2024-2025学年河南省郑州市巩义市八年级（上）期末数学试卷含答案

这是一份2024-2025学年河南省郑州市巩义市八年级（上）期末数学试卷含答案，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2b）3＝8a6b3B．（a3）3＝a6
C．a3÷a3＝aD．a3•a2＝a6
3．（3分）已知三角形三边长分别为2，9，x，若x为整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）化简﹣的结果是（ ）
A．B．x+2C．D．x﹣2
5．（3分）关于x的多项式9x2+ax+1是完全平方式，则实数a的值是（ ）
A．3B．±3C．±6D．6
6．（3分）如图①是Rt△ABC，画Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．如图②是小颖的画图过程，已知∠MB′N＝90°，则判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．HL
7．（3分）将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
8．（3分）如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA，且与第一把直尺交于点P，作射线OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
9．（3分）中老铁路项目的建设是“一带一路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相距约422千米，且较公路缩短了148千米，铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，若该铁路上动车的平均速度是汽车的2倍．设汽车的速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在锐角三角形ABC中AB＝5，△ABC的面积15，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）使分式有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统，已知某北斗卫星绕地球运动的速度是7.9×103m/s，当卫星绕地球运行2×103s时，所走过的路程为 m．（结果用科学记数法表示）
13．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是 边形．
14．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，折叠后点A落在A′处，点B恰好与点D重合，已知∠DFC＝60°，CF＝3，AE的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD，则＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算：．
（2）把下列各式分解因式：
①3a2+6ab+3b2；
②x2（m﹣n）+（n﹣m）．
17．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中M，N是两个关于x，y的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）多项式M为 ，多项式N为 ，例题的计算结果为 ；
（2）计算：（M）（N）+（M）2．
18．如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下问题：
（1）求被手遮住部分的代数式；
（2）这个等式左边代数式的值可能是零吗？如果有可能，请求出x的值；如果不可能，请说明理由．
19．如图三角形ABC，D为BC的延长线上一点．
（1）用尺规作图的方法在AC右边作∠ACE，使∠ACE＝∠B；
（2）在（1）的条件下，若∠A＝55°，CE恰好平分∠ACD，求∠ACB的度数．
20．已知：如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AE是△ABC的角平分线，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF．
21．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）小巩得出点P在线段AB的垂直平分线上的依据是 ．
（2）小义作图得到的直线PE是线段AB的垂直平分线吗？请判断并说明理由．
22．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：
（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
23．已知△ACD中，AC＝AD，∠CAD＝α，∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，得到点B，连接BA．
（1）连接BD，
①依题意，在图1中补全图形；
②若α＝80°，则∠BDC的度数为 ；
③当α的度数发生变化时，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若α＝90°．求证：CE⊥ED．
2024-2025学年河南省郑州市巩义市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念分别判断得出答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2b）3＝8a6b3B．（a3）3＝a6
C．a3÷a3＝aD．a3•a2＝a6
【分析】直接利用积的乘方运算，幂的乘方以及同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A． （2a2b）3＝8a6b3，故该选项正确，符合题意；
B．结果为a9，故此选项不合题意；
C．结果是1，故此选项不合题意；
D．结果是a5，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方以及同底数幂的乘除运算等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（3分）已知三角形三边长分别为2，9，x，若x为整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：∵三角形三边长分别为2，9，x且x为整数，
∴9﹣2＜x＜9+2，
∴7＜x＜11，
∴x为8、9、10，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解题的关键．
4．（3分）化简﹣的结果是（ ）
A．B．x+2C．D．x﹣2
【分析】先通分后化简，再判断即可．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减混合运算，做题的关键是要掌握分式的通分．
5．（3分）关于x的多项式9x2+ax+1是完全平方式，则实数a的值是（ ）
A．3B．±3C．±6D．6
【分析】根据完全平方公式进行分析计算．
【解答】解：∵9x2+ax+1是完全平方式，
∴a＝±2×3×1＝±6，
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题关键．
6．（3分）如图①是Rt△ABC，画Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．如图②是小颖的画图过程，已知∠MB′N＝90°，则判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．HL
【分析】根据小颖作图的过程即可作出判断．
【解答】解：甲同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段A′B′＝AB，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段B′C′＝BC，则判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是SAS，则选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键．
7．（3分）将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【分析】根据多边形内角和公式及正多边形性质求得∠ABE和∠BEF，∠DCE和∠CEG的度数，从而求得∠CBE，∠BCE的度数，然后根据周角360°计算即可求得答案．
【解答】解：由题意可得∠ABE＝∠BEF＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，∠DCE＝∠CEG＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠CBE＝180°﹣135°＝45°，∠BCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠FEG＝360°﹣（135°+120°+75°）＝30°．
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，三角形内角和定理，结合已知条件求得∠ABE，∠DCE的度数是解题的关键．
8．（3分）如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA，且与第一把直尺交于点P，作射线OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知OP平分∠AOB，又∠POB＝40°，进而可得∠AOB的度数．再由长方形直尺可得CP∥OB，利用平行线的性质可求解．
【解答】解：由题意，得OP平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠POB＝2×40°＝80°，
由长方形直尺可知：CP∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝80°，
故选：C．
【点评】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这角的平分线上．
9．（3分）中老铁路项目的建设是“一带一路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相距约422千米，且较公路缩短了148千米，铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，若该铁路上动车的平均速度是汽车的2倍．设汽车的速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设公路上汽车的速度为x千米/时，则该铁路上动车的平均速度是2x千米/时，根据铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，列出分式方程即可．
【解答】解：设公路上汽车的速度为x千米/时，则该铁路上动车的平均速度是2x千米/时，
由题意得：﹣＝4.5，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（3分）如图，在锐角三角形ABC中AB＝5，△ABC的面积15，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【解答】解：过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，如图：
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N′，
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E＝CM′+M′N′是CM+MN最小值，此时M与M′重合，N与N′重合，
∵三角形ABC的面积为15，AB＝5，
∴×5•CE＝15，
∴CE＝6．
即CM+MN的最小值为6．
故选：D．
【点评】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MN最小值．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）使分式有意义的x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】根据分式有意义，得出1﹣x≠0，即可作答．
【解答】解：由题意得，1﹣x≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
12．（3分）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统，已知某北斗卫星绕地球运动的速度是7.9×103m/s，当卫星绕地球运行2×103s时，所走过的路程为 1.58×107 m．（结果用科学记数法表示）
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：7.9×103×2×103＝1.58×107（m），
故答案为：1.58×107．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
13．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是 十 边形．
【分析】根据任意凸多边形的外角和都为360°，内角和都为（n﹣2）×180°（其中n为边数），再结合题意列出等式，求出n即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，则依题意得：
（n﹣2）×180°＝4×360°，
整理得，180°n＝1800°，
解得n＝10，
故这个多边形是十边形．
故答案为：十．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，关键是多边形内角和定理的熟练掌握．
14．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，折叠后点A落在A′处，点B恰好与点D重合，已知∠DFC＝60°，CF＝3，AE的长为 3 ．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，在Rt△A′ED中，根据勾股定理，即可求解．
【解答】解：设AE＝x，
∵∠DFC＝60°，CF＝3，
∴BF＝DF＝2CF＝6，
在Rt△DCF中，，
∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠，
∴A′E＝AE＝x，AD＝BC＝BF+FC＝6+3＝9，，
∴DE＝AD﹣AE＝9﹣x，
在Rt△A′ED中，ED2＝A′E2+A′D2，
∴，
解得：x＝3，
∴AE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据性质得出相应量的值是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD，则＝ ．
【分析】根据△BED≌△CFD得CF＝BE，FD＝ED，结合∠G＝∠BAD得到△GFC≌△AEB，得到GF＝AE，从而得到GA＝FE，即可得到答案．
【解答】解：BE⊥AD，CF⊥AD于点F，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△ABC中，AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴CF＝BE，FD＝ED，
在△GFC与△AEB中，
，
∴△GFC≌△AEB（AAS），
∴GF＝AE，
∴GA＝FE，
又∵FD＝ED，
∴GA＝2DE，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算：．
（2）把下列各式分解因式：
①3a2+6ab+3b2；
②x2（m﹣n）+（n﹣m）．
【分析】（1）根据负整数指数幂，以及零指数幂，有理数的乘方进行计算即可求解；
（2）①先提取公因数3，再根据完全平方公式进行二次分解；
②先把m﹣n看成一个整体，提取公因数m﹣n，然后用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2+25﹣1﹣8＝18；
（2）①原式＝3（a2+2ab+b2）＝3（a+b）2；
②原式＝x2（m﹣n）﹣（m﹣n）
＝（m﹣n）（x2﹣1）
＝（m﹣n）（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂、零指数幂的运算及因式分解，熟知以上知识是解题的关键．
17．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中M，N是两个关于x，y的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）多项式M为 2x+y ，多项式N为 2x﹣y ，例题的计算结果为 y2+4x2 ；
（2）计算：（M）（N）+（M）2．
【分析】（1）根据题意得到：y（M）＝2xy+y2，2x（N）＝4x2﹣2xy，即可得到多项式A，多项式B，再最后化简，即可解答；
（2）根据平方差公式、完全平方公式计算，即可解答．
【解答】解：原式＝2xy+y2+4x2﹣2xy＝ y2+4x2，
故答案为：y2+4x2；
（1）根据题意，得：y（M）＝2xy+y2，两边同除以y得：M＝2x+y，
同理，得：2x（N）＝4x2﹣2xyy，两边同除以2x得：N＝2x﹣y，
例题的计算结果为：2xy+y2+4x2﹣2xy＝y2+4x2；
故答案为：2x+y，2x﹣y，y2+4x2；
（2）（M）（N）+（M）2
＝（2x+y）•（2x﹣y）+（2x+y）2
＝4x2﹣y2+4x2+4xy+y2
＝8x2+4xy．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练运用相关运算法则和乘法公式是解题的关键．
18．如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下问题：
（1）求被手遮住部分的代数式；
（2）这个等式左边代数式的值可能是零吗？如果有可能，请求出x的值；如果不可能，请说明理由．
【分析】（1）通过移项计算即可；
（2）令方程的右边为零，求出x的值，若x的值使得左边各代数式有意义，则说明这个等式左边代数式的值可能是零，否则，则说明不可能是零．
【解答】解：（1）×÷
＝××
＝，
∴被手遮住部分的代数式是．
（2）这个等式左边代数式的值不可能是零．理由如下：
∵等式的右边为，
若等式的左边为零，则＝0，
∴x+3＝0且x﹣3≠0，
∴x＝﹣3，
当x＝﹣3时等式左边没有意义，
∴这个等式左边代数式的值不可能是零．
【点评】本题考查代数式求值、列代数式，掌握代数式有意义的条件是解题的关键．
19．如图三角形ABC，D为BC的延长线上一点．
（1）用尺规作图的方法在AC右边作∠ACE，使∠ACE＝∠B；
（2）在（1）的条件下，若∠A＝55°，CE恰好平分∠ACD，求∠ACB的度数．
【分析】（1）利用基本作图，作∠ACE＝∠B；
（2）先利用角平分线的定义得到∠ACE＝∠ACD，则∠B＝∠ACD，再根据三角形外角性质得到∠ACD＝55°+∠ACD，然后求出∠ACD，最后利用邻补角的定义计算出∠ACB的度数．
【解答】解：（1）如图，∠ACE为所作；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACD，
∵∠ACE＝∠B，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠B，
即∠ACD＝55°+∠ACD，
∴∠ACD＝110°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°．
【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了三角形内角和．
20．已知：如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AE是△ABC的角平分线，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF．
【分析】（1）根据题意可以求得∠DCB+∠ACD的度数，从而可以解答本题；
（2）根据题意和（1）中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立．
【解答】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵在△ABC中，CD是高，∠A＝∠DCB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）证明：∵AE是角平分线，
∴∠DAF＝∠BAE，
∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠CAE+∠CEA＝90°，
∴∠AFD＝∠CEA，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEA，
即∠CFE＝∠CEF．
【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）小巩得出点P在线段AB的垂直平分线上的依据是 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ．
（2）小义作图得到的直线PE是线段AB的垂直平分线吗？请判断并说明理由．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△APD≌△BPC，可得∠PAD＝∠PBC，由等腰三角形的判定可证AE＝BE，可得结论．
【解答】解：（1）∵PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA，
根据作图可知AE，BE分别平分∠PAB，∠PBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴PE是线段AB的垂直平分线，
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
（2）直线PE是线段AB的垂直平分线，理由如下：
由作图可知：PA＝PB，PC＝PD，
在△APD和△BPC中，
，
∴△APD≌△BPC（SAS），
∴∠PAD＝∠PBC，
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB﹣∠PAD＝∠PBA﹣∠PBC，
即∠DAB＝∠CBA，
∴AE＝BE，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
∴PE是线段AB的垂直平分线．
【点评】该题考查了尺规作图，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定．
22．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：
（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
【分析】（1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）先计算总花费为[1100a+1350（20﹣a）]元，根据此次加购小区预备支出不超过25000元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得﹣＝20，
解得x＝1000，
经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意，
1.5x＝1.5×1000＝1500（元/个），
所以单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个，
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个；
（2）单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，则现在单枪新能源充电桩的单价为1000×（1+10%）＝1100（元/个），
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，则现在双枪新能源充电桩的单价为1500×（1﹣10%）＝1350（元/个），
设再次购进单枪新能源允电社a个，则购进双枪新能源允电社（20﹣a）个，总花费为[1100a+1350（20﹣a）]元，
∵此次加购小区预备支出不超过25000元，
∴1100a+1350（20﹣a）≤25000，
解得 a≥8，
∴a的最小值为8，
即小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个，
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
23．已知△ACD中，AC＝AD，∠CAD＝α，∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，得到点B，连接BA．
（1）连接BD，
①依题意，在图1中补全图形；
②若α＝80°，则∠BDC的度数为 30° ；
③当α的度数发生变化时，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若α＝90°．求证：CE⊥ED．
【分析】（1）①根据题意画出图形即可求；
②由等腰三角形的性质可得∠ADC＝∠ACD＝50°，由轴对称的性质可得∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，即可求解；
③由等腰三角形的性质可得∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，由轴对称的性质可得∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，即可求解；
（2）由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可证AE＝AH，∠BAE＝∠CAH＝45°，可证△AEH是等边三角形，可得EH＝AH＝CH＝DH，即可求解．
【解答】（1）：①解：如图所示；
②解：∵AC＝AD，∠CAD＝80°，
∴∠ADC＝∠ACD＝50°，
∵∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，得到点B，
∴∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，
∴∠BAD＝140°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝20°，
∴∠BDC＝30°，
故答案为：30°；
③解：∠BDC的大小不变，理由如下：
∵AC＝AD，∠CAD＝α，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
∵∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，得到点B，
∴∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，
∴∠BAD＝60°+α，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°﹣α，
∴∠BDC＝30°；
（2）证明：过点A作AH⊥CD于H，连接EH，
∵AC＝AD，∠CAD＝90°，AH⊥CD，
∴AH＝CH＝DH，
∵∠B＝∠ACD，AB＝AC，∠AEB＝∠AHC＝90°，
∴△ABE≌△ACH（AAS），
∴AE＝AH，∠BAE＝∠CAH＝45°，
∴∠BAC＝2∠PAC＝60°＝∠EAH，
∴△AEH是等边三角形，
∴EH＝AH＝CH＝DH，
∴∠CED＝90°，
∴CE⊥DE．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【例题】化简：y（M）+2x（N）．
解：原式＝2xy+y2+4x2﹣2xy
＝ ．
小巩：如图1，（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作∠PAB，∠PBA的平分线AD，BC，交于点E；（3）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
简述作图理由：
由作图可知，PA＝PB．∴点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA．
∵AD，BC分别是∠PAB，∠PBA的平分线，∴∠DAB＝∠CBA．
∴AE＝BE．∴点E在线段AB的垂直平分线上．
∴直线PE是线段AB的垂直平分线．
小义：我认为小巩的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2．
（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；
（2）分别在线段PA，PB上截取PC＝PD；
（3）连接AD，BC，交点为E；
（4）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
…
单枪充电桩
双枪充电桩
花费：50000元
花费：45000元
单价：x元/个
单价：1.5x元/个
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
A
C
A
C
C
B
D
【例题】化简：y（M）+2x（N）．
解：原式＝2xy+y2+4x2﹣2xy
＝ y2+4x2 ．
小巩：如图1，（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作∠PAB，∠PBA的平分线AD，BC，交于点E；（3）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
简述作图理由：
由作图可知，PA＝PB．∴点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA．
∵AD，BC分别是∠PAB，∠PBA的平分线，∴∠DAB＝∠CBA．
∴AE＝BE．∴点E在线段AB的垂直平分线上．
∴直线PE是线段AB的垂直平分线．
小义：我认为小巩的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2．
（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；
（2）分别在线段PA，PB上截取PC＝PD；
（3）连接AD，BC，交点为E；
（4）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
…
单枪充电桩
双枪充电桩
花费：50000元
花费：45000元
单价：x元/个
单价：1.5x元/个