2021-2022学年广东省广州市越秀区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广东省广州市越秀区九年级上学期期末数学试卷（含答案），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）把抛物线y=-12x2-1向右平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（ ）
A．y=-12x2B．y=-12(x+1)2-1
C．y=-12x2-2D．y=-12(x-1)2-1
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣5）2＝4B．（x+5）2＝4C．（x﹣5）2＝121D．（x+5）2＝121
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O与⊙A的位置关系是（ ）
A．点O在⊙A内B．点O在⊙A外
C．点O在⊙A上D．以上都有可能
5．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面向上
B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球
C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（ ）
A．10B．213C．234D．45
7．（3分）某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（ ）支队伍参赛．
A．4B．5C．6D．7
8．（3分）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则DFFC的值是（ ）
A．14B．12C．15D．45
10．（3分）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2
B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2
D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，满分18分。
11．（3分）已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
12．（3分）在一个不透明的袋子中装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30左右，则袋子中黄球的数量可能是 个．
13．（3分）在某一时刻，测得一根长为1.5米的竹竿竖直放置时，在平地上的影长是2米；在同一时刻测得旗杆在平地上的影长是24米，则旗杆的高度是 米．
14．（3分）如图，它是在纸板上剪下的一个半圆和一个圆形，它们恰好能组成一个圆锥模型．已知半圆的半径为1，则该圆锥的侧面积是 ．
15．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 米．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：
①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2-2．
其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题：本题共9小题，满分72分，解容应写出文字说明、证明过程或演算步，
17．（4分）解方程：2x2+x﹣15＝0．
18．（4分）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．
19．（6分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．
20．（6分）为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生2人，女生3人．
（1）若从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是 ；
（2）若从这5人中选2人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于A，B两点，点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．
（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧CD的长．
23．（10分）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若下表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
根据上表数据，求a的值．
24．（12分）如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，DA＝22，DE=7，DC＝5．过点E作直线l．过点C作CH⊥l，垂足为H．
（1）若l∥AD，且l与⊙O交于另一点F，连接DF，求DF的长；
（2）连接BH，当直线l绕点E旋转时，求BH的最大值；
（3）过点A作AM⊥l，垂足为M，当直线l绕点E旋转时，求CH﹣4AM的最大值．
25．（12分）已知抛物线y=-12x2+mx+m+12与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-52），点
P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=-12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
2021-2022学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）把抛物线y=-12x2-1向右平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（ ）
A．y=-12x2B．y=-12(x+1)2-1
C．y=-12x2-2D．y=-12(x-1)2-1
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=-12x2-1的顶点坐标是（0，﹣1）．
则该抛物线向右平移1个单位长度后的顶点坐标是（1，﹣1），
所以所得新抛物线的解析式是y=-12(x-1)2-1．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣5）2＝4B．（x+5）2＝4C．（x﹣5）2＝121D．（x+5）2＝121
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上52，然后把方程左边写成完全平分的形式．
【解答】解：x2﹣10x＝﹣21，
x2﹣10x+52＝﹣21+52，
（x﹣5）2＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O与⊙A的位置关系是（ ）
A．点O在⊙A内B．点O在⊙A外
C．点O在⊙A上D．以上都有可能
【分析】先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．
【解答】解：∵圆心A（﹣4，﹣3）到原点O的距离OA=(-4)2+(-3)2=5，
∴OA＝5＞r＝4，
∴点O在⊙A外，
故选：B．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
5．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面向上
B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球
C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、是随机事件，故A选项不符合题意；
B、是不可能事件，故B选项不符合题意；
C、是必然事件，故C选项符合题意；
D、是随机事件，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了必然事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（ ）
A．10B．213C．234D．45
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，由旋转的性质可得AB＝AB'＝6，BC＝B'C'＝8，∠B＝∠AB'C'＝90°，在Rt△CB'C'中，由勾股定理可求CC'的长．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=10，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，
∴AB′＝AB＝6，B'C'＝BC＝8，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，
∴B'C＝AC﹣AB'＝4，∠C'B'C＝90°，
在Rt△B'C'C中，CC'=B′C′2+B′C2=82+42=45，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，由旋转的性质得出△B'C'C是直角三角形是解题的关键．
7．（3分）某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（ ）支队伍参赛．
A．4B．5C．6D．7
【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：球队的个数×（球队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入即可．
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
根据题意可列方程为：x（x﹣1）＝30．
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意舍去），
答：共有6支队伍参赛．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．
8．（3分）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据各选项图象判断a的取值范围求解．
【解答】解：选项A，直线下降a＜0，抛物线开口向上，a＞0，不符合题意．
选项B，直线下降，a＜0，抛物线开口向下a＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方，﹣a＜0，即a＞0，不符合题意．
选项C，直线上升，a＞0，抛物线开口向上a＞0，抛物线与y轴交点在x轴下方，﹣a＜0，即a＞0，符合题意．
选项D，直线上升，a＞0，抛物线开口向下a＜0，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则DFFC的值是（ ）
A．14B．12C．15D．45
【分析】根据四边形AEFD～四边形EBCF，求得EF＝4，根据相似多边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形AEFD～四边形EBCF，
∴ADEF=EFBC，
∵AD＝2，BC＝8，
∴EF2＝2×8＝16，
∴EF＝4，
∵四边形AEFD～四边形EBCF，
∴DFCF=ADEF=12，
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
10．（3分）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2
B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2
D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
【分析】通过函数解析式求出抛物线的对称轴，分类讨论a＞0及a＜0时各选项求解．
【解答】解：∵y＝﹣ax2+4ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x=-4a-2a=2，
P2（x2，y2）关于直线x＝2的对称点为P（4﹣x2，y2），
若x1+x2＜4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得x1＜4﹣x2，
当抛物线开口向上时，y1＞y2，
∴选项A错误．
若x1+x2＞4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得4﹣x2＜x1＜x2，
当抛物线开口向下时，y1＞y2，
∴选项B错误．
若a（x1+x2﹣4）＞0，当x1+x2＜4时，则a＜0，﹣a＞0，抛物线开口向上，
∴y1＞y2，
当x1+x2＞4时，则a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，
∴y1＞y2，选项C正确．
若a（x1+x2﹣4）＜0，当x1+x2＜4时，a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，
∴y1＜y2，选项D错误．
解法二：作差法，
∵y1＝﹣ax12+4ax1+c，y2＝﹣ax22+4ax2+c，
∴y1﹣y2＝﹣ax12+4ax1+c﹣（﹣ax22+4ax2+c）
＝﹣a（x 12-x 22）+4a（x1﹣x2）
＝﹣a（x1+x2）（x1﹣x2）+4a（x1﹣x2）
＝﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
当a（x1+x2﹣4）＞0时，则﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0，
∴y1＞y2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，满分18分。
11．（3分）已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝ 1 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：由点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，得
a＝﹣2，b＝3，
则a+b＝﹣2+3＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（3分）在一个不透明的袋子中装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30左右，则袋子中黄球的数量可能是 6 个．
【分析】袋子中装有红球、黄球共20个，多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30左右，据此用球的总个数乘以黄球的频率即概率，从而得出黄球个数的估计值．
【解答】解：∵袋子中装有红球、黄球共20个，多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30左右，
∴袋子中黄球的数量可能是20×0.3＝6（个），
故答案为：6．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．（3分）在某一时刻，测得一根长为1.5米的竹竿竖直放置时，在平地上的影长是2米；在同一时刻测得旗杆在平地上的影长是24米，则旗杆的高度是 18 米．
【分析】由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得竹竿与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得旗杆的高度．
【解答】解：∵光线是平行的，影长都在地面上，
∴光线和影长组成的角相等；旗杆和竹竿与影长构成的角均为直角，
∴竹竿与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，
设旗杆的高度为x，
x24=1.52，
解得x＝18，
答：旗杆的高度是18米，
故答案为：18．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
14．（3分）如图，它是在纸板上剪下的一个半圆和一个圆形，它们恰好能组成一个圆锥模型．已知半圆的半径为1，则该圆锥的侧面积是 π2 ．
【分析】根据圆锥的侧面积等于半圆的面积解决问题．
【解答】解：圆锥的侧面积＝半圆的面积=12×π×12=π2，
故答案为：π2．
【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥的侧面积等于半圆面积．
15．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 150 米．
【分析】根据二次函数的解析式求得其对称轴即可得出飞机滑行所需时间为20秒，再求出前10秒飞机滑行的距离即可．
【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2=-32（t﹣20）2+600，
-32＜0，抛物线开口向下，
∴当t＝20时，s有最大值，此时s＝600，
∴飞机从落地到停下来共需20秒，
飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝450（米），
∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣450＝150（米），
故答案为：150．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：
①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2-2．
其中正确的结论有 ②③④ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】①在⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）过程中，BG增大时，DH随着减小，BG减小时，DH随着增大，可判断①不正确；
②先证明Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），可得：HD＝HM，∠HCD＝∠HCM，∠CHD＝∠CHM，同理：GB＝GM，∠GCB＝∠GCM，∠CGB＝∠CGM，即可得出：∠GCH＝45°，可判断②正确；
③根据∠CHD+∠HCD＝90°，∠BCH+∠HCD＝90°，可得∠CHD＝∠BCH，进而推出：∠CHM+∠FEG＝180°，即H，F，E，G四点在同一个圆上，即可判断③正确；
④设HD＝x，BG＝a，则HM＝x，MG＝a，AH＝1﹣x，AG＝1﹣a，利用勾股定理可得出a=1-xx+1，设四边形CGAH的面积为y，则：y＝S正方形ABCD﹣S△CDH﹣S△CBG＝1-12x+x-12(x+1)，整理，得：x2+（2y﹣2）x+（2y﹣1）＝0，由根的判别式得：Δ＝（2y﹣2）2﹣4×1×（2y﹣1）≥0，即（y﹣2+2）（y﹣2-2）≥0，可得出y≤2-2，即四边形CGAH的面积的最大值为2-2，可判断④正确．
【解答】解：①在⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）过程中，
BG增大时，DH随着减小，BG减小时，DH随着增大，故①不正确；
②∵正方形ABCD的边长为1，
∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
∵GH与⊙O相切于点M，
∴∠CMH＝∠CMG＝90°，
∵CM为⊙O的直径，且CM＝1，
∴BC＝CM＝CD＝1，
在Rt△CHD和Rt△CHM中，
CD=CMCH=CH，
∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），
∴HD＝HM，∠HCD＝∠HCM，∠CHD＝∠CHM，
同理：GB＝GM，∠GCB＝∠GCM，∠CGB＝∠CGM，
∵∠HCD+∠HCM+∠GCB+∠GCM＝90°，
∴2（∠HCM+∠GCM）＝90°，
∴∠GCH＝45°，故②正确；
③∵∠CHD+∠HCD＝90°，∠BCH+∠HCD＝90°，
∴∠CHD＝∠BCH，
∵∠CHM＝∠CHD，
∴∠CHM＝∠BCH＝45°+∠GCB，
∵∠CEF＝45°+∠GCB，
∴∠CHM＝∠CEF，
∵∠CEF+∠FEG＝180°，
∴∠CHM+∠FEG＝180°，
∴四边形EFHG是圆内接四边形，
即H，F，E，G四点在同一个圆上，故③正确；
④设HD＝x，BG＝a，则HM＝x，MG＝a，AH＝1﹣x，AG＝1﹣a，
∴GH＝HM+GM＝x+a，
在Rt△AGH中，AH2+AG2＝GH2，
∴（1﹣x）2+（1﹣a）2＝（x+a）2，
∴a=1-xx+1，
设四边形CGAH的面积为y，
则：y＝S正方形ABCD﹣S△CDH﹣S△CBG
＝AB2-12CD•DH-12BC•BG
＝12-12•1•x-12×1•1-xx+1，
∴y＝1-12x+x-12(x+1)，
整理，得：x2+（2y﹣2）x+（2y﹣1）＝0，
∴Δ＝（2y﹣2）2﹣4×1×（2y﹣1）≥0，
∴y2﹣4y+2≥0，
∴（y﹣2+2）（y﹣2-2）≥0，
∴y-2+2≥0y-2-2≥0或y-2+2≤0y-2-2≤0，
解得：y≥2+2或y≤2-2，
∵y≤S正方形ABCD＝1，
∴y≥2+2不符合题意，舍去，
∴y≤2-2，
即y的最大值为2-2，
∴四边形CGAH的面积的最大值为2-2，
故④正确，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了正方形的性质，圆内接四边形的判定与性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，旋转变换的性质等，解题关键是熟练掌握全等三角形判定和性质．
三、解答题：本题共9小题，满分72分，解容应写出文字说明、证明过程或演算步，
17．（4分）解方程：2x2+x﹣15＝0．
【分析】利用因式分解法把方程转化为2x﹣5＝0或x+3＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（2x﹣5）（x+3）＝0，
2x﹣5＝0或x+3＝0，
所以x1=52，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．（4分）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．
【分析】根据∠EAC＝∠DAB求出∠DAE＝∠BAC，再利用“两角法”来证△ABC∽△ADE即可．
【解答】证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠CAD＝∠DAB+∠CAD，
即∠DAE＝∠BAC，
又∵∠D＝∠B，
∴△ABC∽△ADE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定是解此题的关键，两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
19．（6分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）∵AC=12+32=10，
∴线段AC在旋转过程中扫过的图形面积=90π×(10)2360=5π2．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，扇形的面积的计算等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住扇形的面积=nπr2360．
20．（6分）为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生2人，女生3人．
（1）若从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是 35 ；
（2）若从这5人中选2人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选中一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有5人，其中男生2人，女生3人，
∴从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是35；
（2）设男生用A表示，女生用B表示，
树状图如下所示：
由上可得，一共有20种可能性，其中恰好选中一男一女的有12种，
所以恰好选中一男一女的概率是1220=35．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于A，B两点，点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据题意，先可以求m，再求出点B的坐标，从而可以求得二次函数的解析式；
（2）根据对称性求得该函数与x轴的另外一个交点坐标，再根据函数图象即可得到函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+m经过点A（1，4），
∴4＝﹣2+m，解得m＝6，
∴y＝﹣2x+6，当y＝0时，x＝3，
∴B（3，0），
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
代入点B（3，0），得：0＝4a+4，
解得a＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）点B（3，0）关于对称轴直线x＝1的对称点为（﹣1，0），
∴二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．
（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧CD的长．
【分析】（1）作∠CAB的平分线，交BC于点O，再以点O为圆心、OC为半径画圆即可；
（2）连接CD、OD，设∠B＝x°，由CD＝BD知∠B＝∠BCD＝x°，∠CDA＝（2x）°，再证AC是⊙O的切线知AC＝AD，据此得∠ACD＝∠ADC＝（2x）°，继而求出x的值得出∠B＝30°，∠COD＝120°，∠COA＝60°，由AC＝6知OC=ACtan60°=23，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求．
（2）连接CD、OD，
设∠B＝x°，
∵CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD＝x°，
∴∠CDA＝（2x）°，
∵AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝（2x）°，
∴2x+x＝90，
∴x＝30，即∠B＝30°，
∴∠COD＝∠BDO+∠B＝120°，∠COA＝60°，
∵AC＝6，
∴OC=ACtan60°=63=23，
∴劣弧CD的长为120⋅π⋅23180=43π3．
【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图与圆的切线的判定和性质．
23．（10分）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若下表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
根据上表数据，求a的值．
【分析】（1）根据分段计费直接求出水费即可；
（2）根据题意确定a的取值范围，然后列方程求解即可．
【解答】解：（1）当a＝12时，每户居民用水量每月不超过12吨时，每吨按0.3×12＝3.6元缴纳水费；每月超过12吨时，超过部分每吨按0.4×12＝4.8元缴纳水费，
∴某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费为12×3.6+（22﹣12）×4.8＝91.2（元）；
（2）∵18×0.3×18＝97.2＞62，
∴a＜18，
根据题意得0.3a•a+（18﹣a）×0.4a＝62，
整理得a2﹣72a+620＝0，
解得a＝10或a＝62（舍去），
当a＝10时，0.3×10×10+（24﹣10）×0.4×10＝86，成立，
∴a的值为10．
【点评】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（12分）如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，DA＝22，DE=7，DC＝5．过点E作直线l．过点C作CH⊥l，垂足为H．
（1）若l∥AD，且l与⊙O交于另一点F，连接DF，求DF的长；
（2）连接BH，当直线l绕点E旋转时，求BH的最大值；
（3）过点A作AM⊥l，垂足为M，当直线l绕点E旋转时，求CH﹣4AM的最大值．
【分析】（1）作ON⊥EF交⊙O于N，可证得EN=FN，AN=DN，进而AE=DF，从而得出DE＝AE，在Rt△ADE中求出AE，进而得出DF；
（2）点H在以CE为直径的⊙I上运动，连接BI并延长交⊙H′，则BH′最大，作BP⊥CE于P，可证得△BEP∽△ECD，从而求得PB，PE，进而求得PI，从而求出BI，进一步求出结果；
（3）作BN⊥l于N，作BR⊥CH于R，可证△AME∽△BNE，可得BN＝4AM，进而可得CH﹣4AM＝CH﹣HR＝CR≤CB，从而得出CH﹣4AM最大值．
【解答】解：（1）如图1，
作ON⊥EF交⊙O于N，
∴EN=FN，
∵AD∥EF，
∴ON⊥AD，
∴∠AON＝∠DON＝90°，
∴AN=DN，
∴AN-EN=DN-FN
即AE=DF，
∴DF＝AE，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴AE=AD2-DE2=(22)2-(7)2=1，
∴DF＝1；
（2）如图2，
∵∠EHC＝90°，
∴点H在以CE为直径的⊙I上运动，连接BI并延长交⊙H′，则BH′最大，
∵∠CDE＝90°，DE=7，CD＝5，
∴CE=52+(7)2=42
∴EI＝CI＝22，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠BEC，
作BP⊥CE于P，
∴∠CDE＝∠BPE＝90°，
∴△BEP∽△ECD，
∴PBDE=PECD=BECE，
∴PB7=PE5=442，
∴PB=72，PE=522，
∴PI＝PE﹣EI=522-22=22，
∴BI=PI2+PB2=(22)2+(72)2=2，
∴BH′＝BI+IH′＝2+22，
即BH的最大值是：2+22；
（3）如图3，
作BN⊥l于N，作BR⊥CH于R，
∴∠BNH＝∠CHN＝∠BRH＝90°，
∴四边形BRHN是矩形，
∴HR＝BN，
∵∠AME＝∠BNE＝90°，∠BEN＝∠AEM，
∴△AME∽△BNE，
∴BNAM=BEAE=41，
∴BN＝4AM，
∴HR＝4AM，
∴CH﹣4AM＝CH﹣HR＝CR≤CB，
∴当l旋转到l′位置，H点在N′位置，M在M′位置时，
CH﹣4AM＝CN′﹣BN′＝BC＝AD＝22，
即：CH﹣4AM的最大值＝22．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟悉“定弦对定角”，运用等量代换转化条件．
25．（12分）已知抛物线y=-12x2+mx+m+12与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-52），点
P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=-12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC的解析式为y=-12x-52，如图1，设P（t，-12t2﹣3t-52），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则PH=-12t2-52t，利用S△PAC＝S△PAH+S△PCH=-54（t+52）2+12516，即可运用二次函数求最值的方法求得答案；
（3）运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y=12（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y=12（x﹣n）2-12n-72，顶点坐标为（n，-12n-72），当图象M经过点C（0，-52）时，可求得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，可求得：n=-185或n=75（舍去），就看得出：图象M的顶点横坐标n的取值范围为：-185≤n≤﹣1或n＝2．
【解答】解：（1）∵抛物线y=-12x2+mx+m+12与y轴交于点C（0，-52），
∴m+12=-52，
解得：m＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为：y=-12x2﹣3x-52；
（2）在y=-12x2﹣3x-52中，令y＝0，
得：-12x2﹣3x-52=0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（0，-52），
∴-5k+b=0b=-52，
解得：k=-12b=-52，
∴直线AC的解析式为y=-12x-52，
如图1，设P（t，-12t2﹣3t-52），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
则H（t，-12t-52），
∴PH=-12t2﹣3t-52-（-12t-52）=-12t2-52t，
∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH
=12•PH•（xP﹣xA）+12•PH•（xC﹣xP）
=12•PH•（xC﹣xA）
=12×（-12t2-52t）×[0﹣（﹣5）]
=-54t2-254t
=-54（t+52）2+12516，
∴当t=-52时，S△PAC取得最大值12516，
此时，点P的坐标为（-52，158）；
（3）如图2，抛物线y=-12x2﹣3x-52在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G，
∵y=-12x2﹣3x-52=-12（x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），
∴图象G的函数解析式为：y=12（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），
∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y=-12x-72，
∴图象M的顶点坐标为（n，-12n-72），
∴图象M的函数解析式为：y=12（x﹣n）2-12n-72，
当图象M经过点C（0，-52）时，
则：-52=12（0﹣n）2-12n-72，
解得：n＝﹣1或n＝2，
当图象M的端点B在PC上时，
∵线段PC的解析式为：y=-74x-52（-52≤x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直线y=-12x-12，
∴联立可得：y=-74x-52y=-12x-12，
解得：x=-85y=310，
将x=-85y=310代入y=12（x﹣n）2-12n-72，可得：12（-85-n）2-12n-72=310，
解得：n=-185或n=75（舍去），
∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：-185≤n≤﹣1或n＝2．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，抛物线的翻折、平移变换，二次函数最值问题和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用函数图象上点的坐标特征推知点的坐标的取值范围．月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86