广东省广州市越秀区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市越秀区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案），共39页。试卷主要包含了发卷时间8等内容，欢迎下载使用。
1.开始前，学生务必准备、并调试好电子设备，确保练习期间摄像头全程打开，并能够看到答题者上半身、双手和桌面．
2.选择题选出答案后，通过“一起作业”APP输入正确答案．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如果没有条件打印试卷，答案需规范地写在提前打印的空白答卷上，并且要求面出图形，答题结束后，拍照上传到“一起作业”APP，确保照片清晰，一题一拍！！！上传期间不可关闭摄像头．上传完毕之后，双手放桌面安静坐好，等监考老师指令．
4.不按以上要求作答的答案无效，作弊成绩0分处理．
5.发卷时间8：40，答题时间9：00—11：00.交卷时间：11:00—11:15
一、单选题（30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 不解方程，判断方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定．
3. 已知半径为，圆心O到点A距离为，则点A与的位置关系是（ ）
A. 相切B. 圆外C. 圆上D. 圆内
4. 将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
5. 用配方法解方程时，原方程应变形（ ）．
A. B. C. D.
6. 反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设，是抛物线上两点，则、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，四边形是平行四边形，点E在边上，，连接交于点F，则（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，点 为线段 上一动点，点 的坐标为 ，连接 ，以 为底边向右侧作等腰直角 ，若点 恰好在抛物线上，则 长为（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 已知点，在反比例函数上，则___________．
12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________．
13. 如图，将绕点逆时针旋转后得到，若，则___________．
14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为___________．
15. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为___________米．（结果可带根号）
16. 如图，矩形和矩形，，矩形绕点A旋转，给出下列结论：①②；③当时，．④：其中正确的结论___________．
三、解答题
17. 解方程：.
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．
（1）画出绕原点O顺时针旋转后的．
（2）求线段在旋转过程中所扫过的图形面积．
19. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的表达式：
（2）根据二次函数图像，直接写出不等式的x的取值范围．
20. 某校准备从名男生和名女生五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．
（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是___________（直接填写答案）；
（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中名女生的概率．
21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求m的值．
22. （1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率：
（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？
23. 如图，在中，，平分交于D点，O是上一点，经过B、D两点的分别交、于点E、F．
（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：与相切：
（3）当，时，求劣弧的长．
24. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角任意四边形；④有一个角为60°的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形．
②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度．
25. 已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．
（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；
（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．
2022学年九上第一学期数学期末质量检测问卷
注意事项：
1.开始前，学生务必准备、并调试好电子设备，确保练习期间摄像头全程打开，并能够看到答题者上半身、双手和桌面．
2.选择题选出答案后，通过“一起作业”APP输入正确答案．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如果没有条件打印试卷，答案需规范地写在提前打印的空白答卷上，并且要求面出图形，答题结束后，拍照上传到“一起作业”APP，确保照片清晰，一题一拍！！！上传期间不可关闭摄像头．上传完毕之后，双手放桌面安静坐好，等监考老师指令．
4.不按以上要求作答的答案无效，作弊成绩0分处理．
5.发卷时间8：40，答题时间9：00—11：00.交卷时间：11:00—11:15
一、单选题（30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2. 不解方程，判断方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定．
【答案】B
【解析】
【分析】利用根的判别式进行求解并判断即可．
【详解】解：∵
∴
原方程中，，，，
，
原方程有两个不相等的实数根
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答此题的关键，当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
3. 已知半径为，圆心O到点A的距离为，则点A与的位置关系是（ ）
A. 相切B. 圆外C. 圆上D. 圆内
【答案】C
【解析】
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与直径的大小关系：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此作答即可．
【详解】∵半径为，圆心O到点A的距离为，
∴，
∴点A与的位置关系是点在圆上，
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
4. 将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：，即，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6. 反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数图象在第一、三象限，
，
解得．
故选：B
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内是解题的关键．
7. 设，是抛物线上的两点，则、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据已知条件求出二次函数的图象开口方向和对称轴，再根据点A、B与对称轴的距离即可判断出与的大小关系．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线，
∴离对称轴越近，函数值越大，
∵，是抛物线上的两点，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
8. 如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数．
【详解】解：连接、，如图：
，
，
是的内切圆，与、分别相切于点、，
，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
9. 如图，四边形是平行四边形，点E在边上，，连接交于点F，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明，再证明，，可得，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
10. 如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，点 为线段 上一动点，点 的坐标为 ，连接 ，以 为底边向右侧作等腰直角 ，若点 恰好在抛物线上，则 长为（ ）
A 4B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作轴，垂足为E，过点D作，交延长线于点F，设点，然后证明≌，则，，即可求出点C的坐标，再求出点B的坐标，从而求出的长度．
【详解】解：根据题意，
∵，
令，则，，
∴点A的坐标为：，
过点C作轴，垂足为E，过点D作，交延长线于点F，设点，如图：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴≌，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
解得：，；
∵，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴点B的横坐标为，
∴的长度为；
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 已知点，在反比例函数上，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】将点代入反比例函数即可求出反比例函数解析式，再把点代入反比例函数即可求解．
【详解】解：把点代入反比例函数得，，即，
∴反比例函数解析式为：，
把点代入反比例函数得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式求参数，掌握反比例函数解析式的求解方法是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】关于原点对称，则横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解．
【详解】解：点与点关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查关于原点对称的性质，理解和掌握点的对称是解题的关键．
13. 如图，将绕点逆时针旋转后得到，若，则___________．
【答案】##33度
【解析】
【分析】将绕点逆时针旋转后得到，可知，，可知，由此即可求解．
【详解】解：将绕点逆时针旋转后得到，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形旋转求角的度数，理解图形中角与角的数量关系，位置关系是解题的关键．
14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可求出圆锥底面周长，然后利用扇形面积公式即可求出圆锥的侧面积．
【详解】解：圆锥的底面周长为：，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：，
∵圆锥的母线长，
∴圆锥侧面展开图的半径为：，
∴圆锥侧面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练运用圆锥的相关计算公式，本题属于基础题型．
15. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为___________米．（结果可带根号）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示（见详解），可知抛物线与轴的两个交点分别是，，且对称轴为，此时抛物线的最大值为，由此即可求出抛物线的解析式，当水位上升米时，求函数自变量的值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
∴抛物线过点，，且顶点坐标为，
设抛物线的解析为，将顶点坐标代入得，，即，
∴，则抛物线的解析式为：，
当水位上升米，即时，，
整理得，，解方程得，，，
∴水面的宽度为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，理解和掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图形的性质是解题的关键．
16. 如图，矩形和矩形，，矩形绕点A旋转，给出下列结论：①②；③当时，．④：其中正确的结论___________．
【答案】②③
【解析】
【分析】通过证明，由相似三角形的性质可求，故①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，故②正确；分别求出，，即可判断③；由勾股定理可求，故④错误．
【详解】解：矩形和矩形，，，，，
，，，
，，
，
，
，故①错误；
如图，设与交于点，
，
，
又，
，
，故②正确；
如图，过点作于，直线于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，，
．故③正确；
如图，连接，，，，
，，，，
，，
，
，，，，
，
，故④错误；
故答案为：②③．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题
17. 解方程：.
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：原方程可化为，
∴或，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．
（1）画出绕原点O顺时针旋转后的．
（2）求线段在旋转过程中所扫过的图形面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别找到旋转后各点的对应点，再依次连接即可；
（2）画出扫过的图形，根据半圆面积计算方法求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，线段OC在过程中扫过的图形为半圆，
∴面积为．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换性质，属于中考常考题型．
19. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的表达式：
（2）根据二次函数图像，直接写出不等式的x的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将表格中的三组数据代入，利用待定系数法求解即可；
（2）画出函数图像，根据抛物线在x轴上方部分对应的x值回答即可．
【小问1详解】
解：由图表可知抛物线过点，，，
代入解析式得：，解得：，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
由图表可知：抛物线与x轴交于，，开口向上，
∴当或时，抛物线图像在x轴上方，即，
∴不等式的x的取值范围是或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与不等式的关系，解题的关键是找到抛物线与x轴的交点，将不等式转化为图像问题．
20. 某校准备从名男生和名女生五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．
（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是___________（直接填写答案）；
（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中名女生的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）从名女生中选择一名女生参加，根据概率计算公式即可求解；
（2）根据列表法可知共有种选择结果，恰好选中名女生的有种结果，由此即可求解．
【小问1详解】
解：，即女生被选中的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：选择两名学生参加竞赛，选择方式如下：
∴共有种等可能的选择方法，其中名都是女生的结果有种，
∴，
∴恰好选中名女生的概率是．
【点睛】本题主要考查用树状图或列表法求事件概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，代入已知等式中，求出m值即可．
【小问1详解】
解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
22. （1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率：
（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？
【答案】（1）50%；（2）降价10元
【解析】
【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为：；五月份的全天包车数为：，又知五月份的全天包车数为：81次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可；
（2）设每辆租金降价a元，根据每辆全天包车的租金×全天包车数量=8800列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：，（不合题意舍去），
答：全天包车数的月平均增长率为50%；
（2）设每辆租金降价a元，
根据题意可得：，
解得：或，
∵尽可能的减少租车次数，
∴，
∴当租金降价10元时，公司每月获得的租金总额为8800元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
23. 如图，在中，，平分交于D点，O是上一点，经过B、D两点的分别交、于点E、F．
（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：与相切：
（3）当，时，求劣弧的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）作的垂直平分线交于，以为半径画圆分别交、于点E、F，则即为所求；
（2）连接，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）连接，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和得到，根据勾股定理得到，从而得到半径根据弧长的公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示，
小问2详解】
证明：连接，则，
，
，
，
，
，
，
即，
与相切；
【小问3详解】
如图，连接，
是的直径，
，
，
，
在中，，
的半径，
劣弧的长．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，平行线的判定，基本作图，作出辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
24. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形．
②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求长度．
【答案】（1）②③ （2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据勾股四边形的定义，对选项逐个判断即可；
（2）①连接，利用旋转的性质得到，即，即可求解；②延长交延长线于点，由推出，等腰三角形的性质得到，勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：①平行四边形，
∵，
不满足勾股四边形定义，不是勾股四边形；
②矩形，由矩形的性质可得：，所以
满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；
③有一个角为直角的任意四边形，如图，
则：
满足勾股四边形定义，是勾股四边形；
④有一个角为60°的菱形，
∵，
不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；
故答案为：②③
【小问2详解】
①连接，如图：
由旋转的性质可得：，，，
∴为等边三角形，即
由四边形的内角和性质可得：
∴
∴
∴
∴，即
∴四边形是勾股四边形
②延长交延长线于点，如图：
由题意可得：，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
【点睛】此题是几何变换综合题，考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解勾股四边形的定义，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25. 已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．
（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；
（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．
【答案】（1）详见解析；（2）t＝a﹣5；（3）2MB+MC的最小值为．
【解析】
【分析】（1）要证抛物线与x轴有两个交点，可求出对应的一元二次方程的根的判别式的值，利用完全平方公式的非负性说明△＞0即可；
（2）令y＝0，求出含a的两个交点的横坐标，然后根据条件确定x2和x1，再代入t＝ax2﹣x1中整理即可；
（3）易求出平移后抛物线的解析式及A，B的坐标和直线AC的解析式，然后联立直线AC的解析式和二次函数的解析式可得点C的坐标，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，易得∠GCM＝30°，则，于是2MB+MC＝2（MB+GM），而MB+GM的最小值即B到CN的最小距离CH，问题即得解决．
【详解】（1）证明：△＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，
∵a＞0，∴（a+3）2＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；
（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，
∵a＞0，∴，∴x=2或，
∵a＞0，∴，
∵x1＞x2，∴x1＝2，，
∴，
∴t＝a﹣5；
（3）解：当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，
令y＝0，则x2﹣3＝0，解得：，∴A（，0），B（，0），∴AO＝，
∵OP＝1，∴P（0，1），设直线AC的解析式为，把点A（，0）代入，得：，∴直线AC的解析式为：，
联立：，解得：，，∴点C坐标为（，），
在Rt△AOP中，根据勾股定理，得：AP＝，∴∠OAP=30°，
过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，
∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠PAO=30°，∴，
∴，
∵B到CN最小距离为CH，
∴MB+GM的最小值为CH的长度，
∴2MB+MC的最小值为．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系、一元二次方程的解法、两个函数的交点以及30°角的直角三角形的性质等知识，涉及的知识点多，具有一定的难度，正确作出辅助线、熟练掌握相关知识是解第（3）小题的关键．
x
……
0
1
2
……
y
……
5
0
……
x
……
0
1
2
……
y
……
5
0
……