2024-2025学年广东省广州市海珠区七年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市海珠区七年级上学期期末数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．0D．2
2．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．+（+5）与5B．+（﹣5）与﹣5C．﹣（+5）与﹣5D．﹣（﹣5）与﹣5
3．（3分）据统计，2024年前三季度广州市国民生产总值（GDP）为22149.95亿元，用四舍五入法对数据22149.95精确到十分位是（ ）
A．22149.0B．22150.0C．22149.9D．22150.1
4．（3分）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．3x﹣x＝0B．6x﹣3C．3+（﹣1）＝2D．9x+3＞2x
5．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．线段AB和线段BA表示同一条线段
B．过一点能作无数条直线
C．射线AB和射线BA表示不同射线
D．射线比直线短
6．（3分）若x＝1是关于x的方程3x+a＝1的解，则a的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
7．（3分）当长方体的体积一定时，长方体的底面积与高（ ）
A．成正比例B．成反比例
C．不成比例D．以上都不对
8．（3分）如图，射线OA表示的方向是（ ）
A．南偏东30°B．南偏东60°C．南偏西30°D．南偏西60°
9．（3分）如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，是2025年1月的月历，任意移动图中“H”形框可以遮盖七个数，则这七个数的和不可能是（ ）
A．63B．77C．105D．175
11．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|a﹣b|的结果为（ ）
A．2aB．﹣2aC．﹣2bD．2b
12．（3分）已知数轴上，点A表示的数是﹣2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当MN＝2BM时，运动时间t的值为（ ）
A．85B．58C．58或8D．85或8
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）列方程表示“x与3的和等于x的2倍”： ．
14．（3分）某地区的气温受冷空气的影响产生变化，当天早上的气温是﹣2℃，中午的气温升高5℃，晚上的气温又降低了10℃，则晚上的气温为 ℃．
15．（3分）请写出一个单项式，同时满足以下条件：①系数为负数、②只含有字母a，b、③次数为3次，则这个单项式为 ．
16．（3分）计算|a﹣3|+（b+2）2＝0，则a+2b＝ ．
17．（3分）我们常用的数是十进制数，数字电子技术领域常用的数是八进制数（有数字0～7共8个数码），它们两者之间可以互相换算．若规定：任何一个非0数的0次幂都等于1，（如20＝1，80＝1），那么八进制（123）8换算成十进制数为：（123）8＝1×82+2×81+3×80＝64+16+3＝83；按此方式，将八进制数（3751）8换算成十进制数的结果是 ．
18．（3分）观察图中数字的规律，则第6个图中m＝ ．
三、解答题（本题共7小题，共66分）
19．（10分）计算：
（1）10+1.2+（﹣7）+0.8；
（2）16÷|﹣2|﹣（﹣4）2×5．
20．（10分）计算：
（1）a﹣（﹣a2）+（﹣2a）；
（2）3（x2y﹣5xy2）﹣2（2xy2﹣3x2y）．
21．（10分）解方程：
（1）2y﹣5y＝21；
（2）1-x-12=x+23．
22．（8分）如图，已知线段a，b．
（1）尺规作图：求作线段AB，使AB＝a+b（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的前提下若AC＝a，CB＝b，点D是AC的中点，请在图中将点D表示出来．当CB＝7，DB＝9时，求AC的长．
23．（8分）如图，直线AB与DE相交于点O，设∠BOD＝n．
（1）若∠BOD与∠BOC互为余角，求∠AOC﹣∠BOD的值；
（2）若OC平分∠BOE，∠BOC＝2∠BOD，求∠COE的度数．
24．（10分）据人民日报报道，中欧班列自2013年诞生后运行的十余年来，通达欧洲25个国家227个城市，亚洲11个国家超100个城市，累计运送货物超1100万标箱、货物品类达53大类5万余种．某贸易公司因业务需要租用A、B两种标箱共22个，其中租用A种标箱每个4万元，租用B种标箱每个6万元，共支付租金108万元．
（1）将“1100万”用科学记数法法表示，可记为 ；
（2）求该贸易公司租用A、B两种标箱各多少个？
25．（10分）广州市居民生活用电阶梯收费标准如表：
根据收费标准，解答下列问题：
（1）小军家6月份用电量150度，支付电费88.5元，则a＝ ；
（2）小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费 元（用含x的代数式表示）；
（3）8月出现了高温天气，小军家缴电费460元，求这个月的用电量．
附加题：有能力的同学请选做附加题，将作为评优委的依据
26．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘以6，再加上5，再乘以2，再减去这张牌点数的2倍，再减去10，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，红桃的代号是2，梅花的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算结果是72．小亮迅速准确说出这位同学抽出的纸牌是红桃7．你能解释其中的原因吗？
27．【阅读材料】
对于任意整数a和不为0的整数b，总存在整数k，r使得a＝bk+r（0≤r＜b），其中k称为商，r称为余数，特别地，当r＝0时，即a＝bk，此时称a被b整除（也称b整除a）．
例如，12＝4×3，则称12被3整除．
【问题提出】
任取三个整数a，b，c，进行加减乘除四则运算（每个数只能使用一次），结果记为m，记r1、r2、r3分别为a，b，c除以5所得的余数，则r1、r2、r3可取0、1、2、3、4，请判断是否一定存在一个m值能被5整除，请说明理由．
小明的解答如下：一定存在一个m值能被5整除．理由如下：
①当r1、r2、r3其中一个为0时，假设r1＝0，则m＝a（b+c）能被5整除；
②当r1、r2、r3其中有两个相等时，假设r1＝r2，则m＝（a﹣b）c能被5整除；
③当r1≠r2≠r3≠0时，则r1、r2、r3可取1，2，3，4，
现把余数分为1和4，2和3两组，
则r1、r2、r3中一定有两个数同时在上面两组余数中的一组，则同组的两个余数和为5，假设r1+r2＝5，可知a+b可被5整除，则m＝（a+b）c一定能被5整除．
综上所述，一定存在一个m值能被5整除．
【问题解决】
（1）任取两个整数a，b，进行加减乘除运算（每个数只能使用一次），结果记为m，记r1，r2分别为a，b除以3所得的余数，则r1、r2可取0、1、2．
①若r1、r2其中有一个为0，则m＝ 时，m能被3整除．
②若r1＝r2，则m＝ 时，m能被3整除．
③若r1+r2＝3，请证明当m＝a+b时，m能被3整除．
（2）任取四个整数a，b，c，d，进行加减乘除四则运算（每个数只用一次），结果记为m，记r1、r2、r3、r4分别为a，b，c，d，除以8所得的余数，则r1、r2、r3、r4可取0、1、2、3、4、5、6、7，请判断是否一定存在一个m值能被8整除，请说明理由．
2024-2025学年广东省广州市海珠区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本题有12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．0D．2
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜0＜2，
∴最小的数是：﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．+（+5）与5B．+（﹣5）与﹣5C．﹣（+5）与﹣5D．﹣（﹣5）与﹣5
【分析】先运用相反数知识进行逐一化简、辨别．
【解答】解：∵+（+5）＝5，
∴选项A不符合题意；
∵+（﹣5）＝﹣5，
∴选项B不符合题意；
∵﹣（+5）＝﹣5，
∴选项C不符合题意；
∵﹣（﹣5）＝5，
∴﹣（﹣5）与5是互为相反数，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了互为相反数的辨别能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地化简、辨别．
3．（3分）据统计，2024年前三季度广州市国民生产总值（GDP）为22149.95亿元，用四舍五入法对数据22149.95精确到十分位是（ ）
A．22149.0B．22150.0C．22149.9D．22150.1
【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可．
【解答】解：22149.95≈22150.0（精确到十分位）．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
4．（3分）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．3x﹣x＝0B．6x﹣3C．3+（﹣1）＝2D．9x+3＞2x
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，由此判断即可．
【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项符合题意；
B、不是方程，故此选项不符合题意；
C、不是方程，故此选项不符合题意；
D、不是方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键．
5．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．线段AB和线段BA表示同一条线段
B．过一点能作无数条直线
C．射线AB和射线BA表示不同射线
D．射线比直线短
【分析】由射线、直线、线段的概念即可判断，
【解答】解：A、B、C中的说正确，故A、B、C不符合题意；
D、射线向一方无限伸展，直线向两方无限伸展，都无限长，不能比较长短，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线和射线、线段的概念．
6．（3分）若x＝1是关于x的方程3x+a＝1的解，则a的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【分析】把x＝1代入关于x的方程3x+a＝1得关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入关于x的方程3x+a＝1得：
3+a＝1，
解得：a＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤．
7．（3分）当长方体的体积一定时，长方体的底面积与高（ ）
A．成正比例B．成反比例
C．不成比例D．以上都不对
【分析】根据反比例的定义判断即可．
【解答】解：长方体的体积一定时，它的底面积与高成反比例，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系．
8．（3分）如图，射线OA表示的方向是（ ）
A．南偏东30°B．南偏东60°C．南偏西30°D．南偏西60°
【分析】根据方向角的定义进行解答即可．
【解答】解：由题意可知，射线OA表示的方向是南偏东30°，
故选：A．
【点评】本题考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．
9．（3分）如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
A．选项A中的“〇”与“*”是对面，不是邻面与原图不符，因此选项A不符合题意；
B．选项B中的展开图折叠成正方体后，“△”的“尖”不指向“*”面，而指向空白面，因此选项B不符合题意；
C．选项C中的展开图折叠成正方体后符合原图，因此选项C符合题意；
D．选项D中的展开图“△”与“*”是对面，不是邻面，与原正方体不符，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．
10．（3分）如图，是2025年1月的月历，任意移动图中“H”形框可以遮盖七个数，则这七个数的和不可能是（ ）
A．63B．77C．105D．175
【分析】设中间的数为x，则另外六个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，将七个数相加，可得出这七个数的和是7x，代入各选项中的数，可求出x的值，取不符合题意的选项即可．
【解答】解：设中间的数为x，则另外六个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，
∴这七个数的和是x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+x+1+x+6+x+8＝7x．
A．根据题意得：7x＝63，
解得：x＝9，
∴这七个数的和可能是63，选项A不符合题意；
B．根据题意得：7x＝77，
解得：x＝11，
∴这七个数的和可能是77，选项B不符合题意；
C．根据题意得：7x＝105，
解得：x＝15，
∴这七个数的和可能是105，选项C不符合题意；
D．根据题意得：7x＝175，
解得：x＝25，
∴x+8＝25+8＝33，舍去，
∴这七个数的和不可能是175，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|a﹣b|的结果为（ ）
A．2aB．﹣2aC．﹣2bD．2b
【分析】根据图示，可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，据此化简|a+b|﹣|a﹣b|即可．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0＜1＜b，
∴a+b＞0，a﹣b＜0，
∴|a+b|﹣|a﹣b|
＝（a+b）+（a﹣b）
＝2a
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
12．（3分）已知数轴上，点A表示的数是﹣2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当MN＝2BM时，运动时间t的值为（ ）
A．85B．58C．58或8D．85或8
【分析】由点B表示的数＝点A表示的数+AB的长度，可求出点B表示的数，当运动时间为t秒时，点M表示的数为﹣2+4t，点N表示的数为6﹣3t，根据MN＝2BM，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵点A表示的数是﹣2，点B在点A的右侧8个单位长度处，
∴点B表示的数是﹣2+8＝6．
当运动时间为t秒时，点M表示的数为﹣2+4t，点N表示的数为6﹣3t，
根据题意得：|﹣2+4t﹣（6﹣3t）|＝2|6﹣（﹣2+4t）|，
即8﹣7t＝16﹣8t或8﹣7t＝8t﹣16，
解得：t＝8或t=85，
∴运动时间t的值为85或8．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）列方程表示“x与3的和等于x的2倍”： x+3＝2x ．
【分析】x与3的和可表示为x+3，x的2倍可表示为2x，即可得答案．
【解答】解：x与3的和可表示为x+3，x的2倍可表示为2x，可列方程为x+3＝2x．
故答案为：x+3＝2x．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出列一元一次方程，解题关键是读懂题意，列出方程．
14．（3分）某地区的气温受冷空气的影响产生变化，当天早上的气温是﹣2℃，中午的气温升高5℃，晚上的气温又降低了10℃，则晚上的气温为 ﹣7 ℃．
【分析】根据题意，当天早上的气温是﹣2℃，中午的气温升高5℃，中午气温是﹣2+5＝3（℃），晚上的气温又降低了10℃，晚上气温是3﹣10＝﹣7（℃），据此解答．
【解答】解：﹣2+5﹣10
＝3﹣10
＝﹣7（℃）；
答：晚上的气温为﹣7℃．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了题有理数的加减混合运算、正数和负数，解决本题的关键是运用有理数的混合运算的计算法则计算．
15．（3分）请写出一个单项式，同时满足以下条件：①系数为负数、②只含有字母a，b、③次数为3次，则这个单项式为 ﹣a2b（答案不唯一） ．
【分析】根据单项式的系数、次数的定义解答即可．
【解答】解：单项式可以是﹣a2b（答案不唯一），
故答案为：﹣a2b（答案不唯一）．
【点评】本题考查了单项式，熟知单项式的系数、次数的定义是解题的关键．
16．（3分）计算|a﹣3|+（b+2）2＝0，则a+2b＝ ﹣1 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴a+2b＝3+2×（﹣2）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
17．（3分）我们常用的数是十进制数，数字电子技术领域常用的数是八进制数（有数字0～7共8个数码），它们两者之间可以互相换算．若规定：任何一个非0数的0次幂都等于1，（如20＝1，80＝1），那么八进制（123）8换算成十进制数为：（123）8＝1×82+2×81+3×80＝64+16+3＝83；按此方式，将八进制数（3751）8换算成十进制数的结果是 2025 ．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：3×83+7×82+5×81+1×80
＝1536+448+40+1
＝2025，
故答案为：2025．
【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
18．（3分）观察图中数字的规律，则第6个图中m＝ 95 ．
【分析】根据所给图形，发现每个位置数的变化规律及中间数与周围三个数之间的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
每个图形上面的数字依次为：﹣1，2，﹣4，8，…，
所以第（n）个图形上面的数字为：﹣1×（﹣2）n﹣1．
每个图形左下方的数字比同一个图形上面的数字大1，
所以第（n）个图形左下方的数字为：﹣1×（﹣2）n﹣1+1．
每个图形右下方的数字比同一个图形上面的数字小2，
所以第（n）个图形右下方的数字为：﹣1×（﹣2）n﹣1﹣2．
当n＝6时，
﹣1×（﹣2）n﹣1＝32，﹣1×（﹣2）n﹣1+1＝33，﹣1×（﹣2）n﹣1﹣2＝30．
又因为﹣4＝﹣1+0+（﹣3），5＝2+3+0，﹣13＝﹣4+（﹣3）+（﹣6），23＝8+9+6，…，
所以m＝32+33+30＝95．
故答案为：95．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现每个位置数的变化规律及中间数与周围三个数之间的关系是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共66分）
19．（10分）计算：
（1）10+1.2+（﹣7）+0.8；
（2）16÷|﹣2|﹣（﹣4）2×5．
【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算减法即可．
【解答】解：（1）原式＝10﹣7+（1.2+0.8）
＝3+2
＝5；
（2）原式＝16÷2﹣16×5
＝8﹣80
＝﹣72．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（10分）计算：
（1）a﹣（﹣a2）+（﹣2a）；
（2）3（x2y﹣5xy2）﹣2（2xy2﹣3x2y）．
【分析】（1）去括号后，合并同类项即可得到结果；
（2）去括号后，合并同类项即可得到结果．
【解答】解：（1）a﹣（﹣a2）+（﹣2a）
＝a+a2﹣2a
＝a2﹣a；
（2）3（x2y﹣5xy2）﹣2（2xy2﹣3x2y）
＝3x2y﹣15xy2﹣4xy2+6x2y
＝9x2y﹣19xy2．
【点评】此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
21．（10分）解方程：
（1）2y﹣5y＝21；
（2）1-x-12=x+23．
【分析】（1）利用合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【解答】解：（1）原方程合并同类项得：﹣3y＝21，
系数化为1得：y＝﹣7；
（2）原方程去分母得：6﹣3（x﹣1）＝2（x+2），
去括号得：6﹣3x+3＝2x+4，
移项，合并同类项得：﹣5x＝﹣5，
系数化为1得：x＝1．
【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
22．（8分）如图，已知线段a，b．
（1）尺规作图：求作线段AB，使AB＝a+b（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的前提下若AC＝a，CB＝b，点D是AC的中点，请在图中将点D表示出来．当CB＝7，DB＝9时，求AC的长．
【分析】（1）作射线AF，在射线AF上截取线段AC，CB，使得AC＝a，CB＝b，线段AB即为所求；
（2）根据线段中点的定义画出图形，求出CD＝2可得结论．
【解答】解：（1）如图，线段AB即为所求；
（2）如图，点D即为所求．
∵D是AC的中点，
∴AC＝2CD，
∵CD＝DB﹣BC＝9﹣7＝2，
∴AC＝4．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，两点间距离，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
23．（8分）如图，直线AB与DE相交于点O，设∠BOD＝n．
（1）若∠BOD与∠BOC互为余角，求∠AOC﹣∠BOD的值；
（2）若OC平分∠BOE，∠BOC＝2∠BOD，求∠COE的度数．
【分析】（1）根据互为余角的定义，邻补角的定义以及角的和差关系进行计算即可；
（2）根据对顶角相等，角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠BOD与∠BOC互为余角，即∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOD﹣∠BOC＝90°，
∵∠AOE＝∠BOD，
∴∠AOC﹣∠BOD
＝∠AOC﹣∠AOE
＝∠COE
＝90°；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOC＝2∠BOD，∠BOD＝n．
∴∠BOC＝∠COE＝2n，
∴∠BOD+∠BOC+∠COE＝180°，即n+2n+2n＝180°，
解得n＝36°，
∴∠COE＝2n＝72°．
【点评】本题考查邻补角、对顶角，角平分线，理解角平分线的定义以及邻补角、对顶角的定义是正确解答的关键．
24．（10分）据人民日报报道，中欧班列自2013年诞生后运行的十余年来，通达欧洲25个国家227个城市，亚洲11个国家超100个城市，累计运送货物超1100万标箱、货物品类达53大类5万余种．某贸易公司因业务需要租用A、B两种标箱共22个，其中租用A种标箱每个4万元，租用B种标箱每个6万元，共支付租金108万元．
（1）将“1100万”用科学记数法法表示，可记为 1.1×107 ；
（2）求该贸易公司租用A、B两种标箱各多少个？
【分析】（1）把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案；
（2）设该贸易公司租用A种标箱x个，B种标箱y个，根据题意列得二元一次方程组，解得x，y的值即可．
【解答】解：（1）1100万＝11000000＝1.1×107，
故答案为：1.1×107；
（2）该贸易公司租用A种标箱x个，B种标箱y个，
由题意得x+y=224x+6y=108，
解得：x=12y=10，
即该贸易公司租用A种标箱12个，B种标箱10个．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义，列得正确的方程组是解题的关键．
25．（10分）广州市居民生活用电阶梯收费标准如表：
根据收费标准，解答下列问题：
（1）小军家6月份用电量150度，支付电费88.5元，则a＝ 0.59 ；
（2）小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费 （0.64x﹣13） 元（用含x的代数式表示）；
（3）8月出现了高温天气，小军家缴电费460元，求这个月的用电量．
【分析】（1）根据“小军家6月份用电量150度，支付电费88.5元”，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值；
（2）利用这个月应缴电费＝260×0.59+超过260度的部分×（0.59+0.05），即可用含x的代数式表示出这个月应缴电费；
（3）设这个月的用电量为y度，根据这个月小军家缴电费460元，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：150a＝88.5，
解得：a＝0.59．
故答案为：0.59；
（2）根据题意得：这个月应缴电费260×0.59+（x﹣260）×（0.59+0.05）＝（0.64x﹣13）元．
故答案为：（0.64x﹣13）；
（3）设这个月的用电量为y度，
∵260×0.59+（600﹣260）×（0.59+0.05）＝371（元），371＜460，
∴y＞600．
根据题意得：260×0.59+（600﹣260）×（0.59+0.05）+（y﹣600）×（0.59+0.3）＝460，
解得：y＝700．
答：这个月的用电量为700度．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
附加题：有能力的同学请选做附加题，将作为评优委的依据
26．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘以6，再加上5，再乘以2，再减去这张牌点数的2倍，再减去10，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，红桃的代号是2，梅花的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算结果是72．小亮迅速准确说出这位同学抽出的纸牌是红桃7．你能解释其中的原因吗？
【分析】设同学抽到的牌的点数为m，花色为n，由题意得（6m+5）×2﹣2m﹣10+n＝72，将其整理后求得符合题意的m，n的值即可．
【解答】解：设同学抽到的牌的点数为m，花色为n，
由题意得（6m+5）×2﹣2m﹣10+n＝72，
整理得：10m+n＝72，
∵m是1～13中的整数，n是1～4的整数，
∴m＝7，n＝2，
即这位同学抽出的纸牌是红桃7．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．
27．【阅读材料】
对于任意整数a和不为0的整数b，总存在整数k，r使得a＝bk+r（0≤r＜b），其中k称为商，r称为余数，特别地，当r＝0时，即a＝bk，此时称a被b整除（也称b整除a）．
例如，12＝4×3，则称12被3整除．
【问题提出】
任取三个整数a，b，c，进行加减乘除四则运算（每个数只能使用一次），结果记为m，记r1、r2、r3分别为a，b，c除以5所得的余数，则r1、r2、r3可取0、1、2、3、4，请判断是否一定存在一个m值能被5整除，请说明理由．
小明的解答如下：一定存在一个m值能被5整除．理由如下：
①当r1、r2、r3其中一个为0时，假设r1＝0，则m＝a（b+c）能被5整除；
②当r1、r2、r3其中有两个相等时，假设r1＝r2，则m＝（a﹣b）c能被5整除；
③当r1≠r2≠r3≠0时，则r1、r2、r3可取1，2，3，4，
现把余数分为1和4，2和3两组，
则r1、r2、r3中一定有两个数同时在上面两组余数中的一组，则同组的两个余数和为5，假设r1+r2＝5，可知a+b可被5整除，则m＝（a+b）c一定能被5整除．
综上所述，一定存在一个m值能被5整除．
【问题解决】
（1）任取两个整数a，b，进行加减乘除运算（每个数只能使用一次），结果记为m，记r1，r2分别为a，b除以3所得的余数，则r1、r2可取0、1、2．
①若r1、r2其中有一个为0，则m＝ ab 时，m能被3整除．
②若r1＝r2，则m＝ a﹣b 时，m能被3整除．
③若r1+r2＝3，请证明当m＝a+b时，m能被3整除．
（2）任取四个整数a，b，c，d，进行加减乘除四则运算（每个数只用一次），结果记为m，记r1、r2、r3、r4分别为a，b，c，d，除以8所得的余数，则r1、r2、r3、r4可取0、1、2、3、4、5、6、7，请判断是否一定存在一个m值能被8整除，请说明理由．
【分析】（1）①若r1、r2其中有一个为0，则a或b有一个能被3整除，进而得解；
②若r1＝r2，则a＝b，根据0能被任何数整除，即可得解；
③分别将a和b除以3的得数和余数表示出来，在表示出a+b即可得证；
（2）参考题干材料解法，分类讨论即可．
【解答】解：（1）①∵r1、r2其中有一个为0，
∴a或b有一个能被3整除，
∴m＝ab时，能被3整除，
故答案为：ab；
②若r1＝r2，则a＝b，
∵0能被任何数整除，
∴m＝a﹣b时，能被3整除，
故答案为：a﹣b；
③设a÷3＝x余r1，b÷3＝y余r2，
∴a＝3x+r1，b＝3y+r2，
∴a+b＝3x+r1+3y+r2＝3（x+y）+r1+r2，
∴r1+r2＝3，
∴m＝a+b＝3（x+y）+r1+r2＝3（x+y+1），
∴当m＝a+b时，m能被3整除．
（2）一定存在一个m值能被8整除．
理由如下：
①当r1、r2、r3、r4其中一个为0，假设r1＝0，则 m＝a（b+c） 能被8整除；
②当r1、r2、r3、r4其中有两个相等，假设r1＝r2，则 m＝（a﹣b）c 能被8整除；
③当r1、r2、r3、r4其中一个为4，假设r1＝4，
（i）其余三个中有一个数为偶数，假设r2为偶数，则r1r2能被8整除，
∴m＝ab（c+d） 能被8整除．
（ii）其余三个都为奇数，则r2+r3为偶数，
所以m＝a（b+c）d能被8整除．
④当r1≠r2≠r3≠r4≠0≠4时，则r1、r2、r3、r4可取1，2，3，5，6，7，
现把余数分为1和7，2和6，3和5三组，
则r1、r2、r3、r4中一定有两个同时在上面三组余数中的一组，
则同组的两个余数和为8，
假设r1+r2＝8，
由（1）可知，a+b 可被8整除，则 m＝（a+b）cd一定能被8整除．
综上所述，一定存在一个m值能被8整除．
【点评】本题主要考查了列代数式、整式的加减、数论推理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
声档级
月用电量
电价
第1档
不超过260度
a元/度
第2档
超过260度但不超过600度的部分
（a+0.05）元/度
第3档
超过600度的部分
（a+0.3）元/度
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B．
D
B
A
D
A
B
A
C
D
A
题号
12
答案
D
档级
月用电量
电价
第1档
不超过260度
a元/度
第2档
超过260度但不超过600度的部分
（a+0.05）元/度
第3档
超过600度的部分
（a+0.3）元/度