中考数学第一轮专项复习专题第02讲 整式与因式分解（讲义）（解析版）

这是一份中考数学第一轮专项复习专题第02讲 整式与因式分解（讲义）（解析版），共56页。学案主要包含了考情分析，知识建构等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc150724276" 考点一 代数式的相关概念 PAGEREF _Tc150724276 \h 4
\l "_Tc150724277" 题型01 列代数式 PAGEREF _Tc150724277 \h 4
\l "_Tc150724278" 题型02 代数式的实际意义 PAGEREF _Tc150724278 \h 5
\l "_Tc150724279" 考点二 整式的相关概念 PAGEREF _Tc150724279 \h 5
\l "_Tc150724280" 题型01 判断单项式的系数、次数 PAGEREF _Tc150724280 \h 6
\l "_Tc150724281" 题型02 与单项式有关的规律题 PAGEREF _Tc150724281 \h 7
\l "_Tc150724282" 题型03 判断多项式的项、项数、次数 PAGEREF _Tc150724282 \h 9
\l "_Tc150724283" 考点三 整式的运算 PAGEREF _Tc150724283 \h 10
\l "_Tc150724284" 题型01 判断同类项 PAGEREF _Tc150724284 \h 14
\l "_Tc150724285" 题型02 合并同类项 PAGEREF _Tc150724285 \h 15
\l "_Tc150724286" 题型03 添（去）括号 PAGEREF _Tc150724286 \h 15
\l "_Tc150724287" 题型04 整式的加减 PAGEREF _Tc150724287 \h 16
\l "_Tc150724288" 题型05 整式加减的应用 PAGEREF _Tc150724288 \h 18
\l "_Tc150724289" 题型06 幂的基本运算 PAGEREF _Tc150724289 \h 22
\l "_Tc150724290" 题型07 幂的逆向运算 PAGEREF _Tc150724290 \h 24
\l "_Tc150724291" 题型08 幂的混合运算 PAGEREF _Tc150724291 \h 26
\l "_Tc150724292" 题型09 整式的乘法 PAGEREF _Tc150724292 \h 27
\l "_Tc150724293" 题型10 整式的除法 PAGEREF _Tc150724293 \h 28
\l "_Tc150724294" 题型11 利用乘法公式计算 PAGEREF _Tc150724294 \h 29
\l "_Tc150724295" 题型12 通过对完全平方公式变形求值 PAGEREF _Tc150724295 \h 30
\l "_Tc150724296" 题型13 乘法公式的几何验证 PAGEREF _Tc150724296 \h 32
\l "_Tc150724297" 考点四 整式化简求值（高频考点） PAGEREF _Tc150724297 \h 36
\l "_Tc150724298" 题型01 整式化简-直接代入法 PAGEREF _Tc150724298 \h 37
\l "_Tc150724299" 题型02 整式化简-间接代入法 PAGEREF _Tc150724299 \h 37
\l "_Tc150724300" 题型03 整式化简-整体代入法 PAGEREF _Tc150724300 \h 38
\l "_Tc150724301" 题型04 整式化简-赋值法 PAGEREF _Tc150724301 \h 39
\l "_Tc150724302" 题型05 整式化简-隐含条件求值 PAGEREF _Tc150724302 \h 41
\l "_Tc150724303" 题型06 整式化简-利用“无关”求值 PAGEREF _Tc150724303 \h 42
\l "_Tc150724304" 题型07 整式化简-配方法 PAGEREF _Tc150724304 \h 44
\l "_Tc150724305" 题型08 整式化简-平方法 PAGEREF _Tc150724305 \h 44
\l "_Tc150724306" 题型09 整式化简-特殊值法 PAGEREF _Tc150724306 \h 45
\l "_Tc150724307" 题型10 整式化简-设参法 PAGEREF _Tc150724307 \h 46
\l "_Tc150724308" 题型11 整式化简-利用根与系数关系求值 PAGEREF _Tc150724308 \h 46
\l "_Tc150724309" 题型12 整式化简-消元法求值 PAGEREF _Tc150724309 \h 47
\l "_Tc150724310" 题型13 整式化简-倒数法求值 PAGEREF _Tc150724310 \h 48
\l "_Tc150724311" 考点五 因式分解 PAGEREF _Tc150724311 \h 49
\l "_Tc150724312" 题型01 判断因式分解 PAGEREF _Tc150724312 \h 50
\l "_Tc150724313" 题型02 选用合适的方法因式分解 PAGEREF _Tc150724313 \h 50
\l "_Tc150724314" 题型03 与因式分解有关的探究题 PAGEREF _Tc150724314 \h 52
考点一 代数式的相关概念
代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
1. 代数式中不含有=、、≠等.
2. 单独的一个数或一个字母也是代数式.
3. 列代数式时注意事项：
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
题型01 列代数式
【例1】（2023吉林长春中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【答案】（7.5-10x） QUOTE 7.5-10x
【提示】根据题意列出代数式即可．
【详解】根据题意可得，
他离健康跑终点的路程为7.5-10x．
故答案为：7.5-10x．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
【变式1-1】（2023江苏中考真题）若圆柱的底面半径和高均为 QUOTE a a，则它的体积是 （用含 QUOTE a a的代数式表示）．
【答案】πa3
【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，可得
V=πa2a=πa3．
故答案为：πa3．
【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键．
题型02 代数式的实际意义
【例2】（2023河北中考真题）代数式 QUOTE -7x -7x的意义可以是（ ）
A． -7与x的和B．-7与x的差C．-7与x的积D．-7与x的商
【答案】C
【提示】根据代数式赋予实际意义即可解答．
【详解】解：-7x的意义可以是-7与x的积．
故选C．
【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键．
【变式2-1】（2020·内蒙古通辽·中考真题）下列说法不正确的是( )
A． QUOTE 2a 2a是2个数a的和B． QUOTE 2a 2a是2和数a的积
C． QUOTE 2a 2a是单项式D． QUOTE 2a 2a是偶数
【答案】D
【提示】根据2a的意义，分别判断各项即可.
【详解】解：A、2a=a+a，是2个数a的和，故选项正确；
B、2a=2×a，是2和数a的积，故选项正确；
C、2a是单项式，故选项正确；
D、当a为无理数时，2a是无理数，不是偶数，故选项错误；
故选D.
【点睛】本题考查了代数式的意义，注意a不一定为整数是解题的关键.
考点二 整式的相关概念
1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算.
2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3.
3.圆周率 SKIPIF 1 < 0 π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母.
4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－25x2y3z4的次数是2＋3＋4=9而不是14.
5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算.
6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数.
7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式.
题型01 判断单项式的系数、次数
【例1】（2023·江西·统考中考真题）单项式 QUOTE -5ab -5ab的系数为 ．
【答案】-5
【提示】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可．
【详解】解：单项式-5ab的系数是-5．
故答案是：-5．
【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．
【变式1-1】（2023·广东·模拟预测）单项式-πxy32的系数是 ．
【答案】-π2
【提示】根据单项式系数的定义进行解答即可．
【详解】解：单项式中的数字因数即系数，
∴单项式-πxy32的系数是-π2 ．
故答案为：-π2．
【点睛】本题考查了单项式系数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
【变式1-2】（2023·广东·统考模拟预测）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．-2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3
【答案】D
【详解】试题提示：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
A．-2xy2系数是﹣2，错误；
B．3x2系数是3，错误；
C．2xy3次数是4，错误；
D．2x3符合系数是2，次数是3，正确；
故选D．
题型02 与单项式有关的规律题
【例2】（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（ ）
A．nB．C．D．
【答案】C
【提示】根据单项式的规律可得，系数为n，字母为a，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
【变式2-1】（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．(2n-1)xnB．(2n+1)xnC．(n-1)xnD．(n+1)xn
【答案】A
【提示】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．
【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，
故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．
【变式2-2】（2022·云南昆明·统考三模）按一定规律排列的代数式：2，-4x2，8x4，-16x6，32x8，……，第n个单项式是（ ）
A．-1n2nx2n-2B．-1n-12nx2n-2C．-1n-12nx2nD．-1n-12nx2n-2
【答案】B
【提示】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：∵2=21x2-2，
∴按一定规律排列的代数式为：21x2-2，-22x2×2-2，23x2×3-2，-24x2×4-2，25x2×5-2，…，
∴第n个单项式是(-1)n-12nx2n-2，
故选：B．
【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．
【变式2-3】（2022·云南昆明·昆明市一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，，11a8b2，…，第8个单项式是（ ）
A．17a14b2B．17a8b4C．15a7b14D．152a14b2
【答案】A
【提示】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，
单项式中a的指数偶数，b的指数不变，
所以第8个单项式是：17a14b2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键．
【变式2-4】（2022·云南文山·统考二模）一组按规律排列的单项式：-4x，7x2，，13x4，-16x5，…，根据其中的规律，第12个单项式是（ ）
A．-31x12B．34x12C．37x12D．-40x11
【答案】C
【提示】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为负号，n为偶数时，符号为正号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是3n+1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可．
【详解】解：根据提示的规律，得
第12个单项式是(3×12+1)x12=37x12．故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关 通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
键．
题型03 判断多项式的项、项数、次数
【例3】（2023·广东茂名·一模）多项式a3+2ab+a-3的次数和常数项分别是( )
A．6，3B．6，-3C．3，-3D．3，3
【答案】C
【提示】根据多项式的相关概念即可求解，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【详解】解：多项式a3+2ab+a-3的次数和常数项分别是3，-3
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．
【变式3-1】（2023·江西赣州市模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．2πmn的系数是2πB．-82ab2的次数是5次
C．xy3+3x2y-4的常数项为4D．11x2-6x+5是三次三项式
【答案】A
【提示】根据单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义可解决此题．
【详解】解：A、2πmn的系数是2π，故选项正确；
B、-82ab2的次数是3次，故选项错误；
C、xy3+3x2y-4的常数项为-4，故选项错误；
D、11x2-6x+5是二次三项式，故选项错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义，熟练掌握单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义是解决本题的关键．
【变式3-2】（2023·广东茂名·校考一模）多项式ab-13πa2b+3最高次项的系数是 ，次数是 ．
【答案】 ﹣13π 3
【提示】先找到此多项式的最高次项，再根据单项式的系数与次数的定义求解．
【详解】解：多项式最高次项是﹣πa2b，
所以最高次项的系数是﹣π，次数是3．
故答案为：﹣π，3．
【点睛】本题考查了同学们对多项式的有关定义的理解．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
考点三 整式的运算
1.所有常数项都是同类项.
2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项.
“两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可.
“两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关.
“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变.
3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式.
4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”．
2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆．
3．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系．
4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意.
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
完全平方公式的几何背景
1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
2. 常见验证完全平方公式的几何图形
结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
平方差公式的几何背景
1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
2. 常见验证平方差公式的几何图形
结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
题型01 判断同类项
【例1】（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2bB．-2ab2C．abD．
【答案】B
【提示】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．
【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与ab2是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
【变式1-1】（2023·浙江绍兴·一模）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ）
A．7a2b和3ab2B．37x2y和-2x2yC．x2yz和x2yD．3x2和3y2
【答案】B
【提示】根据同类项的定义：几个单项式的字母和字母的指数均相同，进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类项，不符合题意；
B、是同类项，符合题意；
C、不是同类项，不符合题意；
D、不是同类项，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查同类项的识别．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键．
题型02 合并同类项
【例2】（2023·四川自贡·中考真题）计算： ．
【答案】3a2
【提示】直接合并同类项即可求解．
【详解】解：7a2-4a2=3a2．
故答案为：3a2．
【点睛】此题主要考查合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式2-1】（2022·山东淄博·中考真题）计算的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
【答案】C
【提示】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【详解】解：原式，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则．
题型03 添（去）括号
【例3】（2023·河北衡水·校考模拟预测）关于-a-b进行的变形或运算：
①-a-b=-a+b；②-a-b2=a+b2；③-a-b=a-b；④-a-b3=-a-b3．
其中不正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】B
【提示】根据去括号法则进行变形即可．
【详解】解：①-a-b=-a+b，变形正确；
②-a-b2=-a+b2=a+b2，变形正确；
③-a-b=-a+b=a+b=a+ba+b≥0,-a-ba+b