山东省烟台市2025-2026学年高一上学期数学期末测试卷及解析

这是一份山东省烟台市2025-2026学年高一上学期数学期末测试卷及解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．音乐与数学在某些领域息息相关，比如在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．已知某和弦可表示为函数，则在上的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．设，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．的最小正周期为
B．
C．点是图象的一个对称中心
D．直线是图象的一条对称轴
4．已知函数,的部分图象如图所示,则

A．3B．C．1D．
5．若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
6．已知函数若方程有5个不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．定义在R上的不恒为零的偶函数满足，且．则（ ）
A．30B．60C．90D．120
8．已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．函数的部分图象如图所示，把图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，整体再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列结论正确的是
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点中心对称
C．在上单调递增D．在上的最大值是2
二、多选题
10．当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形，则（ ）
A．的面积B．
C．两函数的图象必在处有交点D．
11．对于偶函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在处的切线斜率为
B．函数恒成立
C．若 则
D．若对于恒成立，则的最大值为
三、填空题
12．若a，，且，则的最大值为 ．
13．点、都在同一个指数函数的图像上，则t= ．
14．已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知函数，，其中且.
（1）若，求关于的不等式的解集；
（2）求关于的不等式的解集.
16．已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点．
17．已知定义域为的函数是奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．已知为锐角三角形的三个内角.
(1)求证：
(2)求的最小值
19．设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，取整函数是德国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：
①的定义域为R，值域为Z；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分；
③；
④若整数a，b满足，则.
(1)解方程；
(2)已知实数r满足，求的值；
(3)证明：对于任意的大于等于3的正整数n，均有．
2025—2026学年山东烟台高一数学期末测试卷参考答案
1．A
【分析】根据题意可知是奇函数可排除C；根据函数零点的个数可排除选项D；根据在的正负情况，即可判断出B错误，A正确．
【详解】定义域为，，
所以函数为奇函数，图像关于原点中心对称，故C错误；
，
令，解得或，
因为，所以有5个零点，故D错误；
当时，
的零点为，，，其中且，
当时，因为，，所以，
当时，因为，，，故B错误，A正确，
故选：A．
2．B
【分析】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“”即可比较大小.
【详解】，，
.
综上，．
故选：B.
3．C
【分析】选项A：根据题干所给图像即可求解；选项B：结合已知条件，首先根据图像最高点纵坐标求出，利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代入图像中的点求出即可求出函数解析式；选项CD：通过代入检验法即可求解.
【详解】对于选项A：由图象可知，的最小正周期，故A错误；
对于选项B：由图可知，因为，所以，即，
故，
因为点在的图象上，
所以，即，又，所以，
所以，故B错误；
对于选项C：因为，
所以点是图象的一个对称中心，故C正确；
对于选项D：因为，故D错误.
故选：C.
4．A
【分析】由可求得，由可求得，再由可求得，从而可得的解析式，进而可求.
【详解】，
，代入得，
，
又，，
，
，故选A.
【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.
5．B
【分析】利用三角函数的单调性与周期性的关系及周期公式，结合三角函数的最值即可求解.
【详解】因为在上单调，所以，即,则，
由此可得．
因为当，即时，函数取得最值，
欲满足在上存在极最点，
因为周期，故在上有且只有一个最值，
故第一个最值点，得，
又第二个最值点，
要使在上单调，必须，得．
综上可得，的取值范围是．
故选：B．
6．A
【分析】显然是函数的零点，时，由得，然后作出函数的图象，转化为与有4个交点，结合函数图像可求．
【详解】显然是函数的零点，
时，由得，
其大致图像如图所示，，（2），（3），
结合图像可得，当或时，与有4个交点，即方程有5个不等实根．
故选：A．
7．D
【分析】根据题意可以构造，得到，进而求出的值，当求出的值，从而求出结果.
【详解】当，时，可化为，
令，则，，
所以，则，，
，则，
，则，
，则，
因为，
当时,,即
所以，则，
则，
所以，
所以，
故选：D.
【点睛】关键点睛：函数综合问题需要观察题目特征，适当构造函数，并研究函数的性质，从而解决问题.
8．D
【分析】作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解.
【详解】作函数与的图像如下：
方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，即，且，
则，即，则
即，则；
当得或，则；；
故，；
则函数，在上为减函数，在上为增函数；
故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.
即函数取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.
9．D
【解析】根据图象求得的解析式，再利用平移变换和伸缩变换得到的解析式，再对照选项结合函数的性质，即可得答案；
【详解】由图可得，最小正周期，
.
把图象上所有点的纵坐标保持不变横坐标缩短到原来的，
得到函数，
图象整体向右平移个单位长度得.
当时，，故A错；
当时，故不是图象的对称中心，故B错：
易知在上单调递增，在上单调递减，故C错；
当时，取得最大值2，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换、三角函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
10．BD
【解析】根据正余弦函数的图象特征，结合题中条件，得到直角斜边上的高为，且为等腰直角三角形，得到斜边长，确定周期，求出，以及三角形的面积，判定A错，B正确；根据给定区间，先确定，再由两函数恰有三个交点，得到，由此可判断C错，D正确.
【详解】由可得，而，
因为当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形，
所以该直角三角形斜边上的高为，且该直角三角形必为等腰直角三角形，因此斜边为，所以这两个函数的周期都为，则，所以，即B正确；
三角形的面积为，故A错；
当时，，因为这两个函数恰有三个交点，所以，又，所以，故D正确；
因为，所以两函数的图象在处不可能有交点，故C错.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于结合正余弦函数图象的性质，根据题中两函数恰有三个交点，且三点构成直角三角形，确定三角形的特征，以及三个交点的位置，再结合三角函数的周期性，对称轴等性质，即可求解.
11．ABD
【分析】利用导数的几何意义可判断A；构造函数，利用导数研究不等式恒成立问题可判断B；对求导，构造函数，利用函数的单调性比较函数值的大小可判断C；利用在上的单调性，求出恒成立，进而确定的最大值，进而判断D.
【详解】因为为偶函数，所以，所以；
对于选项， 因为 所以 所以
所以函数在处的切线斜率为 故选项正确；
对于选项， 令 则
当时， 所以单调递减，所以
即 所以
因为为偶函数，所以函数恒成立. 故选项正确；
对于选项， 令
则 当时，
所以在上单调递减，所以
即在上恒成立，
因此函数在上单调递减. 又
所以 故选项错误；
对于选项，因为函数在上单调递减，
所以函数在上也单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
即的最大值为 故选项正确；
故选：.
12．
【分析】根据，从而可得，求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
13．9
【分析】用待定系数写出指数函数解析式，代入对应点求解即可.
【详解】设指数函数为，其中且，
将、代入函数解析式得，解得，
.
故答案为：9
14．
【分析】，当时，变形为，令，则，画出函数图象，结合图象列出不等式即可求解.
【详解】，
即，
当，，，所以不是交点横坐标；
当时，，即，
令，则，
所以的图象与有3个交点，
即函数与的图象有3个交点，
函数恒过点，
当，即，
，即，
解得或，
当，解得或，
所以函数与相切时的最小值为或，
由图象可知当（1）时，即；
（2），即时函数与的图象有3个交点，
综上：当时，的图象与有3个交点，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将式子变形，使得两个函数有其中一个图象是确定的，通过平移另一个图象来找到符合题意的条件.
15．（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
【分析】(1)由指数函数单调性转化成一元一次不等式求解即得；
(2)根据指数函数单调性分类讨论即可作答.
【详解】(1)因，则有指数函数在R上单调递减，
，解得，
所以不等式的解集为；
(2)当时，在R上单调递减，
，解得，
当时，在R上单调递增，
，解得，
所以：当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集.
16．(1)
(2)0，4
【分析】（1）根据幂函数的单调性可得函数在上单调递增，在上单调递减，且，即可求解函数的值域；
（2）由题意可得，解出m，进而得函数的解析式，令，解方程即可求解.
【详解】（1）易知幂函数在上单调递增，在上单调递减，
将函数图象向右平移3个长度单位可得的图象，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即函数的值域为；
（2），
因为函数的一个零点为2，所以，解得．
所以，
令，得或，解得．
所以函数的其余零点为0，4．
17．(1)
(2)是上的减函数
(3)
【分析】（1）利用奇函数的定义求解析式；
（2）利用复合函数单调性判断即可；
（3）利用奇偶性和单调性解不等式.
【详解】（1）当时，，
∴
又∵是上的奇函数，
∴且
∴当时，
综上：.
（2）∵当时，单调递减，
因为是定义域为的奇函数，由对称性可知，在上单调递减，
∴，有，
又∵当时，单调递减，
∴，有，
∴是上的减函数.
（3）由得，
∵是奇函数，∴，
又∴是上的减函数，∴，
即对任意的恒成立
①当时，恒成立，满足条件
②当时，应满足即
综上：的取值范围是.
18．(1)证明见解析;
(2)
【分析】（1）把正弦值转化成正切值，然后利用基本不等式，最后通过正切值大于角度即可证明.
（2）先换元，然后找到三个变量之间关系，然后根据基本不等式消去一个变量，最后通过函数求解即可.
【详解】（1）证明: .
因为，，
所以，
又因为为锐角，.
于是
同理，
相加后，即得原不等式成立.
（2）令，
因为，均为锐角，
所以，
所以，
所以，
则 ，
所以.
因为均为锐角， 所以均为正值，
所以均为正值，且，
则， 则，
因为
令，
则
令，则
则当时,则单调递减.
当时，，则单调递增，
所以，当且仅当等号成立，
所以
所以的最小值为.
故答案为: .
【点睛】（1）本题考查了形式的转变，以及角度和角度正切值的大小关系，把正弦值转化成正切值，然后通过正切值大于角度证明.
（2）本题考查了变量的消元能力，根据形式利用基本不等式消去一个变量是解决这道题目的关键.
19．(1)或
(2)743
(3)证明见解析
【分析】（1）令，则方程可化为，根据高斯函数的定义，即可求解得答案；
（2）设，则可判断中n以及的个数，从而可得，结合高斯函数定义，即可求得答案；
（3）由所要证明不等式的形式，可构造不等式，当时，有成立；设，推出，从而得到，即可证明结论.
【详解】（1）令，则，
∴，
又由高斯函数的定义有，
解得：，则或，
当时，则；当时，则；
（2）设，设，，，…，中有k个为，
个n，，
据题意知：，则有，
解得，，
所以，，即，
故；
（3）证明：由的形式，可构造不等式，
当时，有；
设，
则有，
从而，
而，则，
∴.
【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义，即高斯函数的应用问题，难度较大，解答的难点在于（3）中不等式的证明，解答时要理解高斯函数的性质，并能构造不等式，时，有，进行证明.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
A
B
A
D
D
D
BD
题号
11









答案
ABD