江苏省淮北中学、泗阳县海门实验中学2025_2026学年高一上学期1月检测数学试卷（含解析）

这是一份江苏省淮北中学、泗阳县海门实验中学2025_2026学年高一上学期1月检测数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据交集的定义进行求解即可.
【详解】因为集合，
所以.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据全称命题的否定要求，改变量词，否定结论即得.
【详解】命题“”的否定为“”.
故选：B.
3. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
【正确答案】A
【分析】根据题目条件得到函数定义域为，代入，得到函数为奇函数，判断函数为定义域上增函数，再结合题目条件正数满足得到，代入目标函数使用基本不等式求出最小值.
【详解】已知，定义域为，
，故是奇函数，
令，则，因随增大而增大，
且随增大而增大，故在上单调递增，
由条件得：，利用奇函数性质，于是，
由于单调递增，必有，即，
已知，求的最小值：
由基本不等式，，当且仅当时等号成立，故，
当时，，符合条件，故最小值为.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据对数的概念及指数幂的运算求解判断即可.
【详解】因为，所以．
故选：A．
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】判断函数的奇偶性可排除D，由时可排除C，由时可排除A，从而可得结果.
【详解】，
为奇函数，图象关于原点对称，故排除D，
又时，，故排除C，
当时，，故排除A.
故选：B.
6. 已知函数，且，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. D. 0或1
【正确答案】B
【分析】根据分段函数解析式求出的值，再代入计算可得.
【详解】因为且，
所以或，
解得或，
当时，；
当时，；
综上可得的值为.
故选：B
7. 设函数，若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据单调性可求出，再根据题意得函数关于点对称，关于直线对称，得到等式组，通过作差分析可得，最后检验即可.
【详解】若在区间上具有单调性,则，
则的图象关于点对称,的图象关于直线对称,
①，
且，②
两式相减,可得,又因为，故.
当时,则结合和①式可得，.
所以.
故它的最小正周期为，
故选：B.
8. 已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.
【详解】函数，向右平移个单位长度，得，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，
令，
得，
所以，
若函数在上没有零点，
则需，
所以，
所以，
若函数在上有零点，
则，
当k=0时，得，解得，
当k=1时，得，解得，
综上：函数在上有零点时，或，
所以函数在上没有零点，.
所以的取值范围是.
故选：A
本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.
二、多选题（共18分）
9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】ACD
【分析】利用不等式的性质判断AB选项，利用基本不等式判断CD选项.
【详解】对于A，当时，有，A选项正确；
对于B，当时，有，B选项错误；
对于C，若，则，
当且仅当时等号成立，C选项正确；
对于D，， ，
则，
当且仅当时等号成立，D选项正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，若有3个不等实根，，，且，则（ ）
A. 的单调递增区间为，B. 的取值范围是
C. 的取值范围是D. 方程有5个根
【正确答案】ACD
【分析】作出函数的草图，数形结合，可逐项判断真假.
【详解】作函数草图如下：
由图可知：的单调递增区间为，，故A正确；
有3个不等实根，则，故B错误；
因为，由；由.
所以，所以的取值范围是，故C正确；
由，且，所以；
由.
所以，由或.
因为方程有3个不同实根，方程有2个不同的实根，且两方程的根互不相同，所以方程有5个不同实根，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. ，
B. 的最小正周期是
C. 的对称中心，
D. 若方程在上有且只有个根，则
【正确答案】ACD
【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，利用函数周期性的定义可判断；对于C，利用正弦型函数的对称性可判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D．
【详解】对A，由图分析可知：，，得，或，
因为，所以，
由，得，即，
又，所以，
又，
所以，即得，，
又，所以，所以，故A正确；
对B，，
因为，
，
故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数的最小正周期为，故B错误；
对C，，
由可得，
因此，函数的对称中心为，故C正确；
对D，由，得，
因为，所以，
令、、、、、，
解得、、、、、．
又在上有个根，则根从小到大为、、、、、．
再令，解得，则第个根为，，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题（共15分）
12. =________________.
【正确答案】
【分析】根据指数和对数的运算法则化简即可.
【详解】
.
故
13. 已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为__________.
【正确答案】或
【分析】先根据 ，可推断在上单调递减，又由于是偶函数，可知在单调递增．分区间判断的取值情况，可得不等式的解集．
【详解】定义在上的偶函数满足对任意的，都有，
所以在上单调递减，
根据偶函数的对称性可得，在上单调递增，
因为，所以，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
当或或时，，
则不等式可得或，
所以或.
故或.
14. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．
【正确答案】
【分析】利用正弦函数的单调区间来求解参数范围即可.
【详解】由可得：，
因为正弦函数的单调递增区间是，
所以，解得：，
由解得：，
因为，所以当时，有，
当时，有，
故
四、解答题（共77分）
15. （1）已知，且，求的值．
（2）已知，若，求的值．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式列式计算即得.
（2）利用诱导公式及同角公式计算得解.
【详解】（1）由，两边平方得，
即，解得，
所以.
（2）由，得，又，则，
所以.
16. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）设函数，求在上的最小值.
【正确答案】（1）答案见解析；
（2）.
【分析】（1）应用分类讨论解含参一元二次不等式即可；
（2）由题设，结合二次函数的性质，讨论对称轴与已知区间的位置关系求最小值.
【小问1详解】
由题设，
当时，，则解集为，
当时，无解，则解集为，
当时，，则解集为；
【小问2详解】
由题设，其图象开口向上且对称轴为，
当，即时，在上单调递增，则最小值
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值
当，即时，在上单调递减，则最小值.
综上，.
17. 已知函数为奇函数，且不为常函数.
（1）求的值；
（2）若，用定义法证明：在上单调递减；
（3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）由奇函数条件导出关于的方程，解出，再结合“不为常函数”排除得到结果；
（2）将值代入，化简函数表达式，在定义域内任取自变量作差，利用对数性质与真数大小比较证明函数值随自变量增大而减小；
（3）将不等式分离出，构造关于的函数，利用其在给定区间上的单调性求出最大值，由大于该最大值确定参数范围；
【小问1详解】
由为奇函数，则对定义域内的每一个都有，
所以，即，所以，
当时，函数为常函数，与已知矛盾，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
任取，则，
，则，，
，即所以，
所以函数在上单调递减.
小问3详解】
对任意的，，
即，得，
记函数，，
则函数在区间上单调递减，
函数在区间上的最大值为，
，因此，实数的取值范围是.
18. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

（1）求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离；
（2）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）；
（3）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值．
【正确答案】（1）米
（2）
（3）或
【分析】（1）首先求出旋转的角度，再求出初始高度及旋转上升的高度，即可得解；
（2）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可；
（3）令，结合正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为，
号座舱（点）离地面的初始高度为米，
又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米，
所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米；
【小问2详解】
依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中），
依题意可得，，则．
又，，
当时，，又，所以，
所以．
【小问3详解】
令，即，，
，，
或，解得或，
故或时，1号座舱与地面的距离为17米．
19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质：
①的定义域为，值域为；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分．
（1）若，求关于的方程的解；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【正确答案】（1）或或
（2）
（3）
【分析】（1）分，，，三种情况进行讨论，结合取整函数的定义求方程的解；
（2）分，，，，四种情况进行讨论，结合取整函数的定义求不等式的解集；
（3）分，两种情况进行讨论，结合分离参数求最值和函数的单调性求最值确定的取值范围.
【小问1详解】
①，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意．
②，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意．
③，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意．
综上所述，若，关于的方程的解为或或．
【小问2详解】
①，此时，，，此时不等式恒成立．
②，此时，，则不等式可化为，
解得，又，．
③，此时，，则不等式可化为，
解得，又，．
④，此时，，，此时不等式无解．
综上所述，关于的不等式的解集为．
【小问3详解】
①，此时，则不等式可化为，
整理得：在上恒成立，
设，则，又，
，当且仅当时等号成立，
，．
②，此时，则不等式可化为，
整理得：在上恒成立，
设，，
令，， 则，
，且，
则，
又，则，，，
，故在上单调递减．
即在上单调递减．
，．又，
综上所述，．
方法点睛：高斯函数常见处理策略：
（1）高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.
（2）由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时，因为不是一个确定的实数，可设处理.
（3）求由构成的方程时先求出的范围，再求的取值范围.
（4）求由与混合构成的方程时，可用放缩为只有构成的不等式求解.