河北省廊坊市第四中学2025~2026学年八年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份河北省廊坊市第四中学2025~2026学年八年级上册12月月考数学试题【附解析】，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列式子从左到右的变形，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（ ）
A．小于零B．等于零C．大于零D．大小不确定
5．观察如图所示的尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．高线B．角平分线C．中线D．无法判断
6．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三条垂直平分线的交点
7．已知多项式因式分解后得到一个因式为，则m的值为（ ）
A．B．5C．D．6
8．若，，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．0
9．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．表格是张亮的答卷，他的得分应是（ ）
A．4分B．6分C．8分D．10分
11．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（ ）

A．方案一：√、方案二：√B．方案一：×、方案二：×
C．方案一：×、方案二：√D．方案一：√、方案二：×
12．如图，，，是直线上的三点，，，是直线外一点，且，，若动点从点出发，向点移动，移动到点停止，在形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等边三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
二、填空题
13．化简分式： ．
14．若分式的值为，则 ．
15．小明将等腰直角三角板放置到两堆砖块（砖块堆与地面垂直）之间，如图所示．若每块砖的厚度都为，则的长为 ．
16．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块．
三、解答题
17．分解因式：
（1）；
（2）．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．在平面直角坐标系中，．
（1）在图中作关于轴对称的；
（2）在（1）中，点是边上一点，其对应点为，则_____；
（3）如果要使以为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点不重合）
20．先化简，再求值：，其中x＝1，y＝－2．
21．如图，点分别在上，．
（1）求证：；
（2），，求的度数．
22．（1）探究规律：
；
_______，
．．．
（2）猜想规律：_______（表示十位上数字是，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）．
（3）请证明上述猜想．
（4）知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，也有类似的规律，请直接写出该规律．
23．如图所示，在中，作的平分线．
（1）下列操作中，作的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；
②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点；
③画射线，交于点．
（2）能说明的依据是_______（填序号）．
①；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等
（3）若，，，过点作于，求的长．
24．【探索】
（1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系是：________；
根据（1）的结论，若，则的值是_______．
【应用】
（2）如图3．是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，求的面积．
【拓展】
（3）利用5张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，直接写出之间的数量关系．
答案
1．【正确答案】B
【分析】此题考查了轴对称图形的识别，，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据轴对称图形的概念逐一判断即可．
【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选C．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选C．
4．【正确答案】A
【分析】根据三角形三边的关系可以得到，，即，，再根据求解即可．
【详解】解：∵a、b、c是三角形的边长，
∴，，
∴，，
∴，
故选A．
5．【正确答案】A
【分析】本题考查作图-基本作图．根据作图痕迹判断出线段是的高即可．
【详解】解：由作图可知，故线段是的高线．
故选A．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查了三角形特殊点(重心、内心、垂心、外心)的性质，解题的关键是理解 “游戏公平” 意味着凳子到 A、B、C 三点的距离相等，进而判断哪种特殊点到三角形三个顶点的距离相等．
先明确 “公平” 的本质：凳子位置到 A、B、C 三点距离相等；再分别回忆各选项特殊点的性质 —— 三边中线交点(重心)到顶点距离与到对边中点距离成；三条角平分线交点(内心)到三边距离相等；三边上高的交点(垂心)是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点(外心)到三个顶点距离相等，据此匹配符合条件的选项．
【详解】解：A、选项为三边中线的交点(重心)
重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
B、选项为三条角平分线的交点(内心)
内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
C、选项为三边上高的交点(垂心)
垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
D、选项为三条垂直平分线的交点(外心)
外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意；
故选D．
7．【正确答案】C
【分析】令，求出x的值，代入多项式计算求出m的值即可．
【详解】解：令，即
把代入多项式得：
解得
故选C．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，解分式方程，
将分式除法转化为乘法，化简后分析可能的取值即可．
【详解】解：由题，，，则
，
需满足 ，
令 ，解得 ，此时不符合条件，
令 ，解得 ，此时不符合条件，
令 ，解得 ，此时分母均非零，符合条件，
令 ，无解，此时不符合条件，
故选C．
9．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了零指数幂，积的乘方逆用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，分别计算a、b、c的值，然后比较大小即可．
【详解】解：∵，
∵
，
∵
，
，
，
∴, ，，
故．
故选B．
10．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的值为0，分式的化简，根据分式有意义得条件判断（1）；再根据分式的值等于0的条件判断（2）；然后根据不能分解，判断（3）；再根据当时没有意义判断（4）；最后根据化简得结果说明（5）．
【详解】解：当时，分式有意义，正确，所以（1）得2分；
当时，分式的值为0，正确，所以得2分；
因为时最简二次根式，不正确，所以得2分；
当时，无意义，不正确，所以不得分；
因为，不正确，所以不得分．
他的得分时6分．
故选B．
11．【正确答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定的条件．
方案一：由题意可知，是对应边，，进而求得，由判定两个小三角形全等，方案一：√；
方案二：由题意可知，，进而求得，所以其对应边应该是和，而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等，方案二：×；即可得解．
【详解】解：方案一：如图1所示，
，，，
，
是对应边，由判定两个小三角形全等，
故方案一：√；
方案二：如图2所示，
，，，
，所以其对应边应该是和，
而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等，
故方案二：×；
综上所述，方案一：√、方案二：×．
故选D．
12．【正确答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．点Q从点M出发，沿直线l向点N移动，移动到点N停止的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可判断．
【详解】解：当点Q移动到，此时点Q在点A的左侧，且，是等腰三角形；
当点Q移动到点A的右侧，且，是直角三角形；
当点Q移动到点A的右侧，且，是等边三角形；
当点Q移动到点A的右侧，且，是直角三角形；
∴在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形．
故选D．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了分式的化简．
通过约去分子和分母的公因式进行化简即可．
【详解】解：原分式为，
分子和分母的公因式为，
约分后得．
14．【正确答案】
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式的值为，
∴，
∴.
15．【正确答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义；利用即可证明，根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
∴，，
，
，
在中，，
，
在与中，
，
∴；
∵，，
，
，，
，
即的长度为．
16．【正确答案】；4
【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；
（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．
【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为.
（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为，若再加上（刚好是4个丙），则，则刚好能组成边长为的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是∶
（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）两个分式相乘，直接进行约分即可；
（2）首先对分子、分母分别进行因式分解，运用分式的除法法则把除法变为乘法，然后继续约分即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）4
（3）或或
【分析】本题考查坐标与图形．熟练掌握轴对称的画法，全等三角形的性质，是解题的关键．
（1）找到关于y轴的对称点，再进行连线，即可得到；
（2）利用关于轴对称求出、，直接进行计算即可；
（3）画出与全等的以B，C，D为顶点的三角形，根据图形确定点D的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：点关于轴对称点为，
所以,，
则.
（3）解：如图，共有3个以B，C，D为顶点的三角形与全等，
由图可知：；
∴以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点坐标为：或或．
20．【正确答案】；
【分析】根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式计算括号内的，然后根据多项式除以单项式进行计算化简，最后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：原式＝
，
当x＝1，y＝－2时，原式．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）直接根据“”就可证明；
（）由，则，然后由三角形的内角和定理求出，又，则，最后通过角度和差即可求解；
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（）得，
∴，
∴．
22．【正确答案】（1）；（2）；（3）见详解；（4）
【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分变化的规律是解题的关键．
（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．
（2）由（1）中的发现即可解决问题．
（3）对发现的等式进行证明即可．
（4）根据题意，直接写出规律即可．
【详解】（1）解：；
.
（2）解：根据前面的规律，得.
（3）证明：设
则
∵
∴ ，猜想得证
（4）解：有类似规律，；理由如下，
，
由，
故．
23．【正确答案】（1）②①③
（2）①
（3）5
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作角平分线；
（1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解；
（2）证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（3）根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）作的平分线的正确顺序是②①③
（2）解：能说明的依据是①；如图所示，连接，．
在和中，
，
故选①．
（3）解：如图所示，过点作于点．
，，，
．
，
即，
，
解得．
24．【正确答案】（1），12；（2）（3）
【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，整式的加减无关型问题，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）观察图1和图2即可表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将代入求解即可；
（2）设由题意得，， ，则，最后根据求解即可；
（3）根据长方形的面积得，结合不论的长为何值时，永远为定值，且，得到的值与无关，即，即可作答．
【详解】解：（1）通过观察图1可知图1中4个小长方形的面积为，
通过观察图2可知图2中4个长方形的面积为，
∵图1和图2的面积相等，由此可得；
∵，
根据题意得，
∴，
∴；
（2）设，
∵以为边向上分别作等腰 和等腰，
∴
∴， ，
∴，
∴，
∴；
（3）∵长方形的面积为，长方形的面积为，
∴，，
∴，
∵不论的长为何值时，永远为定值，且，
∴的值与无关，
∴，
∴与之间的数量关系为．
判断题（每题2分，共10分）
（1）当时，分式有意义（√）
（2）当时，分式的值为0（√）
（3）（×）
（4）（√）
（5）（√）