河北省沧州市2025~2026学年八年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份河北省沧州市2025~2026学年八年级上册12月月考数学试题【附解析】，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在等式中，“”所表示的代数式是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A．B．C．D．
4．若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（ ）
A．10B．3C．5D．7
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，点在线段上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A．B．7C．D．1
8．已知，，，那么a、b、c的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．如图，在中，AB=AC， ，点D为的中点，，垂足为E，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
11．如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为80，面积之和为180，则长方形的面积为（ ）
A．25B．5C．15D．10
12．如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（ ）．
A．1mB．C．D．
二、填空题
13．计算的结果是 ．
14．如图，在，，点是上一点，、分别是线段、的垂直平分线，则 ．
15．若a+b＝5，ab＝3，则a2﹣ab+b2＝ ．
16．如图，在中，，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连接，，若，，则 ．
三、解答题
17．如图，在正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；
（2）连接，直线l与线段的关系是 ；
（3）在直线上确定一点，使得最短（不写作法，保留作图痕迹）．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．如图，点为线段的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，平分，判断的形状，并说明理由．
20．已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．如图，在四边形中，，，于点．
（1）判断与的数量关系，并说明理由；
（2）求证：．
22．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为．
（1）当t为何值时，M、N两点重合？
（2）当点M、N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由．
23．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）；
（2）观察图②，写出代数式与之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：
①若，求的值；
②若，求的值．
24．【综合与实践题】
【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.
例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断之间的等量关系.
小颖的方法：如图②，延长的相交于点F，构造和等腰三角形（由即可判断）
【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是___________；
【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明.
【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，请直接写出的长.
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查幂运算：通过等式变形，利用同底数幂的除法运算法则求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
【解析过程简要分析】根据平方差公式的结构特征，逐一分析各选项的两个二项式是否满足 “一项相同，一项互为相反数”，判断能否用平方差公式计算。
【详解】解：A、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意；
B、，能用平方差公式进行计算，符合题意；
C、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意；
D、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意；
故选B．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断．
【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，
两角的夹边也可测量，为已知条件，
故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（），
故选B．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同类项的定义，代数式求值．根据单项式乘以单项式结合同类项的定义求出和的值，再代入到中计算即可求解．
【详解】解：单项式和单项式的积为
，
∵单项式和单项式的积与是同类项，
∴与是同类项，
∴，，
∴，，
∴．
故选D．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂除法，根据幂的运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A、，故本选项计算错误；
B、，故本选项计算错误；
C、，故本选项计算错误；
D、，故本选项计算正确．
故选D．
6．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和等边对等角可得的度数，再证明即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键．根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可．
【详解】解：，
与的乘积中不含的一次项，
，
，
故选D．
8．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算和幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则和幂的乘方法则可得，，，据此比较大小即可．
【详解】解：∵，，，且，
∴，
故选A．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
分三种情况：
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、；
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点；
当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、；
综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是，
故选C．
10．【正确答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质，熟练运用三线合一的性质是解题关键．
连接，利用等边对等角得，在中，得，在中，得，即可求出的长.
【详解】解：如图：连接，
，， 为的中点，
，平分，，
，
于，
，
，
在中，，，
，
在 中，，，
，
则．
故选C．
11．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，
先设，根据题意求出，再根据完全平方公式的变形得，然后整体代入求出答案.
【详解】解：设，根据题意，得
∴.
∵，
∴，
解得，
所以长方形的面积为.
故选B.
12．【正确答案】B
【分析】先判断是等腰三角形，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而由全等性质得到，再由等腰三角形性质得到即可得到答案．
【详解】解：在中，，则,
，
，解得，
，
则，
，
，
，
在和中，
，
，
在等腰中，，，则由等腰三角形性质可得，
故选B．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，积的乘方的逆用，将原式进行正确的变形是解题的关键．利用同底数幂乘法、积的乘方法则将原式变形后进行计算即可．
【详解】解：原式
．
14．【正确答案】/度
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据、分别是线段、的垂直平分线，得到，，由等腰三角形的性质得到，，根据三角形的内角和得到，根据平角的定义即可得到结论．
【详解】解：、分别是线段、的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
.
15．【正确答案】16
【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解．
【详解】解：∵a+b＝5，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝19，
∴a2﹣ab+b2＝16
故答案为16
16．【正确答案】58
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据等腰三角形的三线合一可得，再求出，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
17．【正确答案】（1）见详解；
（2）垂直平分；
（3）见详解．
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还考查了轴对称的性质，以及利用轴对称确定最短路线．
（1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线；
（3）根据轴对称确定最短路线，连接，与对称轴的交点即为所求点．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）线段被直线垂直平分．
故垂直平分；
（3）连接交直线于点，则点即为所求点．
理由：∵点关于直线的对称点，
∴，
∴，
∴此时最短．
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据多项式乘以多项式的法则进行展开，再合并同类项即可；
（2）先计算同底数幂相乘、积的乘方和幂的乘方，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）等边三角形，见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明得出，即可得证；
（2）由（1）可知：，由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理求出，即可得解．
【详解】（1）证明：为线段的中点，
，
在和中，
，
，
，
∴；
（2）解：是等边三角形．
理由：由（1）可知：，
，
，
，
平分，
，
在中，，
，
是等边三角形．
20．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法及乘方的运算法则．
（1）根据同底数幂乘法法则，将变形，代入已知条件求值即可；
（2）根据同底数幂的乘方和除法法则，将变形，代入已知条件求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
21．【正确答案】（1）；
（2）见详解．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．
根据三角形内角和定理，可得：，根据等边对等角可知，所以可得，又因为，可得；
过点作，由可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据等腰三角形的三线合一定理可知．
【详解】（1）解：，
理由如下：
在中，，
，
，
，
，
；
（2）证明：如下图所示，过点作，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
22．【正确答案】（1）当时，点M与点N重合
（2）存在，此时M，N运动的时间为
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及动点问题的分类讨论与时间范围分析．
（1）先确定运动时间的范围，再分析“重合”时的路程关系，最后确定重合位置；
（2）先明确“M，N在上”的时间范围，再分析“以为底边的等腰”的条件，最后用“路程”表示和，列出方程求解．
【详解】（1）解：点N运动到点B用时为，
当时，点M在上，点N在上，M与N不可能重合，
当时，点M，N均在上，令，
解得，此时M，N两点重合，且与点C重合，
当时，点M，N在上，且点N始终在点M的前面，不可能重合，
综上，当时，点M与点N重合．
（2）解：如图，点M，N在上，连接，，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
当点M，N在边上运动时，，．
∵，
∴，解得，
∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰，此时M，N运动的时间为．
23．【正确答案】（1）
（2）
（3）①；②
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键：
（1）直接根据图形列出代数式即可；
（2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果；
（3）利用（2）中结论进行作答即可．
【详解】（1）解：由图②可知：小正方形的边长为；
故；
（2）由图②可知，小正方形的面积可以表示为和；
故；
（3）①由（2）得：，
，
；
②，
．
24．【正确答案】（1），见详解；（2）见详解；（3）3.4
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质．
（1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系；
（2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论；
（3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案．
【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下：
如图，延长、相交于点F，
，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）延长至点H，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
（对顶角相等），
，
，
；
（3）延长、相交于点，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，，
，
，
因此，的长为3.4．