2025-2026学年山东省烟台市招远市九年级上学期1月期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年山东省烟台市招远市九年级上学期1月期末数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了抛物线的开口方向是，某款“不倒翁”等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线的开口方向是（ ）
A.向上B.向左C.向下D.向右
2.下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A.B.
C.D.
3.如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为（ ）
A.B.C.D.
4.如图，在中，弦与直径相交于点，连接，．若，，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
5.图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（ ）
A.B.C.D.0
6.某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是（ ）
A.B.C.D.
7.如图，已知点，点在反比例函数的图象上，轴于点，交于点，若，则与的面积比为（ ）
A.B.C.D.
8.一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图①所示），此时液面刚好过棱，并与棱交于点，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示．当将该正方体平放（正方形在桌面上）时，液体的深度是（ ）
A.B.C.D.
9.如图，是半径，是中点，在上从点开始沿逆时针方向匀速运动一周停止，运动时间是，线段的长度是，图2是随变化的关系图象，则当点运动到使时，的值是（ ）
A.B.C.或D.或
10.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点、．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论是（ ）
A.①②③B.①②④
C.②③④D.①②③④
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11.若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______．
12.在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移个单位后的抛物线与轴只有一个交点，则的值为______．
13.在直径为10m的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB=6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了__________m．
14.小明将一张矩形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接、，若，则的值为______．
15.如图，在直角坐标系中放置一个边长为2的正方形，将正方形沿轴的正方向无滑动的在轴上滚动，当点离开原点后第一次落在轴上时，点运动的路径与轴围成的面积为______．
16.如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，，则的最小值为______．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．）
17.计算：
（1）
（2）
18.已知：点和直线
求作：以点为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆．
19.某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对全校学生答题成绩进行了统计，将成绩分为优秀、良好、一般、不合格四个等级，并绘制成如下不完整的统计图．请根据图①、②中所给的信息解答下列问题：
（1）该校共有______名学生；
（2）图②中“不合格”所对应扇形圆心角的度数为______；并将图①补充完整；
（3）已知该市共有12000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次活动中成绩优秀．
（4）该校德育处从全校答题成绩为前四名的学生甲、乙、丙、丁中随机抽取2名参加全市现场禁毒知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出必有“丁”参加的概率．
20.如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
21.笔记本电脑的发展趋势是体积越来越小，重量越来越轻，功能越来越强，它在人们的办公和生活上有着巨大的贡献．如图1，小明的爸爸正在使用笔记本电脑办公，此时他的身体与地面垂直，眼睛在笔记本“底座边缘”正上方（眼睛、身体在一条线上，与屏幕中心在一个平面内），视线与电脑屏幕垂直，垂足为屏幕中心，其结构示意图如图2所示．已知笔记本电脑屏幕与笔记本电脑底座（笔记本电脑水平放于桌面上）长度相等，即，笔记本开合角度，求笔记本电脑屏幕中心到小明爸爸眼睛的距离．（结果精确到．参考数据：，，）
22.如图，斜坡长8米，按图中的直角坐标系可用表示，点，分别在轴和轴上，在坡上的处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到处，抛物线可用表示．
（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；
（2）请直接写出水柱离坡面最大高度；
（3）在斜坡上距离点2米的点处有一棵2.5米高的树，水柱能不能越过这棵树？请说明理由．
23.带着对山区儿童的深切关爱，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给边远山区留守儿童．已知该商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元／件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜3元，且线上月销量固定为300件．试问：当线下售价为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
24.图①和图②中，优弧所在的半径为，，点为优弧上一点（点不与，重合），将图形沿折叠，得到点的对称点．
（1）点到弦的距离是______，当经过点时，弧的度数为______；
（2）当与相切时，如图②，求折痕的长；
（3）若线段与优弧只有一个公共点，设，请直接写出的取值范围．
25.已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点、，连接，．设面积为，面积为，若点的坐标为，请直接写出的值；
（3）如图2，若点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧，连接、，交于点，连接．若，求点的坐标；
（4）如图3，在（3）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，直接写出的最小值．
（元／件）
13
14
15
16
17
（件）
1000
900
800
700
600