2026年上海市黄浦区中考一模九年级（上）数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分，考试时间：100分钟）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1. 在比例尺为的地图中，某广场的面积约为20平方分米，那么这个广场的实际面积约为（ ）
A. 400平方米B. 4000平方米C. 8000平方米D. 80000平方米
2. 已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（ ）
A. 2B. C. D.
3. 已知直角坐标平面内点，，记向量，，如果，那么点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，抛物线经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
6. 如图，、是边、上的两点，在下列条件中，能够判定的是（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分）【各题答案，请填写在答题纸的相应题号位置中．】
7. 已知：，，那么________．
8. 我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________．
9. 如图，在中，，，，、是边、上的点，且，将沿翻折至，与交于点．如果的面积是面积的，那么线段的长是______．
10. 已知一个斜坡的坡比是，如果某人从坡底沿这个斜坡走了米到达坡顶，那么坡底与坡顶间的垂直距离是________．（用的代数式表示）
11. 如图，正方形中，、分别为边、的中点，与交于点．设，，那么________．（用向量、表示）
12. 已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________．
13. 已知是锐角，且，那么的值为________．
14. 如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是________．
15. 如图，在中，，，，那么边的长是________．
16. 对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是________．
三、解答题：（本大题共7题，满分86分）
17 计算：．
18. 已知抛物线经过点和．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况．
19. 如图，在梯形中，，，．
（1）求证：；
（2）求的值．
20. 如图，在中，，是中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点．
（1）如果，求证：；
（2）过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：．
21. 已知二次函数的图像经过点、．
（1）试用字母的代数式表示；
（2）如果二次函数图像上存在点，使得直线垂直平分线段，求此二次函数的解析式；
（3）试问：二次函数图像的对称轴是否可能平分线段？如果能，请求出此时二次函数的解析式；如果不能，请说明理由．
22. 在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）．
场景1：如图1-2，当遇到转角为直角地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处；
场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处．
在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线．
（1）在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________；
（2）在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值；
（3）小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案：
请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由．
23. 如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N．
（1）求证：；
（2）连接，如果，求的值；
（3）如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积．步骤
示意图
1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止；
2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置；
3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线．