北京市平谷区第五中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份北京市平谷区第五中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的斜率为（ ）
A．2B．C．D．
2．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
5．已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
6．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（ ）
A．170B．145C．120D．80
8．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如
果直线AF的斜率为,那么|PF|=
A．B．8C．D．16
9．等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是
A．B．C．D．
10．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A．B．
C．D．
二、填空题
11．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则 ．
12．已知点在直线上，则的最小值为 .
13．已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
14．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为 .
15．已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论：
① 曲线关于原点对称；
② 曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③ 曲线围成区域的面积大于8；
④ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于．
其中正确结论的序号是 .
三、解答题
16．已知的三个顶点分别为，求：
（1）所在直线的方程；
（2）过点与边平行的直线方程；
（3）边的垂直平分线的方程．
17．为了解两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得平台问卷100份，平台问卷80份．问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，数据统计如下：
假设用频率估计概率，且买家对平台的满意度评价相互独立．
（1）估计买家对平台的评价不是差评的概率；
（2）从所有在平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率；
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，分别是的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
19．已知是等差数列，是等比数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）求数列前项和的最大值．
20．已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．
21．已知椭圆．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由.
所以直线斜率为.
故选C
2．【正确答案】C
【详解】从五个球中任取两个，
共有种取法，
其中1，2；1，5；2，4，三种取法数字之和为3或6，
利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是，
故选C.
3．【正确答案】C
【详解】根据题意，把直线方程整理，得，
令，解得，所以当变动时，所有直线恒过定点.
故选C
4．【正确答案】A
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选A．
5．【正确答案】B
【详解】解:由题知双曲线,
即,
故焦点坐标为,
渐近线方程为:,
即,
由双曲线的对称性,
不妨取焦点到渐近线的距离,
故焦点到其渐近线的距离为.
故选:B
6．【正确答案】D
【详解】抛物线交点坐标为，算出即可.
【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为.
故选D.
7．【正确答案】B
【详解】因为，
所以
故选B.
8．【正确答案】B
【详解】设A（-2，t），∴，∴∴8
9．【正确答案】C
【详解】分析：由题意可得an=512•，则|an|=512•，|an|=1，得n=10，∴|Πn|最大值在n=10之时取到，因为n＞10时，|an|＜1，n越大，会使|Πn|越小．所有n为偶数的an为负，故所有n为奇数的an为正，由此能求出最大的是Π9．
详解：∵在等比数列{an}中，a1=512，公比q=﹣，∴an=512•，则|an|=512•．
令|an|=1，得n=10，∴|Πn|最大值在n=10之时取到，因为n＞10时，|an|＜1，n越大，会使|Πn|越小．
∴n为偶数时，an为负，n为奇数时，an为正．
∵Πn=a1a2…an，∴Πn 的最大值要么是Π10，要么是Π9．
∵Π10 中有奇数个小于零的项，即a2，a4，a6，a8，a10，则Π10＜0，
而 Π9 中有偶数个项小于零，即a2，a4，a6，a8，故 Π9 最大，
故C
点睛：本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行转化，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律．
10．【正确答案】C
【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求，，，，再把所有棱长相加即可得解.
【详解】如图，过作平面，垂足为，过分别作，，垂足分别为，，连接，

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，
所以.
因为平面，平面，所以，
因为，平面，，
所以平面，因为平面，所以，.
同理：，又，故四边形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，，
在直角三角形中，，，
又因为，
所有棱长之和为.
故选：C.
11．【正确答案】4
【详解】对椭圆，，所以，
所以椭圆的右焦点坐标为，
又抛物线的焦点为，
由.
12．【正确答案】3
【详解】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.
13．【正确答案】
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得.
14．【正确答案】3
【详解】因为点的轨迹是圆心在原点,半径为1的圆, 直线过定点,如图所示:
过作,垂足为,
则,
所以,取等的条件是与重合,此时.
故答案为3.
15．【正确答案】①③④
【详解】曲线，将换成，将换成，方程不变，
故曲线关于原点对称，①正确；
，得，要使均为整数，
则可得整点有、、、共9个，故②错误；
曲线，将换成，方程不变，故曲线关于轴对称，
故曲线围成区域的面积大于8，只需在曲线第一象限的面积大于2，
当，时，，得，
故，因与轴，轴构成的三角形面积为，
故曲线围成区域的面积大于8，故③正确；
由对称性，根据得，得，
故曲线上的点到原点的距离为，故④正确.
16．【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）如图，因为，所以直线的斜率为，
由点斜式可得直线的方程为，即.
（2）因为所求直线与直线平行，
由（1）知可设所求直线方程为，
又直线过点，
所以将的坐标代入可得，解得，
所以所求直线方程为.
（3）因为，且其斜率都存在，
所以，解得.
又直线过线段的中点，
由点斜式可得直线的方程为，即.
17．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）设“买家对平台的评价不是差评”为事件，
由统计表可知.
（2）设“这4人中恰有2人给出好评”为事件，
由统计表可知买家在平台好评的概率为，在平台好评的概率为，
事件包括：平台2个好评，平台0个好评；平台1个好评，平台1个好评；
平台0个好评，平台2个好评；
所以.
18．【正确答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）
证明：取中点，连接，如上图：
又因为为的中点，所以且，
因为底面为矩形，为的中点，故，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，底面为矩形，平面平面，，
平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，取的中点为，连接，
则有，所以，所以，
则，所以，平面，故，
所以可知两两垂直，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图，
则，
于是，而平面的一个法向量为，
显然，又平面，
由（1）知，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
显然平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角的余弦值为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．【正确答案】（1）；
（2）；
（3）75.
【详解】（1）因为，
所以等比数列的公比为，所以.
所以，
所以等差数列的公差为，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
（3）由等差数列的前项和公式知
，
由二次函数的性质知，当时，取得最大值75.
20．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或.
21．【正确答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）由椭圆C的方程可以求椭圆C的离心率（2）设椭圆C的椭圆方程，结合，得出结果.
（1）由题意，椭圆C的标准方程为，
所以，从而，
因此，故椭圆C的离心率.
（2）设点A，B的坐标分别为，其中，
因为，所以，即，解得，又，
所以==
==，
因为，且当时间等号成立，所以，
故线段AB长度的最小值为.
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
好评
中评
差评
A平台
75
20
5
B平台
64
8
8