江苏省苏州市张家港市2026届高三上册12月阶段性调研测试数学试题【附答案】

这是一份江苏省苏州市张家港市2026届高三上册12月阶段性调研测试数学试题【附答案】，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知角与的终边关于轴对称，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．正方体，直线与平面所成的角的大小是（ ）
A．B．C．D．
4．设，则复数z对应的点Z的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
5．已知等比数列的首项为64，公比为，数列的前n项积为，则当时n的最小值是（ ）
A．8B．12C．13D．14
6．过点作直线l交圆于点M，N，若，则点N的横坐标是（ ）
A．B．2C．D．
7．已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数满足，若函数与图象的交点为、、、，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
10．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线异面
B．当时，平面与底面所成角为定值
C．当时，有且仅有两个点P，使得
D．当时，有且仅有一个点P，使得平面
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点P，M，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，曲线C的离心率为
B．当时，曲线C的离心率为
C．当时，曲线C的离心率为4
D．当时，曲线C的离心率为
三、填空题
12．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为 ．
13．已知为偶函数，则不等式的解集为 ．
14．过点的直线l与抛物线交于两点M，N，点M，N处的切线交于点P，则点P到圆的距离的最小值是 ．
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若D为边上一点，，，平分，求a．
16．已知函数，．
（1）当时，判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）若过原点存在两条直线与曲线相切，求实数a的范围．
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在上，点为的中点，且平面．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，且，，记平面与平面的夹角为．
①求的最大值；
②当取到最大值时，求四棱锥的外接球体积．
18．已知椭圆的上顶点为A，过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于点M，N．
（1）若椭圆的离心率为，求直线与y轴交点的纵坐标；
（2）若是等腰直角三角形，且这样的等腰直角三角形有且仅有一个，求a的范围．
19．已知数列：，，，…，的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
（1）若数列：2，4，6，7，求集合T，并写出的值；
（2）若A是递增数列，求证：“A为等差数列”的充要条件是“”；
（3）已知数列A：2，，，…，，求证：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】，
，
∴，
故选C．
2．【答案】B
【详解】因为角与的终边关于轴对称，则，故，
因为，，所以，
故的最大值为.
故选B.
3．【答案】A
【详解】连接，交于点，再连接，
∵是正方形，∴，
∵在正方体中，平面，平面，
∴，
又∵，平面，
∴平面，
∴是直线与平面所成的角．
设正方体的边长为1，
∴在中，，
∴，
∴直线与平面所成的角的大小等于．
故选A．
4．【答案】B
【详解】设复数，则，
代入，两边平方得：，
，
两边除以：，
以配方：，
这是圆的标准方程，圆心为，半径为．
∴复数z对应的点的轨迹是圆．
故选B．
5．【答案】D
【详解】因为等比数列的首项为64，公比为，所以.
数列的前n项积为，则.
指数部分是首项为6，末项为的等差数列求和，其和为.
所以时，化简得，由于，所以解得.
所以当时n的最小值是14.
故选D.
6．【答案】A
【详解】
设，
∵点在圆上，∴．
已知，则，
∵，∴．
设，则，
则，
则．
∵点在圆上，∴．
将代入上式可得：，
解得，
故选A．
7．【答案】C
【详解】∵，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
令，
则，
∴，
当且仅当，即2（此时）时等号成立．
即的最大值为．
故选C．
8．【答案】C
【详解】因为满足，则函数的图象关于点对称，
设，则函数的定义域为，
因为，故函数的图象关于点对称，
所以函数、的图象的交点也关于点对称，
不妨设，则，，，，
令，则，
故，故，
由对称性知，，，，
令，则，
故，故，
因此，
故选C.
9．【答案】BC
【详解】A：的最小正周期为，故A错误；
B：的图象为：
，
则其以为最小正周期，且在区间上单调递增，故B正确；
C：因在区间上单调递增，且其最小正周期为，故C正确；
D：如图：
则其以为最小正周期，且在区间上不单调，故D错误；
故选BC．
10．【答案】BCD
【详解】设O是BC的中点，D为的中点，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间坐标系，如下图：
则，
则．
由得，
由平面向量的基本定理易知，点在矩形内部（含边界）．
A：当时，，
∴，此时三点共线，
即线段，
若P与C重合，直线与直线相交，故A错误；
B：当时，，，
设平面的法向量为，
则，
时不符合题意，故，
则，取，则，则，
平面的一个法向量为，
∵确定，故平面与底面所成角为定值，
故B正确；
C：由，则，
又，则，
若，则，解得或1，
∴有两个符合题意的点，故C正确；
D：，，
则，即，
∵，∴，
令，解得，此时，
∵平面，∴平面，
综上可得，有且仅有一个点符合题意，故D正确．
故选BCD．
11．【答案】ABD
【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为，
以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点，得，
设，由，解得，
对于A，，又，则，
由勾股定理得，即，曲线C的离心率为，A正确；
对于B，，不妨令，则，
即，整理得，曲线C的离心率为，B正确；
对于C，，则，
解得，曲线C的离心率为，C错误；
对于D，，而，
解得，又，即，曲线C的离心率为，D正确.
故选ABD
12．【答案】
【详解】设底面半径为，由题意可知，解得：，
圆锥的高，
所以圆锥的体积.
13．【答案】
【详解】已知，则，
由，得
即对所有成立．
若，化简得，不满足对所有成立，舍去；
若，化简得，解得．
将代入，得
不等式，即，即，即，
∵，∴，即，
∴．
14．【答案】
【详解】由题可知直线l的斜率存在，
故可设过点的直线的方程为，即．
联立抛物线方程，得：，
设的横坐标为，∵，故由韦达定理得：，
对于函数，其导数，在处切线斜率为，
切线方程为，即．
故抛物线在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为．
联立两切线方程：，
解得交点的横坐标为，
代入切线方程得纵坐标为．
因此，点坐标为，
消去参数得P的轨迹方程为，即．
圆的圆心为，半径．
圆心到直线的距离，
∴直线与圆相离，
故P到圆的最小距离为圆心到直线距离减去圆半径：．
15．【答案】（1）
（2）9
【详解】（1）由及正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴，即，
又∵，，
∴，∴；
（2）由题可知，，
在中由正弦定理得①，②，
①÷②得，即．
又，∴，
∴，∴，∴，
∴，
∴．
16．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大值
（2）
【详解】（1）当时，，则，
由可得，由可得，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
∴函数的极小值为，无极大值．
（2）∵，则，
设切点为，则，切线斜率，
切线方程为：，
∵切线过原点，则，整理得：，
∵满足条件的切线有两条，∴，解得或，
∴的取值范围是．
17．【答案】（1）见详解
（2）①；②.
【详解】（1）取线段的中点，连接、，连接交于点，连接，如下图所示：
因为四边形为正方形，所以，，
因为、分别为、的中点，所以，，
故四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，，、平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
因为为的中点，故为的中点，
因为四边形为正方形，，故为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，故平面.
（2）①因为四边形为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，设点，其中，，
则，，
因为，则，可得，所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为；
②当取到最大值时，，，则点，
设四棱锥的外接球球心为，
由可得，
解得，，即，
故四棱锥的外接球半径为，
因此四棱锥外接球的体积为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
椭圆，离心率为，
，解得，
椭圆，
椭圆的上顶点为A，过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于点M，N，
，直线斜率存在，且斜率不为0，
设直线的斜率为，，，的斜率为，
直线的方程为，
联立直线与椭圆方程得，化简整理得，
解得（对应点A）或，，，
，
把替换为得点，
，
直线的方程为，
设与轴交点坐标为，
．
（2）
椭圆上顶点，过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于点M，N，
是等腰直角三角形，且这样的等腰直角三角形有且仅有一个，
设直线斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，联立椭圆方程得，
化简整理得，解得（对应点A）或，
，，即，
把替换为得点，
是等腰直角三角形，
，即，
化简整理得，
令，则方程化为，
是方程的一个根，对应，总能得到一个关于轴对称的等腰直角三角形，
其他根取决于，
，，
当时，，无实数根，只有，故等腰直角三角形唯一，符合条件；
当时，，有重根，故仍只有，等腰直角三角形唯一，符合条件；
当时，，有两个正根，且，
，存在额外的等腰直角三角形，不满足唯一性．
满足条件的的取值范围是．
19．【答案】（1），
（2）见详解
（3）见详解
【详解】（1）由题意知数列，可得，
则，故；
（2）必要性：由于为等差数列，故设数列的公差为，
因为，所以，即，
因，所以，则；
充分性： 因为是递增数列，所以，
所以，且互不相等，
又，所以，
又因为，
所以，且互不相等，
所以，
所以，
所以为等差数列，充分性成立.
所以若是递增数列，“为等差数列”的充要条件是“”.
（3）因为，
所以集合中的元素个数最多为个，即，
对于数列，此时，
若存在，则，其中，
故，
若，不妨设，则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾，故，故，
故由得到的彼此相异，所以.