第02讲 整式与因式分解（复习讲义）九年级数学中考一轮复习（含解析）

这是一份第02讲 整式与因式分解（复习讲义）九年级数学中考一轮复习（含解析），共52页。学案主要包含了代数式及求值，整式的相关概念，合并同类项和去括号法则，整式运算，因式分解等内容，欢迎下载使用。
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01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻 PAGEREF _Tc214359310 \h 2
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建 PAGEREF _Tc214359311 \h 4
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关 PAGEREF _Tc214359312 \h 5
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测 PAGEREF _Tc214359313 \h 12
05·重难突破·思维进阶 \l "_Tc214359314" 37
考点一 代数式及求值
1．（2025·上海·中考真题）用代数式表示a与b差的平方，正确的是（ ）
A．a2−b2B．a−b2C．a2−bD．a−b2
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即a−b2．
【详解】解：A. a2−b2：这是平方差公式的结果，表示a的平方减去b的平方，而非差的平方，错误，不符合题意；
B. a−b2：表示先求差再平方，正确，符合题意；
C. a2−b：仅对a平方后减去b，未对差整体平方，错误，不符合题意；
D. a−b2：表示a减去b的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
【答案】5m+3n/3n+5m
【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键．
根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦”即可列代数式．
【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：5m+3n，
故答案为：5m+3n．
3．（2025·山东威海·中考真题）若2x−3y=2，则6y−4x+1= ．
【答案】−3
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．
先将2x−3y=2变形为3y−2x=−2，然后将6y−4x+1变形为23y−2x+1，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵2x−3y=2，
∴3y−2x=−2，
∴6y−4x+1=23y−2x+1=2×−2+1=−3，
故答案为：−3．
考点二 整式的相关概念
1．（2024·吉林长春·中考真题）单项式−2a2b的系数是 ．
【答案】−2
【分析】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解题的关键．
根据单项式系数的定义解答即可．
【详解】解：单项式−2a2b的系数是−2．
故答案为：−2．
2．（2025·河南·中考真题）观察2x,4x2,6x3,8x4,⋯，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为 ．
【答案】2nxn
【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第n个式子为2n⋅xn，即可得到答案．
【详解】解：第1个式子：2x=1×2⋅x1，
第2个式子：4x2=2×2⋅x2，
第3个式子：6x3=3×2⋅x3，
第4个式子：8x4=4×2⋅x4，
……
观察发现，第n个式子为2nxn，
故答案为：2nxn
3．（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单项式23πx3的次数为4次B．24a+bc2是二项式
C．关于x的代数式ax2+bx+c是三项式D．3aa≠0是单项式
【答案】B
【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称．
【详解】解：A．单项式23πx3的次数为3次，故A错误；
B．24a+bc2含有两个单项式，是二项式，故B正确；
C．当a=0时，关于x的代数式ax2+bx+c是二项式，故C错误；
D．3aa≠0是分式，不是单项式，故D错误；
故选：B．
考点三 合并同类项和去括号法则
1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
2.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
3.合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变）
4. 去括号法则
去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；
5. 添括号法则
添括号法则：若所添括号前面是“+”号，则括到括号里的各项与原来的符号相同；
若所添括号前面是“-”号，则括到括号里的各项都要改变符号.
【总结】添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号.
1．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式a2b的一个同类项： ．
【答案】−2a2b（答案不唯一）
【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键．
【详解】解：单项式a2b的一个同类项：−2a2b（答案不唯一），
故答案为：−2a2b（答案不唯一）．
2．（2025·河北·中考真题）计算：2a2+4a2= ．
【答案】6a2
【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．
直接根据合并同类项法则计算即可．
【详解】解：2a2+4a2=6a2，
故答案为：6a2．
3．（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a+3b=5abB．−a+3=−a+3
C．−2×3a=−6aD．2ab÷12=ab
【答案】C
【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A：2a与3b的字母部分不同（a与b），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误；
B：−a+3=−a−3，故本选项的计算错误；
C：−2×3a=−6a，故本选项的计算正确；
D：2ab÷12=4ab，故本选项的计算错误．
故选：C．
考点四 整式运算
1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
2.幂的运算
3.整式的乘法
【解题技巧】完全平方公式常用的变式：
① ②
③ ④ ⑤
5.整式的除法
1．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a4+a2=a6B．2a5=2a5
C．a8÷a4=a2D．a42=a8
【答案】D
【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可．
【详解】解：A、a4与a2指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意；
B、2a5=25a5=32a5≠2a5，原计算错误，不符合题意；
C、a8÷a4=a8−4=a4≠a2，原计算错误，不符合题意；
D、a42=a4×2=a8，原计算正确，符合题意；
故选：D．
2．（2025·四川南充·中考真题）计算：aa−3−a2= ．
【答案】−3a
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：aa−3−a2
=a2−3a−a2
=−3a，
故答案为：−3a．
3．（2025·天津·中考真题）计算(61+1)(61−1)的结果为 ．
【答案】60
【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：(61+1)(61−1)
=61−1
=60，
故答案为：60．
考点五 因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.因式分解的基本方法：
1）提公因式法：
2）公因式法： 平方差公式逆用：
完全平方公式逆用：
3.因式分解的一般步骤：
1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式a3−4a的结果是（ ）
A．aa2+4B．aa−4
C．aa+2a−2D．aa2−1
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解：a3−4a=aa2−4=aa+2a−2.
故选：C
2．（2025·广西·中考真题）因式分解：a2−1=（ ）
A．(a+1)(a−1)B．a(a+1)C．(a+1)2D．(a−1)2
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：a2−1=(a+1)(a−1)．
故选：A
3．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足a+b=2，则a2−b2+4b= ．
【答案】4
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解．
【详解】解：∵a+b=2，
∴a2−b2+4b=a+ba−b+4b=2a−b+4b=2a+b=4
故答案为：4．
命题点一 代数式及求值
►题型01 列代数式
【典例1】（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元．
【答案】0.8a
【分析】本题主要考查了列代数式，按标价的8折出售，即按原价的0.8倍出售，据此求解即可．
【详解】解；一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是0.8a元，
故答案为；0.8a．
【变式1-1】（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m>1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A．6mB．m+10C．60mD．10m
【答案】D
【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和．
【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数=10×m=10m，
故选：D．
【变式1-2】（2025·吉林·二模）某停车场为24小时营业，其收费方式如下表所示．已知某辆车某日17:00进入该停车场，停了x小时（x为正整数），若该辆车于当日21:00~24:00间离场，则此次停车的费用为 元．（用含有x的代数式表示）
【答案】3x+6
【分析】本题考查了分段收费问题，正确理解分段收费的意义是解题的关键．先计算停车的时间x的取值范围，后根据收费标准，列代数式即可．
【详解】解：根据题意，某辆车某日17:00进入该停车场，停了x小时(x为正整数），若该辆车于当日的21:00~24:00间离场，
停车时长x的范围是21:00−17:00=4（小时），24:00−17:00=7（小时），
停了4≤x≤7小时，超过了3小时，
故收费为15+3(x−3)=(3x+6)元，
故答案为：(3x+6)．
►题型02 求代数式的值
【典例2】（2025·四川自贡·中考真题）若2a+b=−1，则4a2+2ab−b的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得b=−1−2a，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵2a+b=−1，
∴b=−1−2a，
∴4a2+2ab−b=4a2+2a−1−2a−−1−2a=4a2−2a−4a2+1+2a=1，
故选：1．
【变式2-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）若a是方程x2+x−1=0的根，则代数式2025+a2+1a2的值是 ．
【答案】2028
【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键．
【详解】解：∵ a是方程x2+x−1=0的根，
∴ a2+a−1=0，即a2=1−a，
∴ 2025+a2+1a2
=2025+1−a+11−a
=2025+1−a21−a+11−a
=2025+a2−2a+21−a
=2025+1−a−2a+21−a
=2025+31−a1−a
=2025+3
=2028，
故答案为：2028．
【变式2-2】（2025盐湖区模拟）按如图所示的程序计算，当输入的有理数m，n满足(m−2)2+n+3=0时，y的值为 ．
【答案】−4
【分析】本题考查了平方与绝对值的非负性及程序图计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．根据有理数的非负性，程序计算解答即可．
【详解】解：∵(m−2)2+n+3=0，(m−2)2≥0，n+3≥0，
∴m−2=0，n+3=0，
解得：m=2，n=−3，
∴m+n=−10，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作：x=lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵21=2，∴lg22=1；∵22=4，∴lg24=2；∵23=8，∴lg28=3；∵24=16，∴lg216=4；
(1)lg24+lg28= ； lg232=__________；
(2)由题目给出的运算，猜想：lgaM+lgaN=__________（a>0且a≠1，M>0，N>0），并证明你的猜想．
(3)根据（2）的探究，直接写出lgaM−lgaN=__________．
【答案】(1)5，5
(2)lgaMN
(3)lgaMN
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用．
（1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论；
（2）根据所得结论进行推导可得结论；
（3）根据之前的探究，可得lgaM−lgaN=lgaMN．
【详解】（1）解：∵22=4，23=8，
∴lg24=2，lg28=3，
∴lg24+lg28=2+3=5，
∵25=32，
∴lg232=5，
故答案为：5，5；
（2）解：lgaM+lgaN=lgaMN，
验证：设lgaM=x,lgaN=y，
则ax=M,ay=N，
∴ax⋅ay=ax+y=MN，
∴lgaax+y=lgaMN=x+y，
∴lgaMN=lgaM+lgaN，
故答案为：lgaMN；
（3）解：根据之前的探究，可得lgaM−lgaN=lgaMN．
验证：设lgaM=x,lgaN=y，
则ax=M,ay=N，
∴ax÷ay=ax−y=MN，
∴lgaax−y=lgaMN=x−y，
∴lgaMN=lgaM−lgaN，
故答案为：lgaMN．
【变式14-3】（2025·河北秦皇岛·一模）对于任意数a，b，规定：a⊕b=a+ba2−ab+b2−b3，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例：−2⊕3=−2+3−22−−2×3+32−33=1×19−27=19−27=−8
(1)求−2⊕−4的值
(2)嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由．
【答案】(1)−8
(2)嘉嘉说的对，理由见解析
【分析】本题考查了新定义运算、整式的混合运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）按照定义的运算规则代入数值计算即可；
（2）利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，判断即可得解．
【详解】（1）解：−2⊕−4=−2−4−22−−2×−4+−42−−43=−6×12+64=−8；
（2）解：嘉嘉说的对，理由：
∵a⊕b=a+ba2−ab+b2−b3=a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3−b3=a3
∴无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．
►题型07 整式的化简求值问题
【典例15】（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：aa+1−a+2a−2，其中a=6．
【答案】a+4；10
【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可．
【详解】解：原式=a2+a−(a2−4)
=a2+a−a2+4
=a+4；
当a=6时，
原式=6+4=10．
【变式15-1】（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：x−2y2−2y−xx+y−y2y−3x，其中x，y满足2x+1+yy−2=−1．
【答案】3x2−xy，54
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解x，y的值，然后代入求解即可．
【详解】解：x−2y2−2y−xx+y−y2y−3x
=x−2y2−2y2−x2−y2y−3x
=x2−4xy+4y2−2y2+2x2−2y2+3xy
=3x2−xy
∵2x+1+yy−2=−1，即2x+1+y−12=0，
∴2x+1=0，y−1=0，
解得x=−12，y=1，
将x=−12，y=1，代入原式=3×−122−−12×1=54．
【变式15-2】（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：x−y2−x+yx−y÷2y，其中x=−2，y=1．
【答案】−x+y，3
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练的进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：x−y2−x+yx−y÷2y
=x2−2xy+y2−x2+y2÷2y
=−2xy+2y2÷2y
=−x+y，
当x=−2，y=1时，原式=−−2+1=2+1=3．
命题点五 因式分解
►题型01 提公因式法分解因式
【典例16】（2025·广东·中考真题）因式分解：a2b+ab2= ．
【答案】aba+b
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
【详解】解：a2b+ab2=aba+b．
故答案为：aba+b．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【变式16-】（2025·四川自贡·中考真题）分解因式：m2−4m= ．
【答案】mm−4
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，m2−4m的公因式是m，提出公因式m后括号里剩下m−4，所以分解因式的结果为mm−4．
【详解】解：m2−4m=mm−4，
故答案为：mm−4 ．
【变式16-2】（2025·浙江舟山·一模）用提公因式法分解因式6xy+3x2y−4x2yz3时，提取的公因式是
【答案】xy
【分析】此题考查了提公因式法分解因式，正确找到最大公因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可得到答案．
【详解】解：6xy+3x2y−4x2yz3=xy6+3x−4xz3．
∴提取的公因式是xy．
故答案为：xy．
►题型02 公式法分解因式
【典例17】（2025·山西·中考真题）因式分解：m2−16= ．
【答案】(m+4)(m−4)
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可．
【详解】解：m2−16=(m+4)(m−4)；
故答案为：(m+4)(m−4)．
【变式17-1】（2025·四川成都·中考真题）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
【答案】4x（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式4x2+1加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可．
【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为4x，理由如下：
4x2+1+4x=2x+12，
∴4x符合题意，
故答案为：4x（答案不唯一）．
【变式17-2】（2025·河南周口·三模）对于任意整数m，多项式4m+52−9都能被 整除．（填符合题意的最大整数）
【答案】8
【分析】本题考查因式分解，原多项式分解因式得到4m+52−9=8m+22m+1，进而可得结论．
【详解】解：4m+52−9
=4m+5−34m+5+3
=4m+24m+8
=8m+22m+1，
∵8m+22m+1能被8整除，
∴多项式4m+52−9都能被8整除，
故答案为：8．
►题型03 综合提公因式和公式法分解因式
【典例18】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式3m2−12分解因式的结果是 ．
【答案】3m+2m−2
【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式．
【详解】解：3m2−12
=3m2−4
=3m+2m−2．
故答案为：3m+2m−2．
【变式18-1】（2025·山东东营·中考真题）分解因式：2m3−12m2+18m= ．
【答案】2mm−32
【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：2m3−12m2+18m=2mm2−6m+9=2mm−32，
故答案为：2mm−32．
【变式18-2】（2025·云南丽江·模拟预测）因式分解3x−2ya2+2y−3xb2= ．
【答案】3x−2ya+ba−b
【分析】先将式子中的(2y−3x)b2进行变形，使其与(3x−2y)a2有相同的形式，再提取公因式，最后利用平方差公式进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法和公式法（平方差公式）的综合运用来进行因式分解．熟练掌握提取公因式的方法以及平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)的结构特征，并能灵活运用它们对多项式进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：(3x−2y)a2+(2y−3x)b2
=(3x−2y)a2−(3x−2y)b2
=(3x−2y)(a2−b2)
=(3x−2y)(a+b)(a−b)
故答案为：(3x−2y)(a+b)(a−b)．
【变式18-3】（2025·广西来宾·三模）因式分解a4−a3−16a2+4a+48： ．
【答案】a+3a−4a+2a−2
【分析】本题考查因式分解，先分组，再提公因式，进而利用十字相乘法和平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式=a4−a3−12a2−4a2+4a+48
=a2a2−a−12−4a2−a−12
=a2−a−12a2−4
=a+3a−4a+2a−2．
故答案为：a+3a−4a+2a−2．
►题型04 因式分解的应用
【典例19】（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足a+b=2，则a2−b2+4b= ．
【答案】4
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解．
【详解】解：∵a+b=2，
∴a2−b2+4b=a+ba−b+4b=2a−b+4b=2a+b=4
故答案为：4．
【变式19-1】（2025·河北唐山·三模）有一个数学游戏，如图．A、B、C均为含x的整式．且x的系数均为正整数．若“↔”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填 ．
【答案】x2+2x
【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，解决本题的关键是将题中的式子因式分解．
先由AB=x2−4=x+2x−2和BC=x2−2x=xx−2可求出A，B，C，再计算AC即可．
【详解】解：∵AB=x2−4=x+2x−2，
BC=x2−2x=xx−2，
∵A、B、C均为含x的整式．且x的系数均为正整数．
∴B=x−2，A=x+2，C=x，
∴AC=xx+2=x2+2x．
故答案为：x2+2x ．
【变式19-2】（2025·河北邯郸·三模）已知△ABC的三条边的长度依次为a，b，c，且满足a2−b2−ac+bc=0，则△ABC一定是 三角形．
【答案】等腰
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系及因式分解，合理利用因式分解进行计算是解决本题的关键．
对a2−b2−ac+bc=0，通过分组因式分解进行形式变形，再根据三角形中的三边关系，即可求解．
【详解】解：∵a2−b2−ac+bc=0
∴(a+b)(a−b)−c(a−b)=0，
∴(a−b)(a+b−c)=0①，
又∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b−c>0，
∴①式中只能a−b=0，即a=b，
∴△ABC一定是等腰三角形．
故答案为：等腰．
【变式19-3】（2025·福建泉州·二模）设abcd是一个四位数，下列说法正确的是（ ）
A．若a+c=b+d，则这个数是11的倍数
B．若a+c=b−d，则这个数是11的倍数
C．若a−c=b+d，则这个数是11的倍数
D．若a−c=b−d，则这个数是11的倍数
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据四位数的意义用含字母的式子表示，然后拆解成11的倍数，再将不合适的代换成11的倍数，即可得解．把整式拆解成11的倍数表示是解题的关键．
【详解】解：由题意可知：
abcd=1000a+100b+10c+d=990a+10a+99b+b+10c+d=11(90a+9b)+10(a+c)+b+d，
当这个数是11的倍数时，
可得10(a+c)+b+d是11的倍数，
当a+c=b+d时，10(a+c)+b+d=11b+11d是11的倍数，故A符合题意；
当a+c=b−d时，10(a+c)+b+d=10b−10d+b+d=11b−9d不是11的倍数，故B不符合题意；
当a−c=b+d时，10(a+c)+b+d=10a+10c+a−c=11a+9c不是11的倍数，故C不符合题意；
当a−c=b−d时，10(a+c)+b+d不是11的倍数，故D不符合题意；
故选：A．
突破一 代数推理问题
【典例1】（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
【答案】(1)小明的猜想不正确，反例：3×4=12
(2)见解析
(3)当A的数字大于或等于B的数字时，AB的位数是m−n+1；当A的数字小于B的数字时，AB的位数是m−n
【分析】（1）举反例即可；
（2）①当cb≥1,abc≤a