河北省唐山市第二十一中学2025~2026学年上册九年级12月月考数学试题【附解析】

这是一份河北省唐山市第二十一中学2025~2026学年上册九年级12月月考数学试题【附解析】，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列选项中与成反比例关系的是（ ）
A．B．C．D．
2．为纪念抗战伟大胜利，弘扬抗战伟大精神，某班举行抗战历史知识测评．该班学生测试成绩的最高分是100分，最低分是70分，则他们的平均测试成绩可能是（ ）
A．110分B．100分C．85分D．65分
3．关于的一元二次方程的较小实数根为（ ）
A．2B．1C．0D．-1
4．如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面的坡度为（ ）
A．B．C．D．
5．反比例函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能是（ ）
A．B．3C．D．
6．用如图1的半径为的扇形纸板做成图2的圆锥形帽子（忽略接缝），已知帽子的底面周长为，则扇形纸板的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．粮店计划从10袋面粉（质量如图所示）中挑选出7袋面粉，其中五袋面粉的质量已经确定，且这五袋面粉质量的中位数为，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，若要使选出的7袋面粉质量的中位数仍为，则第6袋面粉和第7袋面粉可能会选择（ ）
A．A、DB．A、EC．B、ED．C、E
8．如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
9．一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
10．已知一元二次方程，当时方程的两根分别是和，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
11．密度计浸在液体中的深度是液体的密度的反比例函数，图象如图所示．下列结论：
结论一：当时，；
结论二：当时，．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一正确，结论二正确D．结论一不正确，结论二不正确
12．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知是锐角，且，则为 °.
14．如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °．
15．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到的位置，点A、O的对应点分别是C、E．函数的图象经过点和的中点．则的长为 ．
三、解答题
17．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．
（1）当时，点对应的实数为____________，点对应的实数为____________，A，B两点之间的距离为____________；
（2）若，求的值．
18．《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端．”大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验．如图1所示的小孔成像实验中，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．已知当时，．
（1）①求火焰的像高关于物距的函数表达式；
②请借助网格中的格点（不少于3个），在图2中画出①所对应的函数图象；
（2）若控制火焰的像高不超过，则小孔到蜡烛的最短距离为____________．
19．某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图．
（1）求抽取的20名学生测试得分的平均数、中位数、众数；
（2）若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数．
20．如图，在中，．
（1）尺规作图：作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若的半径为1，求的长．
21．将一款台灯放置在水平桌面上，其平面示意图如图1、图2所示，台灯支架可绕点A，B，C转动，底座与桌面垂直，，支撑杆．
（1）如图1，当，且点A，C，D在一条直线上，求点到桌面的距离；
（2）如图2，在转动台灯的支撑杆的过程中，当点A，B，C在一条直线上，且时，求点到桌面的距离．
（参考数据：取，取，取，取1.7，计算结果精确到）
22．如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
23．综合与实践
【情境】已知，正方形的边长为4，点是边上一点，，将沿翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，交于点．
【计算】（1）____________；
【探究】（2）淇淇说：“是等腰三角形．”
①请判断淇淇的说法是否正确？并说明理由；
②求的长；
【拓展】（3）求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形ABCD．
（1）求m，n的值；
（2）写出不等式的解集为____________；
（3）①求一次函数的解析式；
②请判断点是否在反比例函数的图象上？并说明理由；
（4）记一次函数的图象为，若与反比例函数的图象没有公共点，直接写出的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；反比例关系是指两个变量的乘积为常数（常数不等于0），即形式为，直接验证各选项是否符合此形式即可．
【详解】解：选项A：，为正比例关系；
选项B：，符合反比例关系；
选项C：即，为一次函数；
选项D：，为正比例关系；
故选B．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查了求一组数据的平均数，根据平均成绩不低于最低分，且不高于最高分，则可求出平均数的范围，据此结合选项可得答案．
【详解】∵ 平均成绩不低于最低分，且不高于最高分，
又∵ 最低分为70分，最高分为100分，且成绩不相等，
∴ 平均成绩满足：平均成绩．
观察各选项，只有选项C符合题意，
∴ 他们的平均测试成绩可能是85分．
故选C．
3．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把 ，化为标准形式后因式分解，得到两个实数根，比较大小后得出较小根
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 较小实数根为 ，
故选项 C
4．【正确答案】D
【分析】先根据勾股定理求出，再根据坡面坡度等于即可得出答案．
本题考查了坡度的定义，坡度，
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴桥的坡面AC的坡度，
故选D．
5．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：由图象可知：点在反比例图象下方，点在反比例函数图象上方，
∵，
观察图象得：，
选项A．，符合条件，选项BCD均不符合，
∴k的值可能是．
故选A ．
6．【正确答案】D
【分析】从图中可以看出帽子的底面圆周长就是扇形的弧长，根据此求出扇形的面积．
本题主要考查了扇形的面积公式．即，熟记相关的公式是解题的关键．
【详解】解：扇形面积，
故选D．
7．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了中位数的含义，由图形可知，要使选定7袋面粉质量的中位数仍为10kg，则第6袋面粉和第7袋面粉需要选择一袋不低于，另一袋不高于，根据选项即可得出正确的答案．
【详解】解：∵序号为1到5袋的面粉已选定，这5袋面粉质量的中位数恰好为10kg，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，使选定7袋面粉质量的中位数仍为，
∴选定的第6袋面粉和第7袋面粉的质量应该一袋不低于，另一袋不高于，
结合题图可得，第6袋面粉和第7袋面粉分别可以选择A和E、或B和D、或C和D，
选项B符合题意
故选B．
8．【正确答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练利用网格中的平行线判定相似是解题的关键．由图，利用，判定，得出，即可求出，则可求出，再利用，即可求解．
【详解】解：如图，
由图可知，，，，，，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
故选A．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查了勾股定理及垂径定理．解题的关键是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
根据垂径定理的推论，可得此圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心是O，连接．根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，是圆心，设半径为，即，
依题意得：，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：
答：圆弧门所在圆的半径为．
故选D．
10．【正确答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，算术平方根，熟记关于x的一元二次方程的两根分别为、，则，是解决问题的关键．当时方程的两根分别是和，可得，求出的值，再求的值，即可求解．
【详解】解：∵当时方程的两根分别是和，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴．
故选B．
11．【正确答案】B
【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可．
【详解】解：设关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
关于的函数解析式为．
结论一． 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该结论不正确，
结论二．当，，故当浸在液体中的高度时，液体的密度，故结论二正确，
故选B．
12．【正确答案】C
【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，交于点
∵折叠，
∴，，
又∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴
∴
故选C．
13．【正确答案】60
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】解：已知是锐角，且，，则的度数是.
14．【正确答案】30
【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得．
【详解】解：为直径，
，
，
，
∵，
．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：如图，由题意得，，，，
∵锥形瓶轴截面是轴对称图形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得.
16．【正确答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移变换与反比例函数的性质，解题的关键是利用平移的性质表示出点的坐标，再结合反比例函数的解析式列方程求解．
设平移的距离为，则点的坐标为；由平移性质得、的坐标，进而得到中点的坐标；结合反比例函数图象过、，列方程求出，即的长．
【详解】解：设平移的距离为，则
由平移性质得，，，故的中点的坐标为
∵过、，
∴，
解得．
故的长为．
17．【正确答案】（1），0，3．
（2），
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴与一元二次方程的结合，
（1）把代入代数式即可求出对应的实数，构造表示A、B两点间距离的代数式；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：当时，
数轴上点对应的实数为，点对应的实数为．
∴A，B两点之间的距离为，
（2）∴；
依题意，
∴
∴
∴，
解得：，.
18．【正确答案】（1）①；②见详解
（2）
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）①由题意设关于的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式；
②根据①先列表，然后描点，连线可画出函数图象；
（2）把当代入，然后结合图象即可解答．
【详解】（1）解：①设关于的函数表达式为，
把，代入得：，
解得，
关于的函数表达式为：；
②由①列表如下：
描点、连线，则可得反比例函数的图象如图所示：
（2）解：当时，，
解得：，
，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当时，．
故答案为4.8．
19．【正确答案】（1），，
（2）估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人
【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，平均数，中位数，众数熟练掌握平均数，中位数，众数的求法是解题的关键．
（1）根据平均数，中位数，众数的求法，即可求解；
（2）利用样本中测试得8分及其以上的比例乘以即可．
【详解】（1）解：由条形图可知，第10和第11个数据都是7分，
∴中位数为；
平均数为：；
这组数据中7分出现的次数最多，则众数为．
（2）解：（人）
答：估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理：
（1）作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为圆心，再以点O为圆心，的长为半径画圆即可得到答案；
（2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，进而利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了解三角形，需通过构造直角三角形，利用三角函数（正弦）求解垂直高度，关键在于根据已知角度确定直角三角形中的锐角，进而结合边长计算垂直分量，最后加上底座的高度得到点到桌面的距离．
（1）先根据已知等腰，结合三线合一的性质，求出当时的长度，再利用点、、共线及桌面的条件，即可求出到桌面的距离；
（2）当A、B、C共线时，先确定长度，再根据求出与竖直方向的夹角，利用三角函数计算垂直高度，加上得到结果．
【详解】（1）过点作，垂足为，
∵ ，，
∴，，
∴，
．
即点到桌面的距离．
（2）过点作于点
当点，，在一条直线上时，．
∵，
∴，
∴．
∴
即：点A到桌面的距离为．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了弧长的计算：弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为，也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．
（1）先根据角平分线的定义得到，再利用圆内接四边形的性质得到，所以，从而得到结论；
（2）连结交圆于，连接、，则，利用的结论得到，则为等边三角形，所以，再在中求出直径，然后根据圆周角定理得到，最后根据弧长公式求解．
【详解】（1）证明：平分，
，
∵四边形内接于，
∴，，
∴，
∵，
；
（2）解：如图，连接交圆于，连接、，则，
，
为等边三角形，
，
， ，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得（负值舍去），
∴圆半径为，
∴的长度．
23．【正确答案】（1）；（2）①正确，理由见详解；②；（3）
【分析】（1）根据勾股定理可求即可；
（2）①利用折叠性质得到角相等，再结合正方形对边平行的性质，推导角的关系，进而证明线段相等即可；
②设，在中，根据勾股定理可得出，解方程即可；
（3）证明，可求出，，再证明，根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，边长为，
∴，
在中，根据勾股定理.
（2）①淇淇的说法正确，
理由∵沿翻折得到，
∴， ，
又∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
②设，
∵，由折叠知，，，
∴
∵，，
在中，根据勾股定理，即
解得
即；
（3）由（2）知，，
∵，
∴
设，则，
由，得，
即，
解得，
，
∵，，
∴，
∴，即，
解得．
24．【正确答案】（1），．
（2）或
（3）①，②
（4）
【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式，再代入反比例解析式求解即可；
（2）根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集；
（3）①用待定系数法求一次函数解析式；② 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，．进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断．
（4）联立一次函数与反比例函数解析式，转化为一元二次方程无实数根的问题，利用判别式求解的范围．
【详解】（1）解：把点，代入，得．
∴反比例函数的表达式为．
把点代入，得．
（2）由（1）得：，则，
由图象可知：或，
（3）①把分别代入，
得，解得：
∴一次函数的表达式为，
②点在反比例函数的图象上
理由如下：
过点作轴于点，过点作轴于点，
则．
在中，当时，
∴
∵，
∴，
∴
∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴
∴．
∵，
∴点在反比例函数图象上，
（4）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，
则无实数根，整理得：，
，
当时，，，
∵的函数图象开口向上，
∴的解集是．
∴一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 的取值范围为．…..
3
4
8
…..
…..
8
6
3
…...