人教B版 (2019)选择性必修 第三册n项和教学设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册n项和教学设计，共8页。教案主要包含了导入新课，推进新课，例题剖析，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、导入新课
师 国际象棋起源于印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，这个故事大家听说过吗？
生 知道一些
师 “请在第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子正里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，以此类推每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.
师 假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计，你认为国王能不能满足他的要求.
设计意图：通过学生感兴趣的问题，激发学生学习的动力，顺利引入课题.
学生各抒己见动笔，列式，计算
生 能列出式子:麦粒的总数为?
师 这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下.
课件展示:?
师 我们将各格子里所放的麦粒数看成是一个数列,那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子里所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的前64项的和.
现在我们来思考一下这个式子的计算方法.
记,式中有64项,后一项与前一项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.
设计意图:为后面利用错位相消法推导等比数列的前项和公式奠定基础.
课件展示:
， = 1 \* GB3 ①
， = 2 \* GB3 ②
= 2 \* GB3 ②— = 1 \* GB3 ①得.
这个数很大,超过了,假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的结果发生，这都是由于他不具备基本的数学知识而造成的.而可避免这个不幸结果发生的知识，正是我们这节课所要探究的内容.
二、推进新课
[合作探究]
师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:?
师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察.
学生观察、独立思考、合作交流、自主探究.
师 若将上式左边的每一项乘以公比,就出现了什么样的结果呢?
生 .
生 每一项就成了它后面相邻的一项.
师 对上面问题的解决有什么帮助吗?
师生共同探索:
如果记,
那么.
要想得到,只要将两式相减,就有.
教师提问学生这一步后应如何处理,适时提醒学生注意的取值.
生 如果,则有.
师 当然,我们还要考虑如果,会得到什么样的结果呢?
生 如果,那么.
师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思考?
课件展示:
[教师精讲]
师 在上面特殊简单情形的解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.
师 在解决一般情形的等比数列求和时,我们可以使用“错位相减法”.
如果记,
那么,
要想得到,只要将两式相减,就有.
教师再次提醒学生注意的取值.
如果,则有.
师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:
如果记,
那么,
要想得到,只要将两式相减,就有.
如果,则有.
设计意图:由特殊到一般,根据课堂引入部分具体的推导过程,利用相同方法,推导等比数列前项和的公式,发展逻辑推理核心素养.
师 上述两种推导过程,只是在形式上有不同之处,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”.在形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:中的四个;后者出现的是四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前项和提供了选择的余地.
值得注意的是:上述结论都是在“如果时”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比数列的公比时,我们才能用上述公式.
师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果,如何求等比数列的前项和呢?
学生独立思考,合作交流.
生 如果.
师完全正确.
如果,那么正确吗?怎么解释?
生 正确.时,等比数列的各项相等,它的前项和等于它的任一项的倍.
师 对了,这就是认清了问题的本质.
师 等比数列的前项和公式的推导还有其他的方法,下面我们再来一起探讨一下.
[合作探究]
思路一:根据等比数列的定义,可得
再由等比定理,得,
即,
从而有.
(以下从略)
思路二:由得
从而得.
(以下从略)
师 探究中我们发现,是一个非常有用的关系式,应该引起大家足够的重视.在这个关系式中,的取值应该满足什么条件?
生 .
师 对,请同学们今后多多关注这个关系式:.
师 综合上面的探究过程,我们得出:
或
师 下面我们进一步探究等比数列前项和有哪些函数特性,类比等差数列前项和的函数特性,大家思考.
探索与研究
（1）等比数列中,与的关系与以前学过的什么函数有关?
（2）如果数列的前项和的公式是,其中都是常数,且,那么一定是等比数列吗?为什么?
学生小组讨论,汇报结论如下:
（1）与的关系与之前学过的指数型函数有关;
（2）可以证明,当时必为等比数列,否则是从第二项开始的等比数列.
设计意图:利用类比思想,引导学生利用已知探求未知,培养学生探究的能力.
三、例题剖析
例1 求下列等比数列的前8项的和:
（1）;
（2）.
[合作探究]
师生共同分析:
由（1）所给条件可得,求时的和,直接用公式计算即可.
由（2）所给条件可知,需要从中获取求和的条件,才能进一步求时的和.而,所以由条件可得,再由,可得,将所得的值代入公式计算即可.
学生写出解答过程:
（1）因为,所以当时,
（2）由,可得,又由,可得,
于是当时,.
设计意图:进一步巩固等比数列的前项和公式.
例2 已知等比数列中,,求这个数列前10项的和.
解 由已知可得
解 得.
因此前10项的和为
.
例3 已知数列的前项和公式为1,求出数列的通项公式,并判断这个数列是否是等比数列.
解 当时,有.
当时,有
.
因此数列的通项公式为
又因为,
,可知不是等比数列.
例4 求值:
分析 数列不是等比数列,不能直接用公式计算,但将它转化成,就容易解扶了.
解 原式
.
设计意图:从方程思想、函数特性、等价转化等角度进一步巩固学生对等比数列前项和的公式的掌握.
例5 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?
师 根据题意,从中发现等比关系,抽象出等比数列,并明确这是一个已知求的问题.
学生理解题意,从中发现等比关系,并找出等比数列中的基本量,列式,计算.
解 根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组成一个等比数列,其中.
于是得到,
整理得,
两边取对数,得,
用计算器算得(年).
答:大约5年可使总销售量达到30000台.
设计意图：掌握等比数列前n项和公式在实际问题中的应用.
练习：教材第40页练习A第1，2，3题.
四、课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，用到了“错位相减法”
2.等比数列前n项和公式的应用因为公式涉及等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个量，才能求出另外1个量，另外应注意的是，由于等比数列的前n项和公式有两种形式，故在应用中应根据题目所给的条件，适当选择运用合适的公式.
在使用等比数列的前n项和公式时，分析公比q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.
五、布置作业
1.教材第40页练习A第4，5题.
2.教材第40~41页练习B第1~5题.
板书设计
等比数列的前项和
1.等比数列前项和的公式:
因为,所以时,等比数列前项和的公式也可改写为
2.例1
例2
例3
例4
例5