广东省广州市海珠区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省广州市海珠区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共29页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或答字符は与自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用铅笔把对应号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂里，如雪鸡动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用铅笔画图签案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案．然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题4分，满分40分）
1. 如图，在中，，，则的外角的度数是（ ）
A. B. C. D.
2. 据研究，甲型流感病毒一般呈球状或丝状，其中球状甲型流感病毒的直径大约为米，该直径用科学记数法表示为（ ）米．
A. B. C. D.
3. 若三角形三边的长分别是，，，则的取值不可能是（ ）
A. 5B. 7C. 9D. 11
4. 如图，若，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，点是的中点，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则（ ）
A. 36B. 68C. 84D. 100
8. 如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 若是完全平方式，则的值为（）
A B. C. D.
10. 如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，满分24分）
11. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________．
12. 点关于轴对称的点的坐标为________．
13. 因式分解：__________．
14. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，的面积为24，则________．
15. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为_______．
16. 若，则值为_________．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17. （1）计算：．
（2）因式分解：．
18. 如图，已知点在同一直线上，．求证：
19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，三点都在格点上．
（1）画出关于轴对称的，点的对应点分别为；
（2）点的坐标为_____________________；
（3）的面积为___________________．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 某文化科技有限公司为了配合“活力大湾区”宣传活动，共推出和两款文创产品，已知每个产品成本比每个产品的成本便宜18元，该公司用24000元制作产品的数量和用60000元制作的产品数量相同．求生产产品的成本为每个多少元？
22 对于任意有理数，定义一种新运算例如，先化简，再求值，其中满足方程．
23. 如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作，与的延长线交于点，与的延长线交于点．
（1）与的数量关系为___________．
（2）尺规作图：在边上截取，过点作，垂足．
（3）在（2）的条件下，在上截取，连接，求证：．
24. 在中，为的延长线上一点，为线段的垂直平分线的交点，连接．
（1）如图1，的长为___________．
（2）如图2，连接，请判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，过点作直线，使得，为直线上的一个动点，求的最大值．
25. 【阅读材料】如果三个实数、、使得关于的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对是该组方程的一个“的伴生数对”．例如：取，，，分式方程的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一个“的伴生数对”；又如：取，分式方程的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一个“的伴生数对”．
【解决问题】
（1）下列实数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”的有___________（填序号）；
① ② ③
（2）若实数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”，求的值；
（3）若整数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”，且满足（为整数），求整数的值．
2025学年第一学期质量监测
八年级数学
试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120小题．120分钟，不可使用计算器．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或答字符は与自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用铅笔把对应号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂里，如雪鸡动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用铅笔画图签案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案．然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题4分，满分40分）
1. 如图，在中，，，则的外角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形外角的定义及性质，解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．据此解答即可．
【详解】解：∵在中，，，
又∵是的外角，
∴，
即的外角的度数是．
故选：B．
2. 据研究，甲型流感病毒一般呈球状或丝状，其中球状甲型流感病毒的直径大约为米，该直径用科学记数法表示为（ ）米．
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可．
【详解】解：球状甲型流感病毒直径大约为米，该直径用科学记数法表示为米．
故选：A．
3. 若三角形三边的长分别是，，，则的取值不可能是（ ）
A. 5B. 7C. 9D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系定理，即可得出的取值范围．
【详解】解：三角形三边长分别为，，，
需满足：，
的取值范围为，
故选：D．
4. 如图，若，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形性质即可得到结论．
【详解】解：，
，，，，
故A，B，D选项错误，C选项正确，
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，底数相同，指数也相同，合并同类项时，字母及指数不变，系数相加或相减，由此即可求解．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故选：B．
6. 如图，在中，，点是的中点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再由等腰三角形“三线合一”的性质可得，然后由求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
故选：C．
7. 若，则（ ）
A. 36B. 68C. 84D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
由可得，结合，利用完全平方公式求即可．
【详解】解：∵，
∴．
又∵，
∴
．
故选B．
8. 如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比．
延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可．
【详解】解：延长交于，如图，
设．
∵是的重心，
∴是中线，
∴D是中点，则和等底同高，
∴．
∴．
∵是中点，
∴
．
∵，
∴
，
又∵是中点，和等底同高，
∴
∴
解得，
在中，
解得，
∴
，
∴．
故选A．
9. 若是完全平方式，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特点是解答的关键．根据完全平方式的定义，表达式应满足即可求解．
【详解】解：是完全平方式，
，
这个完全平方式为：或，
，
故选：D．
10. 如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于点、交的延长线于点，证明得，再结合直角三角形两锐角互余可求解．
【详解】解：过点作于点、交的延长线于点，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
，
即一定等于．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，满分24分）
11. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握该条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不等于零，据此即可求得答案．
【详解】解：分式 有意义，
，
解得：，
故答案为：．
12. 点关于轴对称的点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据关于轴对称点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，求解即可．
【详解】解：∵点关于轴对称，横坐标变为相反数，即，纵坐标不变，为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
13. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．观察表达式，发现两项都含有公因式，因此直接提取公因式进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，的面积为24，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理等知识，过点作于点，首先利用三角形面积公式解得的长度，再根据角平分线的性质定理即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作于点，
∵的面积为24，，
∴，即，
∴，
由作图可知，平分，
又∵，，
∴．
故答案为：4．
15. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为_______．
【答案】31
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，，即可得出，则的周长，即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，，
∵的周长是，
∴，
∴的周长为．
故答案为：31．
16. 若，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握相关知识是解题的关键．由已知条件，推导出，再将所求和的指数进行分组，前项可分为组，每组和为，最后剩余项的值为，因此总和为．
【详解】解：因为，
两边同时乘以得，
所以，即，
所求和为，共项，
由于，因此对于任意整数，，
组余项，可将前项可分为组，每组5个连续项，其和为，
故前项之和为，
剩余项为，由于，，
故整个和为，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17. （1）计算：．
（2）因式分解：．
【答案】
（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数幂、零次幂、因式分解，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先计算负整数幂、零次幂，再计算加减即可；
（2）通过提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18. 如图，已知点在同一直线上，．求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可证明．
【详解】证明：∵点在同一直线上，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，三点都在格点上．
（1）画出关于轴对称的，点的对应点分别为；
（2）点的坐标为_____________________；
（3）的面积为___________________．
【答案】（1）作图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图—轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据（1）的作图结果即可得出的坐标；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的两个三角形面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所作；
【小问2详解】
如上图所示，的坐标为，
故答案为：；
【小问3详解】
∵，
∴的面积为，
故答案为：．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算（多项式除以单项式、平方差公式）及代数式求值，解题的关键是正确运用运算法则化简代数式．
先对多项式除以单项式展开运算，再用平方差公式展开另一部分，合并同类项化简代数式，最后代入、的值计算．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式．
答：化简结果为，代数式的值为．
21. 某文化科技有限公司为了配合“活力大湾区”宣传活动，共推出和两款文创产品，已知每个产品的成本比每个产品的成本便宜18元，该公司用24000元制作产品的数量和用60000元制作的产品数量相同．求生产产品的成本为每个多少元？
【答案】
12
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设产品的成本为每个元，则每个产品的成本元，根据用24000元制作产品的数量和用60000元制作的产品数量相同，列分式方程求解即可．
【详解】解：设生产产品的成本为每个元，则每个产品的成本元，
根据题意可得：，
解方程得：，
经检验，是分式方程的解，
∴，
答：每个产品的成本12元．
22. 对于任意有理数，定义一种新运算例如，先化简，再求值，其中满足方程．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．
先根据新定义得到，然后化简，再解方程，将求出的值代入化简后的代数式求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
，
解得
∴原式
23. 如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作，与的延长线交于点，与的延长线交于点．
（1）与的数量关系为___________．
（2）尺规作图：在边上截取，过点作，垂足为．
（3）在（2）的条件下，在上截取，连接，求证：．
【答案】（1）
（2）作图见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得，再根据等角对等边可得结论；
（2）以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点、，然后分别以点、为圆心，以大于为半径在左侧各画一条弧交于点，再作直线即可；
（3）分两种情况：当点在点的右侧；当点在点的左侧，分别画图，根据全等三角形的判定进行证明即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
∴，
∴，
即与的数量关系为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意作图，如图所示：
【小问3详解】
证明：当点在点的右侧，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
当点在点的左侧，如图，
由前面过程可知：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
综上所述，．
【点睛】本题考查尺规作图（作一条线段等于已知线段，过一点作已知直线的垂线），等角对等边，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识点，掌握尺规作图、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24. 在中，为的延长线上一点，为线段的垂直平分线的交点，连接．
（1）如图1，的长为___________．
（2）如图2，连接，请判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，过点作直线，使得，为直线上的一个动点，求的最大值．
【答案】（1）4 （2）为等边三角形，理由见解析
（3）的最大值为4
【解析】
【分析】（1）利用含的直角三角形的性质求解即可；
（2）利用线段的垂直平分线的性质证明，再利用三角形内角和定理和四边形内角和定理求出，进而即可推出为等边三角形；
（3）作点关于直线的对称点，连接．当点在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，进而即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，
∴，
∴，
故答案为：4；
【小问2详解】
解：为等边三角形，理由如下，
点为线段的垂直平分线的交点，
，
．
，
，
，
，
，
又∵，
为等边三角形；
【小问3详解】
解：连接，由（2）得，为等边三角形，
，，
如图，作点关于直线的对称点，连接．
，
，则点在的延长线上时，的值最大，此时．
，，
，
．
，
，
，
，
．
，
是等边三角形，
，，
．
，
．
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质和含的直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
25. 【阅读材料】如果三个实数、、使得关于的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对是该组方程的一个“的伴生数对”．例如：取，，，分式方程的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一个“的伴生数对”；又如：取，分式方程的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一个“的伴生数对”．
【解决问题】
（1）下列实数对是关于分式方程和分式方程的“的伴生数对”的有___________（填序号）；
① ② ③
（2）若实数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”，求的值；
（3）若整数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”，且满足（为整数），求整数的值．
【答案】（1）① （2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解、新定义下的实数运算、因式分解与构建二元一次方程组求解，根据“伴生数对” 的定义推导出的关系式是解题的关键．
（1）分别求出两个分式方程的解，根据“伴生数对”定义得出这两个解乘积为，整理得，代入后逐一验证即可；
（2）“的伴生数对”代入，得到关于的方程并求解即可；
（3）先由“伴生数对”定义得到，代入，再转化为平方差形式，最后通过整数因数分解求解整数．
【小问1详解】
解：解方程得，解方程得，
∵是该组方程的一个“的伴生数对”， 则两个分式方程的解互为倒数，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
①∵，
∴是“的伴生数对”；
②∵，
∴不是“的伴生数对”；
③∵，
∴不是“的伴生数对”；
故答案为：①；
小问2详解】
解：∵是 “的伴生数对”，
∴，
解得或；
【小问3详解】
解：是“的伴生数对”，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的整数因数对为，，，，
∴分为以下四种情况讨论：
①，解得；
②，解得；
③，解得；
④，解得；
综上，整数的值为或．