河北省石家庄市第四十二中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份河北省石家庄市第四十二中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ）
A．半径是厘米B．直径是厘米C．周长是厘米D．面积是厘米
2．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（ ）
A．米B．米C．米D．米
3．如图，在中，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知点是反比例函数图象上的两点，若，则有（ ）
A． B． C． D．
7．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ）
A．B．C．D．
8．为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取名学生的中长跑成绩（满分分）绘制成表：
关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ）
A．众数，中位数B．中位数，方差C．平均数，方差D．平均数，众数
9．如图，点是的八等分点，直线与切于点，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，的直径长为，垂直平分圆内的线段，，，以点为圆心，为半径画扇形，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．阴影部分的面积是D．的长是
11．如图， 是的直径，点C在上，点I为的内心，若，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为( )

A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．已知二次函数的图象开口向下，那么 （写出符合条件的一个值即可）．
14．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且点O、A、B分别是格点，已知小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为 ．
15．如图，已知为的直径，切于B，切于D，交的延长线于点E，若，则的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，S矩形OABC＝4，将矩形OABC翻折，使点B与原点重合，点C的对应点C′落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0），其图象恰好过MN的中点,则k的值为 ，点C′的坐标为 ．
三、解答题
17．若函数是二次函数．
（1）求k的值；
（2）当时，求自变量x的值．
18．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，现对他们在近六场比赛中得分、篮板和失误三个方面数据进行统计．
甲、乙两名队员比赛得分折线统计图：
甲、乙两名队员技术统计表如下：
根据以上信息，回答下列问题．
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是______（填“甲”或“乙”）；
（2）求甲队员得分的中位数和众数；
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
19．2025年春晚名为《秋》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节点与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）．
（1）求的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
20．如图，是的直径，是的中点，过点作于点，交于点．已知．
（1）求的半径；
（2）求证：；
21．如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点、，连接．点、的刻度分别为5、2，直尺的宽度为2，．设直线的解析式为．
（1）请结合图象直接写出不等式的解集；
（2）求反比例函数和直线的解析式；
（3）平行于轴的直线（）与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值．
22．某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动．
（1）如图1，，请直接写出的长为 （结果保留根号）；
（2）如图2，当时，连接，．
①直接写出的度数．
②求点C到桌面的距离（结果保留根号）；
（3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2﹣图3）过程中，圆心O移动的距离．
23．问题背景：某数学兴趣小组研究图形旋转的性质，将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转．已知：三角形纸片和中，，点为边的中点，旋转角为小组经测量得知．
【初步感知】
（1）①线段的长度为 ；
②在旋转过程中，当为锐角且时，旋转角 ；
（2）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值；
【深入探究】
（3）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长．
【拓展延伸】
（4）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为一直角边的直角三角形．若能，直接写出的长；若不能，请说明理由．
答案
1．【正确答案】A
【分析】此题考查了圆的认识，根据用圆规画圆的方法解题即可，熟练掌握圆的认识是解题的关键．
【详解】用圆规画圆的步骤为：
()把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离，这距离就是半径；
()把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上；
()把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出了一个圆；
故有圆的半径为厘米，
故选．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义，结合直角三角形的边长关系，进而求出高的长度．
【详解】解：为仰角，米，
在中，，
（米）．
故选．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项．
【详解】解：，
，
，
即，
，
和无法确定相等，
无法判断，
故选D．
4．【正确答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据最大数为x，则可表示出最小数，由这两个数的积为588列出方程即可．
【详解】解：由题意得，最小数为，
则，
故选B．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵为的外接圆，
∴，
∴，
故选．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．的图象在二、四象限，因为，A在第四象限，B在第二象限，所以．
【详解】解：∵图象在二、四象限，
且，
∴A在第四象限，B在第二象限，
∴，
故选D．
7．【正确答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
∵
∴点C在上，
由题意得：，
，
，
故选A．
8．【正确答案】A
【分析】此题主要考查了中位数、众数的运用，正确的理解题目意思是解题关键．
由题目已知可得，据此可以判断一定不随的变化而变化的是众数，中位数．
【详解】解：由题目已知，随机抽取的是名学生的中长跑成绩，根据图表可知：
，
，
一定不随的变化而变化的是众数，中位数，
故选A．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理，连接、，根据点是的八等分点，得，再由三角形内角和定理得，由切线的性质得，最后由可得答案．
【详解】解：如图，连接、，
∵点是的八等分点，
∴，
∵，
∴，
∵直线与切于点，
∴，
∴，
故选B．
10．【正确答案】C
【分析】过点作垂足为点，可以判断，，可得；根据勾股定理可以求出，所以；根据扇形的面积公式可以求出阴影部分的面积是；根据扇形的弧长公式可以求出的长是．
【详解】解：如下图所示，过点作垂足为点，
垂直平分圆内的线段，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故A选项错误；
，，，
，
，
故B选项错误；
，，
，
故C选项正确；
，，
的长是，
故D选项错误．
故应选：C．
11．【正确答案】D
【分析】延长交于点，连接，由圆周角定理可得，从而得出，由三角形内心的定义可得，求出，得出，从而可得，，再由勾股定理得出，即可得解．
【详解】解：如图：延长交于点，连接，
，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
12．【正确答案】D
【分析】①连接，证得，又知，得到，圆周角定理得到，进而得到；
②、则、，证为中位线知、，进一步求得，再在中利用勾股定理逆定理证即可得出结论；
③连接，证明四点共圆，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可得证；
④先证得，再证得，联立得，即，结合知，据此可得，结合可得相关线段的长，代入计算可得．
【详解】解：①连接，
在和中，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，即，
，
②，，
，
，且，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，
则与相切；
③连接，
，是圆的切线，
为等腰直角三角形，
为直径，
，，
，
四点共圆，
，故③正确
④是的直径，
，
，
，
，即，
又，，
，
，即，
由可得，即，
又，
，
，
，，，，，
，即，
解得：，故④正确；
故选D．
13．【正确答案】
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质；由二次函数图象的性质可知，当二次项系数时，图象开口向下．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴符合题意.
14．【正确答案】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、求弧长，根据勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：根据勾股定理可以得到：，即．
，，
，
是等腰直角三角形．
的长是．
设圆锥的底面半径是，则，
解得：．
故答案为．
15．【正确答案】3
【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理、切割线定理等知识，证出，得到，结合已知条件，求出的长；再根据勾股定理、切线长定理求出结果即可．
【详解】解：连接，
∵切于B，切于D，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵
∴，
，
∴，
∵，
∴，
解得或(舍去)，
∵切于B，
∴，
∴根据勾股定理得，，
∴．
16．【正确答案】；
【分析】利用△BQM≌△OQN（AAS），得到点Q是MN的中点，利用Rt△OHQ∽Rt△OCB得到＝（）2＝，求出k＝，设AM＝a，则BM＝3a＝OM，求得OA＝2a，根据反比例函数系数k的几何意义求得a,从而求得OC′＝BC＝OA＝2,ON＝BN＝OM＝,根据三角形面积求得C′G,再根据勾股定理即可求得OG，从而求得C′的坐标．
【详解】解：连接OB，交MN于点Q，
∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合，
∴QB＝QO，MB＝MO，
∵AB∥CO，
∴∠ABQ＝∠NOQ，
∵∠MQB＝∠NQO，
而OQ＝BQ，
∴△BQM≌△OQN（AAS），
∴QM＝QN，即点Q是MN的中点，
过点Q作QH⊥BC于点H，则QH是△OBC的中位线，
则Rt△OHQ∽Rt△OCB，
则＝（）2＝，
而S△OBC＝S矩形AOCB＝2，
则S△OHQ＝2×＝＝k，
解得k＝，
∵点M是反比例函数上的点，
则S△AOM＝k＝，
而S△ABO＝S矩形AOCB＝2＝4S△AOM，
故AM＝AB，
设AM＝a，则BM＝3a＝OM，
则OA＝＝2a，
则S△AOM＝＝•AM•AO＝，
解得a＝（负值已舍去），
则OM=BM＝3AM＝，AM＝a＝，OA=2，
连接BN，作C′G⊥ON于G,
∵QO＝BQ,QM＝NQ,
∴四边形MONB是平行四边形，
∴ON＝BN＝OM,
∵OC′＝BC＝OA,
∴Rt△AOM≌Rt△CBN≌Rt△C′ON(HL),
∴S△C′ON＝S△AOM＝,ON＝OM＝,
∴ON•C′G＝,
∴C′G＝＝,
∴OG＝＝＝,
∴C′为，
故答案为，．
17．【正确答案】（1）
（2），
【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程．
（1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可；
（2）当时，，求解即可．
【详解】（1）解：∵函数是二次函数，
∴，，
∴，，
即；
（2）解：由（1）可得，该二次函数为，
当时，
∴，
解得：，．
18．【正确答案】（1）甲
（2）中位数为分，众数是28分
（3）乙队员表现更好
【分析】本题考查了数据的稳定性、中位数的计算及根据特定公式计算综合得分并进行比较．
（1）根据比赛得分统计图观察，波动幅度小的说明更稳定，所以得分更稳定的队员是甲；
（2）将甲的六次成绩按从小到大依次排序，由于总数为偶数个，所以选择第三、四个成绩进行平均数的计算即为该队员的中位数，再将出现次数最多的成绩找出即为该队员成绩的中位数；
（3）分别计算甲和乙的综合得分，再进行比较，综合得分高者即为表现最好的．
【详解】（1）解：从比赛得分统计图观察，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度，所以得分更稳定的队员是甲.
（2）解：把甲的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三个、第四个的成绩分别为27和28，
所以中位数为（分），
甲的六次成绩中28出现的次数最多，所以众数是28分．
（3）解：甲的综合得分为：（分），
乙的综合得分为：（分），
∵，
∴乙队员表现更好．
19．【正确答案】（1）
（2）在规定范围内，理由见详解
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，正确添加辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）解直角三角形得出，再由同角的余角相等即可得解；
（2）作于，则，由（1）可得：，解直角三角形得出，，从而即可得出此时手绢端点与舞者距离，结合题意判断即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，，
∴,
∴，
∵与手臂保持垂直，
∴，
∴；
（2）解：在规定范围内，理由如下：
如图，作于，则，
，
由（1）可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴此时手绢端点与舞者距离为，
∵安全距离范围为，
∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内．
20．【正确答案】（1）
（2）见详解
【分析】本题考查了垂径定理及推论、勾股定理、弧、弦的关系，关键是熟练应用知识点解题；
（1）设半径为，在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求解；
（2）根据弦、弧的关系可证．
【详解】（1）解：设半径为，
∵，是的直径，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵是的中点，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【正确答案】（1）
（2）；直线的解析式为
（3）或3
【分析】本题反比例函数，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及梯形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）结合图象即可写出不等式的解集；
（2）由与的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，由求出的长，即为C的横坐标，代入反比例解析式中求出的长，确定出C坐标，设直线解析式为，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线的解析式；
（3）根据题意画出线段，根据线段的长为，即可求n的值．
【详解】（1）解：根据图象可知：，
故，
不等式的解集为：；
（2）解：根据题意得，，
将A点坐标代入，
得：，
∴；
当时，，
∴，
将和分别代入，得：
，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）解：当时，点E的纵坐标为，点F的纵坐标为，依题意，
得：，
解得或．
经检验，或是原方程的解，
所以n的值为或3．
22．【正确答案】（1）
（2）①30°；②
（3）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键
（1）易得当时，P，O，C三点在一条直线上，则，，，，得出，最后根据即可解答；
（2）①根据切线的定义得出，再得出，推出，则．②过点C作于点H，于点K，则
，根据勾股定理得出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答；
（3）从滚动到滚动过程中始终与桌切，得出圆心O到桌面的距离总等于圆的半径，则从滚动到过程中，圆心O移动的距离为的长度的2倍，结合，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：当时，P，O，C三点在一条直线上，
∵直径，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①的度数．
∵半圆O与相切于点Q，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵半圆O的中点为点C，
∴，
∴．
②过点C作于点H，于点K，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴．
∴点C到桌面MN的距离为．
（3）解：从滚动到图2—图3）过程中，圆心O移动的距离为．
∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动，
∴滚动过程中始终与桌切，
∴圆心O到桌面的距离总等于圆的半径，
∴从滚动到过程中，圆心O移动的距离为的长度的2倍，
由（2）①知：，
∴圆心O移动的距离．
23．【正确答案】（1）10；或
（2）
（3）12
（4）的长为或，理由见详解
【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理得到，则，再根据勾股定理得到，②结合已知角的正弦值与旋转角的关系求解；
（2）通过证明，利用相似三角形的性质求的值；
（3）同（1）得，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，再证明是矩形，进而求出的长度；
（4）在纸片绕点旋转过程中，当三点能构成直角三角形时，且以为一直角边的直角三角形分2种情况，结合勾股定理求 的长．
【详解】（1）解：①在中，，
则，
②已知，当且为锐角时，，
当在内部时，旋转角，
当在外部时，旋转角。
（2）解：在和中，
∴，
，，
，
即，
由（1）知，，
，
∵，
，
∴，
，
∴，
故为；
（3）解：连接，延长交于点，连接交于，延长交于，如图，
同（2）得，
∴，
∵点为边的中点
∴是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
，
，
；
（4）解：三点能构成以为一直角边的直角三角形，理由如下，
①当时，是直角三角形，过点作于点，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，则，
∴；
②当时，是直角三角形，过点作于点，交于点，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
在中，由勾股定理可得，则，
解得，
∴，，
∴，
综上所述，的长为或．成绩分
人数人
队员
平均每场得分
平均每场篮板
平均每场失误
甲
26.5
8
2
乙
26
10
3