广东省广州市白云区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

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1．答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用 铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在问卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本问卷和答题卡一并交回．
第一部分选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列新能源汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
根据轴对称图形的定义，逐项判定即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．根据同底数幂乘法的运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
3. 钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（ ）平方公里．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里，
故选：B．
4. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等．
【详解】解：由题意知，，
在和中，
，
．
故选：C
5. 如图，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A．
6. 解分式方程时，将方程两边同时乘以同一个整式，会得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
【详解】解：
方程两边同时乘以：，
∴方程两边同时乘以同一个整式为，
故选：．
7. 如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ）
A. 14B. 16C. 13D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形铁框的组合方法是解答的关键．若两个顶点的距离最大，则此时这个铁框的形状变化为三角形，可根据三条钢条的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】解：已知、、、，
选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，能构成三角形，此时两个顶点的距离最大为；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，构成三角形，此时两个顶点的距离最大为；
故选：C．
8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键．设规定时间为天，根据速度路程时间列分式方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，
则可列方程为，
故选：A
9. 如图，在中，和的外角平分线交于点于点．若的面积为10，的面积为7，，则的周长为（ ）
A. 8B. 10C. 11D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．连接，过点作于点，于点，由角平分线的性质，得到，进而得出，再根据，求出，即可求出的周长．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点，
和的外角平分线交于点，且，
，
的面积为7，
，
，
的面积为10，
，
，
，
，即的周长为12，
故选：D．
10. 如图，中，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且为等腰三角形，则的度数为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，根据等边对等角的性质，结合平角的定义求解即可．
【详解】解：中，，
，
由折叠的性质可知，，
分三种情况讨论：
①当时，，
，，
，
；
②当时，，
，
，
；
③当时，，
，
此种情况不成立；
综上可知，的度数为或，
故选：B．
第二部分非选择题
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 分解因式：4a2b-4b=______．
【答案】
【解析】
【详解】.
12. 方程的解为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
经检验，时，，
原分式方程的解为，
故答案为：．
13. 如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，那么的长是________米．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案．
【详解】解：根据题意，米，
，
，
∴为等边三角形，
米，
故答案为：．
14. 如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为___________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，折叠的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角形内角和定理和角平分线的定义，可推出，由折叠的性质可知，，，进而得出，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，，
，
故答案为：
15. 以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．令，，根据题意得到，，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：令，，
长方形的四条边为边向外作四个正方形，四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，
，，
，，
，
故答案为：6．
16. 如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可．
【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，
，是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
当C，P，三点共线，且时，值最小，即为的值，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 因式分解：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了异分母减法，掌握分式运算法则是解题关键．先通分，再约分即可．
【详解】解：
．
19. 如图，且，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，由平行线的性质可得，再利用证明即可．
【详解】证明：∵，
，
在和中，
∴．
20. 如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
（1）在图中作，使和关于轴对称；
（2）写出点的坐标；
（3）点是轴上一动点，则的是否存在最小值？若存在，请写出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）存在，5．
【解析】
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据（1）中画出的图形写出坐标即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示；
【小问2详解】
解：由图可得：；
【小问3详解】
解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求，此时最小，为，
由勾股定理可得：．
21. 如图，点E在△ABC的外部，点D边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2，AE=AC，BC=DE，
（1）求证：AB=AD；
（2）若∠1=60°，判断△ABD的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）△ABD是等边三角形．理由见解析.
【解析】
详解】分析：
（1）由∠1=∠2结合∠AFE=∠DFC可得∠E=∠C，这样结合AE=AC，BC=DE即可证得△ABC≌△ADE，由此即可得到AB=AD；
（2）由∠1=∠2=60°可得∠BDE=120°，由△ABC≌△ADE可得∠B=∠ADE，AB=AD，进而可得∠B=∠ADB=∠ADE，由此即可得到∠ADB=∠BDE=60°，这样结合AB=AD即可得到△ABD是等边三角形.
详解：
（1）∵∠1+∠AFE+∠E=180°，∠2+∠CFD+∠C=180°，∠1=∠2，∠AFE=∠CFD，
∴∠E=∠C，
∵AC=AE，∠C=∠E，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE，
∴AB=AD．
（2）△ABD是等边三角形．理由如下：
∵∠1=∠2=60°，
∴∠BDE=180°﹣∠2=120°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE，AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∴∠ADB=∠ADE，
∴∠ADB=∠BDE=60°，
∴△ABD是等边三角形．
点睛：（1）解第1小题的关键是：由∠1=∠2结合∠AFE=∠DFC得到∠E=∠C；（2）解第2小题的关键是：由第1小题所得的△ABC≌△ADE证得∠B=∠ADB=∠ADE.
22. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．
（1）求证：是线段的垂直平分线；
（2）若对角线，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质：
（1）证明全等得到，，即可证明；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，再根据，，即可求解．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
，
，，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线；
【小问2详解】
解：由（1）知是线段的垂直平分线，
，，
，，
四边形的面积
．
23. A、B两地相距160千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速前行至B、A两地，若乙车的速度是甲车速度的倍，乙车比甲车早到24分钟，求甲车的速度．
【答案】甲车速度为80千米/时.
【解析】
【分析】设甲车速度为x千米/时，则乙车的速度是x千米/时，根据“乙车比甲车早到24分钟”列出方程并解答．
【详解】设甲车速度为x千米/时，则乙车的速度是x千米/时，
依题意得：，
解得：x=80．
经检验：x=80是原方程的解．
答：甲车速度为80千米/时.
【点睛】考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
24. 如图，在中．
（1）尺规作图，过点作，垂足为，在的延长线上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件之下，若，且，试判断的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；
（2）是等边三角形，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据垂线的作法画出，再在的延长线上截取，连接即可；
（2）由题意可知垂直平分，得到，再根据等边对等角和三角形外角的定义，得出，从而得到，推出，即可判断的形状．
【小问1详解】
解：如图即为所求作；
【小问2详解】
解：是等边三角形，证明如下：
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查了基本作图——作垂线和线段，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的定义，直角三角形的性质，等边三角形的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键．
25. 如图，在中，，
（1）求度数．
（2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由．
（3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存，；
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；
（2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解；
（3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解．
【小问1详解】
解：取的中点，连接、，则，
，
，，
是等边三角形
∴，
又，
∴，
．
【小问2详解】
解：∵到点的距离等于，
∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．
当线段上时，线段最小，
由（1）可得，
∴，
即线段长度最小值为
【小问3详解】
解：存在．
作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求．
，
则，
当、、共线时，的值最小，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴
∴，即的最小值为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．