河南省洛阳市第一高级中学2025_2026学年高二上学期1月月考数学试卷（含解析）

这是一份河南省洛阳市第一高级中学2025_2026学年高二上学期1月月考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. 1或C. 1D. 或5
【正确答案】B
【分析】根据直线垂直列方程，由此求得的值.
【详解】由于，所以，
解得或.
故选：B
2. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ）
A. 或B. 或C. D.
【正确答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.
【详解】，
，
所以，
故选：C.
3. 求点到直线的距离的最大值为（ ）
A. 3B. C. D. 5
【正确答案】D
【分析】先说明直线所过的定点，当与定点的连线与直线垂直时距离有最大值，由此求解出结果.
【详解】因为直线的方程为，所以直线过定点，

所以直线表示过定点的斜率存在的直线，
如图，当时，表示点到直线的距离，
当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然，
所以点到直线距离的最大值为,
所以点到直线距离的最大值为.
故选：D
4. 已知数列满足，，（），则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】将变成,（）.根据，依次计算即可.
【详解】数列满足，（），所以,（）.
因为，所以，，，.
故选：D.
5. 表示的曲线为（ ）
A. 两个半圆B. 一个圆
C. 半个圆D. 两个圆
【正确答案】A
【分析】去方程中的绝对值符号，平方整理，再分类讨论方程表示的曲线即可得解.
【详解】依题意，，则有或，
当时，，
此时方程表示以点O2(-1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x=-1及左侧的半圆，
当时，，
此时方程表示以点O1(1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x=1及右侧的半圆，
如图，
表示的曲线为两个半圆.
故选：A
6. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
7. 设点，若在圆上存在点，使，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】过做作，垂足为，可得证明： ，从而可求的取值范围.
【详解】
如图，，垂足为，
因为，故，但，
故即，故，
故选：B.
8. 已知，C在上，则的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值
【正确答案】A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知实数x，y满足方程．则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【正确答案】AB
【分析】方程表示圆，设，可得圆心到的距离等于半径时斜率取得最大、最小值；设，利用圆心到直线距离等于半径可求得的最值；表示圆上的一点与原点的距离的平方，由圆的几何性质可求出.
【详解】方程化为，表示以点为圆心，以为半径的圆．
设，即，易知圆心到的距离等于半径时，直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由，解得，所以或．所以的最大值为，最小值为．AB正确．
设则，由点到直线的距离公式，得，即．故的最大值为，最小值为，C不正确．
表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是，D不正确．
故选：AB.
10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A. 该圆锥的体积为B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
【正确答案】AC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选：AC.

11. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（ ）
A.
B.
C. 为等腰三角形
D. 以为直径圆与相切
【正确答案】ABD
【分析】根据抛物线的基本性质、焦半径公式、直线与抛物线联立求解、直线与圆相切逐项分析判断即可.
【详解】A：直线过点，所以抛物线：的焦点，
所以，，，抛物线的方程为，A正确；
B： 由消去并化简得，
即，解得，，
所以，B正确；

C：当时，；当时，.
可设，.
所以，，
又，三边互不相等，所以不是等腰三角形，C错误.
D：设的中点为，，，到直线的距离分别为，，，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为__________．
【正确答案】
【分析】根据等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，求出和，即可得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】由于，则，
解得或，因为等比数列为递增数列，，
所以
所以，故.
因为，
所以.
故
13. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于_________．
【正确答案】20π
【详解】
14. 设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点 ，使组成公差为 d的等差数列，则d的取值范围为 ________ ．
【正确答案】
【分析】
当这个等差数列是增数列，则，可求出的取值范围；当这个等差数列是减数列，则，可求出的取值范围，由此可得答案.
【详解】由椭圆知，，则，由题知公差不为零，
当这个等差数列是增数列时，则，
，
，
解得；
当这个等差数列是减数列时，则，
，
，
解得，
综上所述，或.
故答案为.
本题以椭圆知识为载体考查数列知识，关键是利用增数列要找到，是减数列要找到，从而求得答案.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设抛物线，为坐标原点，点，过点的直线与交于两点．
（1）证明：；
（2）证明：．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）由题意设出直线方程，联立抛物线方程，并消元整理一元二次方程，写出韦达定理，结合向量的坐标运算，可得答案.
（2）由题意设出直线方程，利用斜率的计算公式，研究两直线的斜率的数量关系，可得答案.
【小问1详解】
设的方程为，由，得.
设，由题意可知，则，
，，.
【小问2详解】
由（1）得，
∴，
∴，∴.
16. 记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【小问1详解】
因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
【小问2详解】
[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．
（1）求证：；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可证明；
（2）取的中点，以直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，令，，由二面角的向量公式求得，即可求解.
【小问1详解】
由于平面平面，平面平面，
又且平面，平面.
平面，.
【小问2详解】
取的中点，连接，，由为等边三角形，可得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，得，
由且得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线、、两两垂直，
以坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
则，，，
令，，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，
易知平面的一个法向量为，
于是，
化简得，又，故解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时.
18. 某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…

（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数；
（3）求的值（精确到1）．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】利用递推公式、待定系数法、等比数列及其求和公式运算即可得解.
【小问1详解】
解：由题意知，并且
． ①
【小问2详解】
解：将化为
． ②
比较①②的系数，可得，
解这个方程组，得，
所以，（1）中递推公式可以化为．
【小问3详解】
解：由（2）可知，数列是以为首项，
为公比的等比数列，则
．
所以．
19. 已知椭圆，圆，点均在椭圆上，为坐标原点，直线分别与圆相切于两点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）当，四边形为菱形时，求圆的方程；
（3）若直线的斜率乘积为定值，求的值.
【正确答案】（1）
（2）或
（3）2
【分析】（1）椭圆方程转化成标准方程，由离心率的定义即可求解；
（2）由菱形，得到，再结合及，即可求解；
（3）设直线的方程分别为：，由圆心到两直线的距离为2，得到，进而得到，由其为定值即可求.
【小问1详解】
由椭圆得：，
所以，即椭圆的长半轴长为，短半轴长为，
所以；
【小问2详解】

当时，椭圆，
由（1），所以，
由圆知：，半径，
因为点在椭圆上，
所以①，
又因为直线分别与圆相切于两点，
所以，且，
因为四边形为菱形，所以四边形为正方形，
所以，
所以②，
联立①②解得：或，
所以圆的方程为：或；
【小问3详解】
因为直线都与圆相切，且直线的斜率乘积为定值，
所以直线斜率都存在，
设直线的方程分别为：，
因为点到直线的距离都为2，
所以，
两边平方可得，
所以为方程的两根，
所以，
因为点在椭圆上，所以，
所以，
因为直线的斜率乘积为定值，设定值为，
则：对恒成立，即对恒成立，
所以即，
所以的值为2.