2025-2026学年山西省太原市阳曲县龙城双语中学九年级（上）期末数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年山西省太原市阳曲县龙城双语中学九年级（上）期末数学试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.平面直角坐标系内一点P（-2，5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （5，2）B. （-2，-5）C. （2，-5）D. （2，5）
2.若一元二次方程x2+5x+m=0没有实数根，则m的值可以是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.已知二次函数y=-3（x-1）2-3，下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的对称轴为直线x=-1B. 抛物线的顶点坐标为（1，3）
C. 函数的最大值是-3D. 函数的最小值是-3
4.如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于4，则k的值等于（ ）
A. 8
B. -8
C. 4
D. -4
5.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点A～H代表八个方位，如图，BH与DG交于点P，则点P位于点D的（ ）
A. 南偏西75°方向B. 北偏东75°方向C. 南偏西67.5°方向D. 北偏东67.5°方向
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.设x1，x2是一元二次方程x2-2x-5=0的两个根，则x1+x2-x1x2= .
8.抛物线y=-（x+3）2+7与y轴的交点坐标是 .
9.如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦AB的长为8cm,弧AB液体的深度CD=2cm,则球的半径为 cm.
10.圆锥的底面半径为3cm,侧面积为12πcm2，则这个圆锥的母线长为______cm.
11.如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为10cm,为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可估计黑色部分的面积为 cm2.
12.已知点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 .
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
解下列方程：
（1）（2x-5）2=16；
（2）x（x+6）=-5（x+6）.
14.(本小题6分)
为了振兴乡村经济，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品.八月份销售蜂蜜400瓶，九、十两月这种蜂蜜销售量持续增加，十月份的销售量达到576瓶.
（1）设九、十两月的销售量的月平均增长率x,九月份销售量为______，十月份销售量为______；（均用含x的式子表示）
（2）列方程求九、十两个月的销售量月平均增长率.
15.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形.线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE.
（1）求证：AE=BD；
（2）若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长.
16.(本小题6分)
为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放．一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投对的概率．
17.(本小题6分)
如图，在3×3的网格中，线段AB的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图.
（1）在图1中作点Q，使得AQ=BQ；
（2）在图2线段AB上作点P，使得AP：BP=2：1.
18.(本小题8分)
笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化，已知波长λ与频率f之间存在一定的关系，下面是它们的部分对应值：
（1）用式子表示波长λ与频率的关系，这两个量成什么比例关系？
（2）当f=75MHz时，求此电磁波的波长λ.
19.(本小题8分)
如图，AC是四边形ABCD外接圆O的直径，AB=BC，∠DAC=30°，延长AC到E使得CE=CD，作射线ED交BO的延长线与F，BF交AD与G.
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AO=2，求△FGD的周长.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，.
（1）求证：DF∥BE；
（2）如果AF=3，EF=6，S△ADF=4.求△ABC的面积.
21.(本小题9分)
综合与实践
近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境.图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米.
（1）求该抛物线的函数解析式.
（2）现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点P离地面约2.36米.请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方.
（3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架.如图3，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在AB中点处取点D，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD，直接写出第二段钢架CD的长.
22.(本小题9分)
如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D
（1）如图①，求证：∠B=∠C；
（2）如图②，点E在弧AC上，连接AE，CE，，求证：∠CAE=2∠ACE；
（3）如图②，在（2）的条件下，若AE=5，AB=13，求E到AC的距离.
23.(本小题12分)
【问题背景】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是BD上一点，连接CE，F为射线AB上一点（不与射线端点A重合），且∠AFE=∠BCE．求证：CE=EF且CE⊥EF；
【类比探究】
（2）如图2，将（1）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变，若BC=4，CD=3．探究线段CE与EF之间的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥BD交BC于点H，延长FE交AD边于点G，若△CDE是等腰三角形，直接写出的值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】7
8.【答案】（0，-2）
9.【答案】5
10.【答案】4
11.【答案】65
12.【答案】5或或
13.【答案】， x1=-6，x2=-5
14.【答案】400（1+x），400（1+x）2；
20%．
15.【答案】（1）证明：由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD．
（2）连接DE，

由（1）的结论知AE=BD，
∵BD=5，
∴AE=5，
由旋转可知∠DCE=60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∵∠ADC=30°
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
在Rt△ADE中，，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=DE=4
16.【答案】解：三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：
由树状图可知随机投入三类垃圾桶共有6种等可能结果，其中三袋垃圾都投对的只有1种结果，
∴三袋垃圾都投对的概率为．
17.【答案】解：（1）如图1，点Q'，Q''均满足题意．
（2）如图2，取格点M，N，使AN：BM=2：1，且AN∥BM，连接MN，交AB于点P，
则△APN∽△BPM，
可得AP：BP=AN：BM=2：1，
则点P即为所求．

18.【答案】fλ=300，这两个量成反比例关系；
此电磁波的波长λ为4m
19.【答案】（1）证明：如图，连接OD，

∵OC=OD，∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ODE=∠ODC+∠CDE=90°，
又∵OD是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=BC，AO=CO，
∴BO⊥AC，
∴∠AOG=∠EOF=90°，
∵∠DAC=∠E=30°，
∴∠AGO=∠F=60°，
∴∠F=∠FGD=60°，
∴△FGD是等边三角形，
∴FD=DG=FG，
∵AO=2，∠DAC=30°，∠ADC=∠AOG=90°，
∴AC=4，DC=AC=2，AD=DC=2，AG=2OG，AO=OG，
∴OG=，AG=，
∴DG=，
∴△FGD的周长=3×DG=2．
20.【答案】∵，
∴，
∴，即；∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADF∽△ABE，
∴∠ADF=∠ABE，
∴DF∥BE 108
21.【答案】（1） （2）不可以；设点P（x，2.36），
，
解得x1=1.2，x2=10.8，
∴1.2+5＞6，
所以这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方 （3）
22.【答案】∵AO延长交BC于点D，AD⊥BC于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C 如图②，点E在弧AC上，，连接BE，设∠ACE=α，则∠ACB=3α，

∴∠ABC=∠ACB=3α，
∵∠ABE=∠ACE=α，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=3α-α=2α，
∴∠CAE=∠CBE=2α=2∠ACE 3
23.【答案】（1）证明：如下图，过点E作EH⊥BC于点H，作EQ⊥AB于Q，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∴EQ=EH，
在△FQE和△CHE中，
，
∴△FQE≌△CHE（AAS），
∴EF=EC，∠QEF=∠CEH，
∴∠CEF=∠CEH+∠FEH=∠QEF+∠FEH=∠QEH=90°，
∴CE⊥EF；
（2）解：EF：EC=4：3且CE⊥EF，理由如下：
如图，过点E作EH⊥BC于点H，作EQ⊥AB于Q，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，∠BCD=90°，
∴四边形BHEQ为矩形，
∴∠QEH=90°，QE=BH，
∵∠FQE=∠CHE=90°，∠AFE=∠BCE，
∴△QEF∽△HEC，
∴∠QEF=∠HEC，，
∴∠CEF=∠CEH+∠FEH=∠QEF+∠FEH=∠QEH=90°，
∴CE⊥EF，
∵EH∥CD，
∴，
∵CD=3，BC=4，
∴，
∴，
∴EF：EC=4：3；
（3）解：若△CDE是等腰三角形，则分以下三种情况：
①当CD=DE=3时，
∵BD===5，
∴BE=BD-DE=5-3=2，
∵EH⊥BD，
∴∠BEH=∠CEF=90°，
∴∠BEF=∠CEH，
∵∠AFE=∠BCE，
∴△BEF∽△HEC，
∴，
∴EH===，
∴BH===，
∴CH=BC-BH=4-=，
∴BF===2，
设BC与FG交于点M，

∵BC∥AD，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴，，
∴，
∴GD=AD=×4=，
∴CG===，
∴；
②当CE=CD=3时，过点C作CP⊥BD于点P，

∴DP=EP，
∵sin∠BDC==，
∴，
∴CP=，
∴DP=EP==，
∴BE=BD-DP-EP=5--=，
同①可得，
∴EH===，
∴BP==，
∴CP=4-=，
∴BF===3，=，
∴=，
∴DG==，
∴CG==，
∴=；
③当DE=EC时，过点E作EQ⊥CD于点Q，

∴CQ=DQ，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴GD∥EH∥BC，
∴EQ是△BDC的中位线，∠ADB=∠CBD，
∴DE=BE=，
∵tan∠DBC=，
∴EH==，
在△MBE和△GDE中，
，
∴△MBE≌△GDE（ASA），
∴EM=GM，BM=GD，
∵∠CEF=90°，
∴CE垂直平分MG，
∴CM=CG，
设CG=CM=x，则BM=GD=4-x，
∵DG2+CD2=CG2，
∴（4-x）2+32=x2，
解得x=，
∴=，
综上，的值为或或． 频率f/MHz
10
15
50
波长λ/m
30
20
6