安徽省安庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析

这是一份安徽省安庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析，共24页。试卷主要包含了 函数的值域是等内容，欢迎下载使用。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的并集定义进行求解即可.
【详解】，，
.
故选：D
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
该命题的否定为“，”.
故选：B
3. 已知为实数，那么“”是“方程没有实数解”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出方程无实根的的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由方程没有实数解，得，则，
由可得，反之不成立，
所以“”是“方程没有实数解”的必要而不充分条件.
故选：B
4. 下列命题是真命题的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】举例说明判断ACD；利用不等式的性质推理判断B.
【详解】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，由，得，则，，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，取，满足，而，D错误.
故选：B
5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，根据函数定义域、奇偶性以及单调性分析判定即可.
【详解】由图可知：函数的图象关于y轴对称，定义域有两个间断点，
对于选项A：令，解得，可知的定义域为，
且，可知函数为奇函数，
其图象关于原点轴对称，故A错误；
对于选项B：令，解得，可知的定义域为，
当时，，
因为在内单调递减，函数在内单调递增，故B错误；
对于选项C：因为，可知的定义域为，故C错误；
故选：D.
6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，得，即可求解.
【详解】由，得，
所以的定义域为．
故选：D
7. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过换元法，将原函数转化为二次函数，再根据二次函数的性质求其值域.
【详解】根据题意，令，则，且，
代入原函数得（），
因为，所以二次函数开口向下，当时，取得最大值，
所以函数的值域为.
故选：D
8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ）
A. （－2，2）B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得出在上是增函数，再确定其奇偶性，然后由奇偶性与单调性求解不等式.
【详解】因为对任意的，且，都有，
所以在上是增函数，
又是奇函数，所以是偶函数，所以在上是减函数，
所以，
所以不等式，即为，即，
所以，所以或.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解集得到一元二次方程的解，由韦达定理得到的关系式，且，从而判断A正确，解不等式得到BD正确，由得到C错误.
【详解】由题意得：的解为和，且，
所以，解得：，
故A正确，
，即，解得：，故B正确；
，故C错误；
变形为，不等式除以得：，
解得：，故D正确.
故选：ABD
10. 已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合Venn图逐项判断即可.
【详解】
由Venn图知：
，当时也成立，A正确；
，当时也成立，B错误；
，当时也成立，C正确，
，当时也成立，D正确，
故选：ACD
11. 设正实数x，y满足，则（ ）
A. xy有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为5D. 有最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可.
【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，
，当且仅当，即时取等号，
而，因此不能取等号，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 《再别康桥》是中国现代诗人徐志摩的诗作，是新月派诗歌的代表作，诗中写道：
轻轻的我走了，
正如我轻轻的来；
我轻轻的招手，
作别西天的云彩；
那河畔的金柳，
是夕阳中的新娘；
波光里的艳影，
在我的心头荡漾.
……
若定义该诗的第行的字数（标点符号不计入字数）为，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据函数定义求函数值即可．
【详解】因为该诗的第2行有7个字，第7行有6个字，所以．
故答案为：6．
13. 已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为_____．
【答案】(1,2)
【解析】
【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点．
【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有，
所以，即的图象经过定点(1,2)，
故答案为：．
14. 已知函数
①当时，函数的单调递减区间是__________；
②若存在最小值，则的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】结合一次函数单调性和二次函数的单调性分开求解单调性，即可得解；根据题意分三种情况，结合二次函数及一次函数的性质讨论即可．
【详解】当时，，
当时函数单调递减，
当时函数，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
综上，函数的单调减区间为；
因为函数，
① 当时，
当时，单调递减，且，
当时，，
因为存在最小值，所以，即得，所以或，
所以；
② 当时，，
当时，，故函数存在最小值；
③ 当时，
当时，单调递增，且，
所以不存在最小值，不合题意舍；
综上，的取值范围是．
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求解以下关于的不等式.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）通过求解对应的二次方程的根，再结合二次函数的图像性质即可求解；
（2）先通过对的取值进行讨论，化简不等式，再结合二次方程、二次函数的性质进行求解即可；
（3）先对不等式进行化简得，根据分子分母同号，进行分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
不等式，对应的二次方程为，
，所以二次方程无解，
令函数，为开口向下的二次函数，且与轴无交点，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
不等式，
当时，，不等式化为，则，
且二次项系数为正，则不等式无解；
当时，，不等式化为，则，
令，解得或，
二次项系数为正，则不等式的解集为；
故不等式的解集为.
【小问3详解】
不等式，等价于，通分得，整理得，
则或，解不等式得.
故不等式的解集为.
16. 设集合，.
（1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据必要不充分条件得出集合间的包含关系，分集合为空集和非空集合两种情况讨论，即可求解；
（2）根据存在性命题为真命题得出集合交集非空，同样结合集合非空进行分析即可.
【小问1详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，所以，
当时，则，解得，
当时，则或，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
【小问2详解】
因为命题“，”为真命题，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
17. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）为真命题时，任意，不等式恒成立，可转化为恒成立，求解即可；
（2）先求出为真命题时，实数的取值范围，再根据命题与命题一真一假，结合（1），即可求解.
【小问1详解】
因为为真命题，即对任意，不等式恒成立，
令，，所以在时恒成立，
所以即可，
又，，为增函数，所以，
所以，即，整理得，即，
结合二次方程和二次函数的性质，可得不等式的解集为，
所以为真命题，实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是，
若为真命题，则存在，使得不等式成立，
令，则对称轴为，且开口向上，
所以在上单调递减，所以时，函数取得最小值，
所以成立即可，即，解不等式得，
所以为真命题时，实数的取值范围是.
①若为真命题，为假命题，
由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是，
因为为真命题时，实数的取值范围是，
所以为假命题时，实数的取值范围是，
所以当为真命题，且为假命题时，实数的取值范围是；
②若为假命题，为真命题，
由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是，
所以当为假命题时，可得实数的取值范围是，
又为真命题时，实数的取值范围是，
所以当为假命题，且为真命题时，实数的取值范围是.
综上所述，若命题与命题一真一假，则实数的取值范围是.
18. 如图，在周长为8的矩形ABCD中（其中），现将沿AC折叠到，设与CD交于点E，设.

（1）求证：的周长为定值；
（2）试用x表示的长，并求x的取值范围；
（3）当x为何值时，的面积S取得最大值，并求出该最大值.
【答案】（1）证明见详解
（2），
（3）当时，的面积取得最大值，为
【解析】
【分析】（1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长；
（2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围；
（3）将的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可.
【小问1详解】
由题意可知,
所以,所以,
所以（定值）.
所以的周长为定值4.
【小问2详解】
由折叠可知,
所以，即,
由（1）知,即，所以，
在直角△中，由勾股定理可得，
即，化简得，
因为,，所以且，即，
所以，；
【小问3详解】
在Rt中,,
所以,
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的面积取得最大值，为.
19. 函数对任意实数恒有，且当时，.
（1）判断的奇偶性；
（2）求证：是上的减函数；
（3）若，解关于的不等式.
【答案】（1）奇函数 （2）证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解.
（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；
（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解.
小问1详解】
解：由题意，函数对任意实数恒有，
令得，解得：
取，则由得，
∴，即，
∴函数是奇函数.
【小问2详解】
证明：任取，且，则，
∵当时，，∴，
由得，
∴，
∴，
∴是上的减函数.
【小问3详解】
解：由得，
由得，
则，
∴不等式可化为，
∵是上的减函数，
∴，即………①.
（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；
（ii）当时，不等式①式化为，即，
若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
（iii）当时，不等式①式化为，即，
∵此时，∴原不等式解集；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
【点睛】方法点睛：
1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.
2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用.