么数列必定是两个不同的数列，通项也应该是不一样的。如果我们仅从n≥2时an=Sn-Sn-1来看，Sn中的常数是不起作用的，(1)）和(2）都有an=2n-1，所以我们还必须看首项。在（2）中a1=1，正好满足an=2n-1，因此可以统一为一个等式，而（1）两者不能统一，所以要写成分段数列的形式.
教师：已知Sn怎么求an
3.已知Sn求an
（1）先利用a1=S1求出a1.
（2）用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an= Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.
（3）注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
【设计意图】通过典型例题的示范，梳理“Sn求an”的基本方法，强调验证环节的必要性，突破难点，培养严谨的数学思维。
随堂练习
1. 1 202年，斐波那契在《算盘全书》中从免子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列. 记Sn为该数列的前n项和，则下列结论错误的是（ B ）
A. a11=89
B. a2023为偶数
C. a1+a3+a4+… +a2023=a2024
D. a2+a4+a6+… +a2024=S2023
2. 如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层，第1层有1个球，第2层有3个球；…；第堆有n层，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…，第n层有an个球. 记第n堆的球的总数为Sn则（参考公式：1²+2²+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1) （ ACD ）
A. an=an-1+nn≥2B.an= n(n-1)2
C.Sn+1=Sn+(n+1)(n+2)2 D.Sn=16n(n+1)(n+2)
3. 已知数列an的前n项和满足以下关系，求数列an的通项公式.
（1） Sn=n2-4n； （2）Sn=n2+2 （3） 2Sn=n2+3n
解：（1）由题意可知 a1=S1=1-4×1=-3.
当n≥2时，有an= Sn-Sn-1= n2-4n-[n-12-4n-1]=2n-5.
又因为2×1-5=-3，所以n=1时an=2n-5也成立，因此an=2n-5.
（2）由题意可知 a1=S1=1+2=3.
当n≥2时，有an= Sn-Sn-1= n2+2-[n-12+2]=2n-1.
又因为2×1-1=-1，所以n=1时an=2n-1不成立，
因此an=3，n=1， 2n-1，n≥2.
（3）由题意可知，当n=1时，2S1=1+3=4，所以 a1=2.
当n≥2时， 由2Sn=n2+3n得2Sn-1=n-12+3n-1，
2Sn- 2Sn-1= n2+3n-n-12+3n-1=2n+2，
即2an=2n+2，
所以an= n+1.
又因为2×1+1=3，所以n=1时an=n+1也成立，
因此an= n+1.
【设计意图】巩固本节课核心知识点，及时反馈学习效果，提升题拓展学生思维.
课堂总结
师生活动：回顾本节课的学习过程，包括本节课的主要内容和主要思想方法.
1.数列的前n项和
一般地，给定数列an，称
Sn=a1+a2+a3+…+an,
为数列an的前n项和.
如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
2.数列的前?项和与通项公式的关系
an=S1 ，n=1， Sn-Sn-1，n≥2.
3.已知Sn求an
（1）先利用a1=S1求出a1.
（2）用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an= Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.
（3）检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
【设计意图】总结本节课的主要内容及思想方法，提升学生的归纳总结能力..
布置作业
课后A组、B组相关习题.
【设计意图】巩固课堂所学的基础知识和基本技能，拓展作业让学生感受数学与生活的联系，激发学生的自主探究意识，延伸课堂教学效果.
板书设计
数列的前n项和
1.数列的前n项和：Sn=a1+a2+a3+…+an,
数列的前n项和公式：表示Sn与它的序号n之间的对应关系的式子.
2.数列的前?项和与通项公式的关系
an=S1 ，n=1， Sn-Sn-1，n≥2.
3.已知Sn求an
（1）先利用a1=S1求出a1.
（2）利用an= Sn-Sn-1(n≥2)，求出当n≥2时an的表达式.
（3）检验n=1时的表达式.
【设计意图】清晰呈现本节课的知识框架，帮助学生快速梳理核心内容，构建系统的知识体系.
教学反思
本节课从实际情境引入，注重概念的生成与方法的探究，但在教学中需关注学生对 “分类讨论” 思想的理解深度，后续可增加更多变式练习，强化学生对n=1与n≥2的辨析能力，提升课堂实效。